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9. 小郑同学观看篮球比赛时，发现球员投篮后，篮球的运动轨迹是抛物线的一部分，因此他分析了他喜欢的球员A的数据，发现球员A在命中三分球时，篮球出手高度约为2.35 m，球在飞越7 m之后准确地落入高度为3.05 m的篮筐中，当球在空中飞行的水平距离为4 m时，篮球恰好达到最大高度.
（1）如图，小郑同学建立了平面直角坐标系，他将抛物线的最高点用坐标（4，h）来表示，请你帮他求出篮球在空中飞行的最大高度；
（2）此时，若对方球员在球员A面前1.4 m处起跳拦截，已知对方球员最大摸高为3.14 m，那么对方球员的拦截能否成功？
（1）如图，小郑同学建立了平面直角坐标系，他将抛物线的最高点用坐标（4，h）来表示，请你帮他求出篮球在空中飞行的最大高度；
（2）此时，若对方球员在球员A面前1.4 m处起跳拦截，已知对方球员最大摸高为3.14 m，那么对方球员的拦截能否成功？
答案
9. 解 （1）因为顶点坐标为（4，h），所以设函数解析式为 $y=a(x-4)^2+h$。
将点（0，2.35），（7，3.05）代入，
得$\begin{cases}2.35=a(0-4)^2+h,\\3.05=a(7-4)^2+h.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{10},\\h=3.95.\end{cases}$
所以篮球在空中飞行的最大高度为 3.95 m。
（2）由（1）知 $y=-\dfrac{1}{10}(x-4)^2+3.95$。
将 $x=1.4$ 代入，得 $y=-\dfrac{1}{10}(1.4-4)^2+3.95=3.274$。因为 $3.274-3.14=0.134＞0$，所以若对方球员在 A 球员面前 1.4 m 处起跳拦截，拦截不能成功。
将点（0，2.35），（7，3.05）代入，
得$\begin{cases}2.35=a(0-4)^2+h,\\3.05=a(7-4)^2+h.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{10},\\h=3.95.\end{cases}$
所以篮球在空中飞行的最大高度为 3.95 m。
（2）由（1）知 $y=-\dfrac{1}{10}(x-4)^2+3.95$。
将 $x=1.4$ 代入，得 $y=-\dfrac{1}{10}(1.4-4)^2+3.95=3.274$。因为 $3.274-3.14=0.134＞0$，所以若对方球员在 A 球员面前 1.4 m 处起跳拦截，拦截不能成功。
解析
【分析】
（1）本题是二次函数在实际场景中的应用，已知抛物线顶点坐标为$(4,h)$，选择顶点式设函数解析式可简化计算。首先确定抛物线上的两个已知点：出手点对应坐标$(0,2.35)$，篮筐对应坐标$(7,3.05)$，将两点代入所设解析式得到关于参数$a$和$h$的方程组，解方程组即可求出最大高度$h$。
（2）判断拦截是否成功，只需计算水平距离为1.4m（即横坐标$x=1.4$）时篮球的高度，将其与对方球员的最大摸高3.14m比较：若篮球高度大于摸高则拦截失败，反之则拦截成功。
【解析】
（1）$\because$ 抛物线的顶点坐标为$(4,h)$，
$\therefore$ 设抛物线的函数解析式为 $y=a(x-4)^2+h\ (a≠0)$。
将点$(0,2.35)$、$(7,3.05)$代入解析式，得：
$\begin{cases}2.35=a(0-4)^2+h\\3.05=a(7-4)^2+h\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}16a + h = 2.35\\9a + h = 3.05\end{cases}$
两式相减得$7a=-0.7$，解得$a=-\dfrac{1}{10}$，将$a=-\dfrac{1}{10}$代入$9a+h=3.05$，解得$h=3.95$。
（2）由（1）得抛物线解析式为 $y=-\dfrac{1}{10}(x-4)^2+3.95$，
将拦截位置对应的横坐标$x=1.4$代入解析式，得：
$y=-\dfrac{1}{10}×(1.4-4)^2+3.95=3.274$
$\because 3.274＞3.14$，即该位置篮球高度高于球员最大摸高，因此拦截无法成功。
【答案】
（1）$\boxed{3.95\ \mathrm{m}}$；（2）$\boxed{拦截不能成功}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数求值
【点评】
本题结合投篮的生活场景考查二次函数的应用，解题核心是结合坐标系的实际意义选取合适的解析式形式求解参数，再通过函数值比较判断实际结论，贴近生活，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）本题是二次函数在实际场景中的应用，已知抛物线顶点坐标为$(4,h)$，选择顶点式设函数解析式可简化计算。首先确定抛物线上的两个已知点：出手点对应坐标$(0,2.35)$，篮筐对应坐标$(7,3.05)$，将两点代入所设解析式得到关于参数$a$和$h$的方程组，解方程组即可求出最大高度$h$。
（2）判断拦截是否成功，只需计算水平距离为1.4m（即横坐标$x=1.4$）时篮球的高度，将其与对方球员的最大摸高3.14m比较：若篮球高度大于摸高则拦截失败，反之则拦截成功。
【解析】
（1）$\because$ 抛物线的顶点坐标为$(4,h)$，
$\therefore$ 设抛物线的函数解析式为 $y=a(x-4)^2+h\ (a≠0)$。
将点$(0,2.35)$、$(7,3.05)$代入解析式，得：
$\begin{cases}2.35=a(0-4)^2+h\\3.05=a(7-4)^2+h\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}16a + h = 2.35\\9a + h = 3.05\end{cases}$
两式相减得$7a=-0.7$，解得$a=-\dfrac{1}{10}$，将$a=-\dfrac{1}{10}$代入$9a+h=3.05$，解得$h=3.95$。
（2）由（1）得抛物线解析式为 $y=-\dfrac{1}{10}(x-4)^2+3.95$，
将拦截位置对应的横坐标$x=1.4$代入解析式，得：
$y=-\dfrac{1}{10}×(1.4-4)^2+3.95=3.274$
$\because 3.274＞3.14$，即该位置篮球高度高于球员最大摸高，因此拦截无法成功。
【答案】
（1）$\boxed{3.95\ \mathrm{m}}$；（2）$\boxed{拦截不能成功}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数求值
【点评】
本题结合投篮的生活场景考查二次函数的应用，解题核心是结合坐标系的实际意义选取合适的解析式形式求解参数，再通过函数值比较判断实际结论，贴近生活，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
10. 某地为提升区域交通效率，促进经济发展，修建了一条隧道，其截面如图所示，轮廓可近似看作抛物线的一部分. 若隧道底部宽12 m，高8 m，建立平面直角坐标系.
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 m，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 m（中心线的宽度不计）. 若宽3 m、高3.5 m的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.
11.【情境探究】
小明和小强做弹力球游戏. 游戏规则如下：小明抛出弹力球，弹力球落地后弹起再落下，小强在某个位置放置一块接球板，若弹力球在第二次落地前碰到接球板则小强胜（球与接球板触碰），否则小明胜.
【数学建模】
弹力球两次运动轨迹均可近似看成抛物线，如图所示. 一次游戏过程中，小明站在起点O处抛弹力球，以O为坐标原点，水平方向和竖直方向的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，弹力球从离地面2 m的A处抛出，第一次落地前，球在距离起点O水平距离为2 m处，达到飞行最大高度为3.6 m，弹力球在B处落地后再次弹起，第二次飞行的水平距离BC＝4 m，且飞行的最大高度为第一次的一半.
【问题解决】
（1）求弹力球第一次落地前抛物线的函数解析式；
（2）小强在距起点O 8 m处放置接球板EF，EF垂直地面于点E，且EF＝1 m，请通过计算判断谁会获胜.
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 m，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 m（中心线的宽度不计）. 若宽3 m、高3.5 m的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.
11.【情境探究】
小明和小强做弹力球游戏. 游戏规则如下：小明抛出弹力球，弹力球落地后弹起再落下，小强在某个位置放置一块接球板，若弹力球在第二次落地前碰到接球板则小强胜（球与接球板触碰），否则小明胜.
【数学建模】
弹力球两次运动轨迹均可近似看成抛物线，如图所示. 一次游戏过程中，小明站在起点O处抛弹力球，以O为坐标原点，水平方向和竖直方向的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，弹力球从离地面2 m的A处抛出，第一次落地前，球在距离起点O水平距离为2 m处，达到飞行最大高度为3.6 m，弹力球在B处落地后再次弹起，第二次飞行的水平距离BC＝4 m，且飞行的最大高度为第一次的一半.
【问题解决】
（1）求弹力球第一次落地前抛物线的函数解析式；
（2）小强在距起点O 8 m处放置接球板EF，EF垂直地面于点E，且EF＝1 m，请通过计算判断谁会获胜.
答案
10. 解 （1）由题意得，顶点为（6，8）。
设抛物线的解析式为 $y=a(x-6)^2+8(a≠ 0)$，
因为抛物线过点（12，0），
所以 $a(12-6)^2+8=0$。所以 $a=-\dfrac{2}{9}$。
所以 $y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8\ (0≤ x≤ 12)$。
（2）能安全通过。理由如下：
如图，由题意得 $x_A=\dfrac{12}{2}-\dfrac{2}{2}-3=2$。
所以将 $x=2$ 代入 $y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8$。
所以 $y=-\dfrac{2}{9}× (2-6)^2+8=\dfrac{40}{9}$。
因为 $\dfrac{40}{9}-3.5=\dfrac{17}{18}＞0.5$，所以能安全通过。
11. 解 （1）设弹力球第一次着地前抛物线的函数解析式为 $y=a(x-2)^2+3.6$。
把 $A(0,2)$ 代入，得 $2=a× (0-2)^2+3.6$，解得 $a=-0.4$。所以 $y=-0.4(x-2)^2+3.6$。
（2）令 $y=0$，得 $0=-0.4(x-2)^2+3.6$。解得 $x_1=5$，$x_2=-1$。所以 $B(5,0)$。
因为 $BC=4$，且飞行的最大高度为第一次的一半，所以设弹力球第二次着地前抛物线的函数解析式为 $y=m(x-7)^2+1.8$。把 $B(5,0)$ 代入，得 $0=m(5-7)^2+1.8$。解得 $m=-0.45$。所以 $y=-0.45(x-7)^2+1.8$。
把 $x=8$ 代入，得 $y=1.35$。因为 $1.35＞1$，所以小强的接球板没有触碰到球，小明获胜。
解析
【分析】
第10题：
（1）已知隧道截面抛物线底部宽12m，最高处8m，可得抛物线顶点坐标为(6,8)，且过点(12,0)。已知顶点坐标时用顶点式设抛物线解析式更为简便，代入已知点坐标即可求出未知系数，再结合实际场景标注x的取值范围。
（2）判断车辆能否安全通过，需先确定最靠近隧道边缘的车辆外侧对应的x坐标：沿中心线两侧行驶，两车间隔2m、每车宽3m，因此最左侧车辆左边缘的x值为6 - 1 - 3 = 2。将x=2代入解析式求出对应隧道高度，用该高度减去车辆高度，若差值≥0.5m即可安全通过。
第11题：
（1）弹力球第一次飞行的最大高度在水平距离2m处，高度3.6m，即第一次抛物线顶点为(2,3.6)，且过抛出点A(0,2)，设顶点式代入A点坐标即可求出解析式。
（2）先令第一次抛物线的y=0，求出第一次落地点B的坐标；第二次飞行水平距离为4m，最大高度为第一次的一半，因此第二次抛物线顶点横坐标为B的横坐标加2，纵坐标为1.8，设顶点式代入B点坐标求出第二次抛物线解析式，再将x=8代入求y值，与接球板高度1m比较，若y＞1则球碰不到接球板，小明获胜，反之小强获胜。
【解析】
第10题
（1）由题意得抛物线顶点为$(6,8)$，
设抛物线的解析式为 $y=a(x-6)^2+8(a≠ 0)$，
∵抛物线过点$(12,0)$，
∴代入得 $a(12-6)^2+8=0$，解得 $a=-\dfrac{2}{9}$，
∴抛物线解析式为 $y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8\ (0≤ x≤ 12)$。
（2）能安全通过，理由如下：
由题意得最左侧车辆左边缘对应的横坐标 $x_A=\dfrac{12}{2}-\dfrac{2}{2}-3=2$，
将 $x=2$ 代入解析式得：
$y=-\dfrac{2}{9}× (2-6)^2+8=\dfrac{40}{9}$，
∵$\dfrac{40}{9}-3.5=\dfrac{17}{18}＞0.5$，满足空隙要求，因此两辆车能安全通过。
---
第11题
（1）设弹力球第一次着地前抛物线的函数解析式为 $y=a(x-2)^2+3.6$，
把 $A(0,2)$ 代入解析式得：$2=a× (0-2)^2+3.6$，解得 $a=-0.4$，
∴第一次抛物线解析式为 $y=-0.4(x-2)^2+3.6$。
（2）令 $y=0$，得 $0=-0.4(x-2)^2+3.6$，
解得 $x_1=5$，$x_2=-1$（舍去），即第一次落地点$B(5,0)$，
∵$BC=4$，第二次飞行最大高度为第一次的一半即$1.8\mathrm{m}$，
∴第二次抛物线的顶点为$(7,1.8)$，设解析式为 $y=m(x-7)^2+1.8$，
把 $B(5,0)$ 代入得：$0=m(5-7)^2+1.8$，解得 $m=-0.45$，
∴第二次抛物线解析式为 $y=-0.45(x-7)^2+1.8$，
把 $x=8$ 代入得：$y=1.35$，
∵$1.35＞1$，说明球在x=8处的高度高于接球板高度，接球板未触碰到球，因此小明获胜。
【答案】
第10题
（1）$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8\ (0≤ x≤ 12)$；
（2）能安全通过，理由见解析。
---
第11题
（1）$y=-0.4(x-2)^2+3.6$；
（2）小明获胜。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数的图像性质
【点评】
两道题均围绕二次函数的实际应用展开，解题的关键是结合题意提取抛物线的顶点、过点等关键信息，优先选择顶点式简化计算，再代入对应数值验证求解，解题时需注意结合实际场景对解进行合理性取舍。
【难度系数】
0.7
第10题：
（1）已知隧道截面抛物线底部宽12m，最高处8m，可得抛物线顶点坐标为(6,8)，且过点(12,0)。已知顶点坐标时用顶点式设抛物线解析式更为简便，代入已知点坐标即可求出未知系数，再结合实际场景标注x的取值范围。
（2）判断车辆能否安全通过，需先确定最靠近隧道边缘的车辆外侧对应的x坐标：沿中心线两侧行驶，两车间隔2m、每车宽3m，因此最左侧车辆左边缘的x值为6 - 1 - 3 = 2。将x=2代入解析式求出对应隧道高度，用该高度减去车辆高度，若差值≥0.5m即可安全通过。
第11题：
（1）弹力球第一次飞行的最大高度在水平距离2m处，高度3.6m，即第一次抛物线顶点为(2,3.6)，且过抛出点A(0,2)，设顶点式代入A点坐标即可求出解析式。
（2）先令第一次抛物线的y=0，求出第一次落地点B的坐标；第二次飞行水平距离为4m，最大高度为第一次的一半，因此第二次抛物线顶点横坐标为B的横坐标加2，纵坐标为1.8，设顶点式代入B点坐标求出第二次抛物线解析式，再将x=8代入求y值，与接球板高度1m比较，若y＞1则球碰不到接球板，小明获胜，反之小强获胜。
【解析】
第10题
（1）由题意得抛物线顶点为$(6,8)$，
设抛物线的解析式为 $y=a(x-6)^2+8(a≠ 0)$，
∵抛物线过点$(12,0)$，
∴代入得 $a(12-6)^2+8=0$，解得 $a=-\dfrac{2}{9}$，
∴抛物线解析式为 $y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8\ (0≤ x≤ 12)$。
（2）能安全通过，理由如下：
由题意得最左侧车辆左边缘对应的横坐标 $x_A=\dfrac{12}{2}-\dfrac{2}{2}-3=2$，
将 $x=2$ 代入解析式得：
$y=-\dfrac{2}{9}× (2-6)^2+8=\dfrac{40}{9}$，
∵$\dfrac{40}{9}-3.5=\dfrac{17}{18}＞0.5$，满足空隙要求，因此两辆车能安全通过。
---
第11题
（1）设弹力球第一次着地前抛物线的函数解析式为 $y=a(x-2)^2+3.6$，
把 $A(0,2)$ 代入解析式得：$2=a× (0-2)^2+3.6$，解得 $a=-0.4$，
∴第一次抛物线解析式为 $y=-0.4(x-2)^2+3.6$。
（2）令 $y=0$，得 $0=-0.4(x-2)^2+3.6$，
解得 $x_1=5$，$x_2=-1$（舍去），即第一次落地点$B(5,0)$，
∵$BC=4$，第二次飞行最大高度为第一次的一半即$1.8\mathrm{m}$，
∴第二次抛物线的顶点为$(7,1.8)$，设解析式为 $y=m(x-7)^2+1.8$，
把 $B(5,0)$ 代入得：$0=m(5-7)^2+1.8$，解得 $m=-0.45$，
∴第二次抛物线解析式为 $y=-0.45(x-7)^2+1.8$，
把 $x=8$ 代入得：$y=1.35$，
∵$1.35＞1$，说明球在x=8处的高度高于接球板高度，接球板未触碰到球，因此小明获胜。
【答案】
第10题
（1）$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8\ (0≤ x≤ 12)$；
（2）能安全通过，理由见解析。
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第11题
（1）$y=-0.4(x-2)^2+3.6$；
（2）小明获胜。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数的图像性质
【点评】
两道题均围绕二次函数的实际应用展开，解题的关键是结合题意提取抛物线的顶点、过点等关键信息，优先选择顶点式简化计算，再代入对应数值验证求解，解题时需注意结合实际场景对解进行合理性取舍。
【难度系数】
0.7
