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【例2】计算：
(1)$3×(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{3}{4})^2$；
(2)$(-3\dfrac{1}{3})^3÷(-1\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{2}{5})$。
(1)$3×(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{3}{4})^2$；
(2)$(-3\dfrac{1}{3})^3÷(-1\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{2}{5})$。
答案
(1)$-\frac{40}{9}$.
(2)$-\frac{80}{9}$.
(2)$-\frac{80}{9}$.
解析
【分析】
解决这类有理数混合运算题，首先要牢记运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算按照从左到右的顺序计算。解题时第一步先处理乘方运算，第二步把所有带分数化为假分数、除法转化为乘法，第三步先判断最终结果的符号，再对绝对值部分进行约分计算，可简化运算步骤，减少错误。
(1) 先计算乘方项$(-\dfrac{3}{4})^2$，再将除法变为乘法，最后结合符号规则约分计算即可。
(2) 先将两个带分数化为假分数，再计算乘方项$(-3\dfrac{1}{3})^3$，随后将除法转为乘法，判断符号后约分计算即可。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法计算：
$\begin{aligned}原式&=3×(-\dfrac{5}{6})÷\dfrac{9}{16}\\&=3×(-\dfrac{5}{6})×\dfrac{16}{9}\\&=-(3×\dfrac{5}{6}×\dfrac{16}{9})\\&=-\dfrac{40}{9}\end{aligned}$
(2) 先将带分数化为假分数，再计算乘方，最后将除法转化为乘法计算：
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{10}{3})^3÷(-\dfrac{5}{3})×(-\dfrac{2}{5})\\&=-\dfrac{1000}{27}÷(-\dfrac{5}{3})×(-\dfrac{2}{5})\\&=-\dfrac{1000}{27}×(-\dfrac{3}{5})×(-\dfrac{2}{5})\\&=-(\dfrac{1000}{27}×\dfrac{3}{5}×\dfrac{2}{5})\\&=-\dfrac{80}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\dfrac{40}{9}$；(2)$-\dfrac{80}{9}$
【知识点】
有理数混合运算顺序，有理数乘方运算，有理数乘除运算
【点评】
本题重点考查有理数的混合运算能力，解题的关键是准确把握运算顺序，优先计算乘方，再处理乘除运算；计算过程中要注意符号的判断，带分数先化为假分数、除法转为乘法后再约分计算，能有效提升计算准确率和效率。
【难度系数】
0.7
解决这类有理数混合运算题，首先要牢记运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算按照从左到右的顺序计算。解题时第一步先处理乘方运算，第二步把所有带分数化为假分数、除法转化为乘法，第三步先判断最终结果的符号，再对绝对值部分进行约分计算，可简化运算步骤，减少错误。
(1) 先计算乘方项$(-\dfrac{3}{4})^2$，再将除法变为乘法，最后结合符号规则约分计算即可。
(2) 先将两个带分数化为假分数，再计算乘方项$(-3\dfrac{1}{3})^3$，随后将除法转为乘法，判断符号后约分计算即可。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法计算：
$\begin{aligned}原式&=3×(-\dfrac{5}{6})÷\dfrac{9}{16}\\&=3×(-\dfrac{5}{6})×\dfrac{16}{9}\\&=-(3×\dfrac{5}{6}×\dfrac{16}{9})\\&=-\dfrac{40}{9}\end{aligned}$
(2) 先将带分数化为假分数，再计算乘方，最后将除法转化为乘法计算：
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{10}{3})^3÷(-\dfrac{5}{3})×(-\dfrac{2}{5})\\&=-\dfrac{1000}{27}÷(-\dfrac{5}{3})×(-\dfrac{2}{5})\\&=-\dfrac{1000}{27}×(-\dfrac{3}{5})×(-\dfrac{2}{5})\\&=-(\dfrac{1000}{27}×\dfrac{3}{5}×\dfrac{2}{5})\\&=-\dfrac{80}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\dfrac{40}{9}$；(2)$-\dfrac{80}{9}$
【知识点】
有理数混合运算顺序，有理数乘方运算，有理数乘除运算
【点评】
本题重点考查有理数的混合运算能力，解题的关键是准确把握运算顺序，优先计算乘方，再处理乘除运算；计算过程中要注意符号的判断，带分数先化为假分数、除法转为乘法后再约分计算，能有效提升计算准确率和效率。
【难度系数】
0.7
【例3】已知$(a+1)^2$与$|b-2|$互为相反数，求$(a+b)^{2024} + a^{2025}$的值。
答案
0.
解析
【分析】
解题时首先从“互为相反数”的条件切入，回忆相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，因此可列出等式$(a+1)^2 + |b-2|=0$。再结合平方和绝对值的特性：任意数的平方、绝对值都是非负数（即大于等于0），两个非负数相加等于0，只能是两个非负数各自都等于0，由此就能求出a、b的具体值，最后将a、b代入所求代数式计算乘方即可得到结果。
【解析】
解：
∵$(a+1)^2$与$|b-2|$互为相反数
∴$(a+1)^2 + |b-2|=0$
又
∵$(a+1)^2 ≥ 0$，$|b-2| ≥ 0$，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0
∴$\begin{cases}a+1=0 \\ b-2=0\end{cases}$
解得：$a=-1$，$b=2$
将$a=-1$，$b=2$代入$(a+b)^{2024} + a^{2025}$得：
原式$=(-1+2)^{2024} + (-1)^{2025}$
$=1^{2024} + (-1)$
$=1 - 1$
$=0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质；非负数的性质；有理数乘方运算
【点评】
本题是基础常考题型，核心考点是非负数性质的应用，解题关键是明确“几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0”，再结合乘方的运算规则代入计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先从“互为相反数”的条件切入，回忆相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，因此可列出等式$(a+1)^2 + |b-2|=0$。再结合平方和绝对值的特性：任意数的平方、绝对值都是非负数（即大于等于0），两个非负数相加等于0，只能是两个非负数各自都等于0，由此就能求出a、b的具体值，最后将a、b代入所求代数式计算乘方即可得到结果。
【解析】
解：
∵$(a+1)^2$与$|b-2|$互为相反数
∴$(a+1)^2 + |b-2|=0$
又
∵$(a+1)^2 ≥ 0$，$|b-2| ≥ 0$，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0
∴$\begin{cases}a+1=0 \\ b-2=0\end{cases}$
解得：$a=-1$，$b=2$
将$a=-1$，$b=2$代入$(a+b)^{2024} + a^{2025}$得：
原式$=(-1+2)^{2024} + (-1)^{2025}$
$=1^{2024} + (-1)$
$=1 - 1$
$=0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质；非负数的性质；有理数乘方运算
【点评】
本题是基础常考题型，核心考点是非负数性质的应用，解题关键是明确“几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0”，再结合乘方的运算规则代入计算即可。
【难度系数】
0.8
【例4】计算：
(1)$-3^3 × (-\dfrac{1}{3})^2 -24×(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{8});$
(2)$-1^{100} -\dfrac{3}{4}÷[(-2)^2×(-\dfrac{1}{4})^2 -\dfrac{1}{2}].$
(1)$-3^3 × (-\dfrac{1}{3})^2 -24×(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{8});$
(2)$-1^{100} -\dfrac{3}{4}÷[(-2)^2×(-\dfrac{1}{4})^2 -\dfrac{1}{2}].$
答案
(1)-26.
(2)2.
(2)2.
解析
【分析】
这两道题均为有理数混合运算，解题需遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的运算，能使用运算律简便计算的优先用运算律简化。第(1)题中24和括号内各分数的分母均为倍数关系，可利用乘法分配律计算，避免通分出错，同时要注意区分乘方的符号，比如$-3^3$是$3^3$的相反数，不等于$(-3)^3$；第(2)题先计算所有乘方项，再依次计算中括号内的运算、除法，最后算加减，注意负数乘方的符号判断规则。
【解析】
(1) 先算乘方，再利用乘法分配律计算乘法部分，最后算加减：
$\begin{aligned}原式&=-27×(\dfrac{1}{9})-(24×\dfrac{3}{4}-24×\dfrac{1}{6}+24×\dfrac{3}{8})\\&=-3-(18-4+9)\\&=-3-23\\&=-26\end{aligned}$
(2) 先算乘方，再算中括号内的运算，接着算除法，最后算加减：
$\begin{aligned}原式&=-1-\dfrac{3}{4}÷[4×\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{2}]\\&=-1-\dfrac{3}{4}÷(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2})\\&=-1-\dfrac{3}{4}÷(-\dfrac{1}{4})\\&=-1-\dfrac{3}{4}×(-4)\\&=-1+3\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1)$-26$；(2)$2$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算顺序和运算技巧，解题时需准确判断乘方的符号，合理使用乘法分配律可有效降低计算量，减少通分等步骤带来的错误，计算过程中要格外留意每一步的符号变化。
【难度系数】
0.7
这两道题均为有理数混合运算，解题需遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的运算，能使用运算律简便计算的优先用运算律简化。第(1)题中24和括号内各分数的分母均为倍数关系，可利用乘法分配律计算，避免通分出错，同时要注意区分乘方的符号，比如$-3^3$是$3^3$的相反数，不等于$(-3)^3$；第(2)题先计算所有乘方项，再依次计算中括号内的运算、除法，最后算加减，注意负数乘方的符号判断规则。
【解析】
(1) 先算乘方，再利用乘法分配律计算乘法部分，最后算加减：
$\begin{aligned}原式&=-27×(\dfrac{1}{9})-(24×\dfrac{3}{4}-24×\dfrac{1}{6}+24×\dfrac{3}{8})\\&=-3-(18-4+9)\\&=-3-23\\&=-26\end{aligned}$
(2) 先算乘方，再算中括号内的运算，接着算除法，最后算加减：
$\begin{aligned}原式&=-1-\dfrac{3}{4}÷[4×\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{2}]\\&=-1-\dfrac{3}{4}÷(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2})\\&=-1-\dfrac{3}{4}÷(-\dfrac{1}{4})\\&=-1-\dfrac{3}{4}×(-4)\\&=-1+3\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1)$-26$；(2)$2$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算顺序和运算技巧，解题时需准确判断乘方的符号，合理使用乘法分配律可有效降低计算量，减少通分等步骤带来的错误，计算过程中要格外留意每一步的符号变化。
【难度系数】
0.7
【例】计算：
(1)$(-7.3)-(-6\dfrac{5}{6})+\left|-3.3\right|+1\dfrac{1}{6}$；
(2)$3×(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{3}{4})$。
(1)$(-7.3)-(-6\dfrac{5}{6})+\left|-3.3\right|+1\dfrac{1}{6}$；
(2)$3×(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{3}{4})$。
答案
(1)4.
(2)$\frac{10}{3}$.
(2)$\frac{10}{3}$.
解析
【分析】
对于(1)题，属于有理数加减混合运算，首先按照减法法则将减法转化为加法，同时化简绝对值，再观察数的特征：两个小数相加可凑整、两个带分数的分数部分相加得1，因此可利用加法交换律和结合律分组计算，简化运算过程。
对于(2)题，属于有理数乘除同级运算，首先按照除法法则将除法转化为乘法，先根据负因数的个数确定最终结果的符号，再对数值部分约分计算，降低计算量。
【解析】
(1) 计算过程：
$\begin{aligned}&(-7.3)-(-6\dfrac{5}{6})+\left|-3.3\right|+1\dfrac{1}{6}\\=&-7.3 + 6\dfrac{5}{6} + 3.3 + 1\dfrac{1}{6}\\=&(-7.3 + 3.3) + (6\dfrac{5}{6} + 1\dfrac{1}{6})\\=&-4 + 8\\=&4\end{aligned}$
(2) 计算过程：
$\begin{aligned}&3×(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{3}{4})\\=&3×(-\dfrac{5}{6})×(-\dfrac{4}{3})\\=&3×\dfrac{5}{6}×\dfrac{4}{3}\\=&\dfrac{10}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1)4；(2)$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
有理数加减混合运算、有理数乘除混合运算、加法运算律的应用
【点评】
两道题均为有理数运算的基础题型，核心考查运算法则的掌握程度和简便运算的意识，计算时遵循“先定符号，再算数值”的原则，结合数的特征灵活选用运算律，可有效减少计算失误。
【难度系数】
0.8
对于(1)题，属于有理数加减混合运算，首先按照减法法则将减法转化为加法，同时化简绝对值，再观察数的特征：两个小数相加可凑整、两个带分数的分数部分相加得1，因此可利用加法交换律和结合律分组计算，简化运算过程。
对于(2)题，属于有理数乘除同级运算，首先按照除法法则将除法转化为乘法，先根据负因数的个数确定最终结果的符号，再对数值部分约分计算，降低计算量。
【解析】
(1) 计算过程：
$\begin{aligned}&(-7.3)-(-6\dfrac{5}{6})+\left|-3.3\right|+1\dfrac{1}{6}\\=&-7.3 + 6\dfrac{5}{6} + 3.3 + 1\dfrac{1}{6}\\=&(-7.3 + 3.3) + (6\dfrac{5}{6} + 1\dfrac{1}{6})\\=&-4 + 8\\=&4\end{aligned}$
(2) 计算过程：
$\begin{aligned}&3×(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{3}{4})\\=&3×(-\dfrac{5}{6})×(-\dfrac{4}{3})\\=&3×\dfrac{5}{6}×\dfrac{4}{3}\\=&\dfrac{10}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1)4；(2)$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
有理数加减混合运算、有理数乘除混合运算、加法运算律的应用
【点评】
两道题均为有理数运算的基础题型，核心考查运算法则的掌握程度和简便运算的意识，计算时遵循“先定符号，再算数值”的原则，结合数的特征灵活选用运算律，可有效减少计算失误。
【难度系数】
0.8
