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下面是某同学设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.
已知：如图，P为$\odot O$外一点.
求作：经过点P的$\odot O$的切线.
作法：
①连接$OP$，作线段$OP$的垂直平分线，交$OP$于点$A$；
②以点$A$为圆心，$OA$的长为半径作圆，交$\odot O$于$B$，$C$两点；
③作直线$PB$，$PC$.
则直线$PB$，$PC$就是所求作的切线.
根据该同学设计的尺规作图过程，完成下列问题.
（1）用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成以下证明过程.（说明：括号里填写推理的依据）
证明：连接$OB$，$OC$.
$\because PO$为$\odot A$的直径，
$\therefore ∠ PBO=∠ PCO=\_\_\_\_\_\_$（ ）.
$\therefore PB⊥ OB$，$PC⊥ OC$.
$\because$点$B$，$C$在$\odot O$上，
$\therefore PB$，$PC$为$\odot O$的切线（ ）.
已知：如图，P为$\odot O$外一点.
求作：经过点P的$\odot O$的切线.
作法：
①连接$OP$，作线段$OP$的垂直平分线，交$OP$于点$A$；
②以点$A$为圆心，$OA$的长为半径作圆，交$\odot O$于$B$，$C$两点；
③作直线$PB$，$PC$.
则直线$PB$，$PC$就是所求作的切线.
根据该同学设计的尺规作图过程，完成下列问题.
（1）用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成以下证明过程.（说明：括号里填写推理的依据）
证明：连接$OB$，$OC$.
$\because PO$为$\odot A$的直径，
$\therefore ∠ PBO=∠ PCO=\_\_\_\_\_\_$（ ）.
$\therefore PB⊥ OB$，$PC⊥ OC$.
$\because$点$B$，$C$在$\odot O$上，
$\therefore PB$，$PC$为$\odot O$的切线（ ）.
答案
解：(1)如图所示.
(2)$90°$ 直径所对的圆周角是直角 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
解析
【分析】
（1）补全图形可按照题目给出的作法逐步操作：首先连接OP，按照作线段垂直平分线的尺规作图规则作出OP的垂直平分线，得到交点A；再以A为圆心、OA长为半径作圆，得到与$\odot O$的交点B、C；最后连接PB、PC即可，注意保留所有作图痕迹。
（2）证明填空可结合已知条件推导：已知PO是$\odot A$的直径，根据圆周角定理的推论可直接得到直径所对的圆周角为直角；后续已知PB垂直半径OB、PC垂直半径OC，且B、C在$\odot O$上（为半径外端），结合切线的判定定理即可完成证明。
【解析】
（1）补全图形步骤：
①用直尺连接OP，分别以O、P为圆心，取大于$\frac{1}{2}OP$的长度为半径画弧，两弧交于OP上下方各一点，过两点作直线即为OP的垂直平分线，该直线与OP的交点记为A；
②以A为圆心，OA长为半径作圆，与$\odot O$交于B、C两点；
③用直尺作直线PB、PC，保留所有作图痕迹，最终图形如下：
（2）证明过程填空：
连接$OB$，$OC$。
$\because PO$为$\odot A$的直径，
$\therefore ∠ PBO=∠ PCO=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
$\therefore PB⊥ OB$，$PC⊥ OC$。
$\because$点$B$，$C$在$\odot O$上，
$\therefore PB$，$PC$为$\odot O$的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）。
【答案】
(1)
(2) $90°$；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【知识点】
尺规作图、圆周角定理推论、切线的判定
【点评】
本题结合尺规作图过程考查基础几何定理的应用，既要求学生掌握常见尺规作图的操作方法，也需要学生熟练记忆相关几何定理的内容，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
（1）补全图形可按照题目给出的作法逐步操作：首先连接OP，按照作线段垂直平分线的尺规作图规则作出OP的垂直平分线，得到交点A；再以A为圆心、OA长为半径作圆，得到与$\odot O$的交点B、C；最后连接PB、PC即可，注意保留所有作图痕迹。
（2）证明填空可结合已知条件推导：已知PO是$\odot A$的直径，根据圆周角定理的推论可直接得到直径所对的圆周角为直角；后续已知PB垂直半径OB、PC垂直半径OC，且B、C在$\odot O$上（为半径外端），结合切线的判定定理即可完成证明。
【解析】
（1）补全图形步骤：
①用直尺连接OP，分别以O、P为圆心，取大于$\frac{1}{2}OP$的长度为半径画弧，两弧交于OP上下方各一点，过两点作直线即为OP的垂直平分线，该直线与OP的交点记为A；
②以A为圆心，OA长为半径作圆，与$\odot O$交于B、C两点；
③用直尺作直线PB、PC，保留所有作图痕迹，最终图形如下：
（2）证明过程填空：
连接$OB$，$OC$。
$\because PO$为$\odot A$的直径，
$\therefore ∠ PBO=∠ PCO=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
$\therefore PB⊥ OB$，$PC⊥ OC$。
$\because$点$B$，$C$在$\odot O$上，
$\therefore PB$，$PC$为$\odot O$的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）。
【答案】
(1)
(2) $90°$；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【知识点】
尺规作图、圆周角定理推论、切线的判定
【点评】
本题结合尺规作图过程考查基础几何定理的应用，既要求学生掌握常见尺规作图的操作方法，也需要学生熟练记忆相关几何定理的内容，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
探究1：如图，PA为$\odot O$的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为点B。图中OB是$\odot O$的一条半径吗？PB是$\odot O$的切线吗？PA，PB有何数量关系？$∠ APO$和$∠ BPO$有何关系？
探究2：如图，已知PA，PB是$\odot O$的两条切线，A，B为切点。求证：$PA = PB$，$∠ APO=∠ BPO$。
新知生成：(1)经过圆外一点的圆的切线上，这点和
(2)从
探究2：如图，已知PA，PB是$\odot O$的两条切线，A，B为切点。求证：$PA = PB$，$∠ APO=∠ BPO$。
新知生成：(1)经过圆外一点的圆的切线上，这点和
切点
之间线段
的长，叫作这点到圆的切线长。(2)从
圆外
一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
。答案
探究1 解：$OB$是$\odot O$的一条半径，$PB$是$\odot O$的切线，$PA=PB$，$∠ APO=∠ BPO$.
探究2 证明：$\because PA$，$PB$是$\odot O$的两条切线，
$\therefore OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$.
$\because OA=OB$，$OP=OP$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAP≌\mathrm{Rt}△ OBP(\mathrm{HL})$.
$\therefore PA=PB$，$∠ APO=∠ BPO$.
新知生成 （1）切点 线段 （2）圆外 相等 夹角
探究2 证明：$\because PA$，$PB$是$\odot O$的两条切线，
$\therefore OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$.
$\because OA=OB$，$OP=OP$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAP≌\mathrm{Rt}△ OBP(\mathrm{HL})$.
$\therefore PA=PB$，$∠ APO=∠ BPO$.
新知生成 （1）切点 线段 （2）圆外 相等 夹角
解析
【分析】
对于探究1，可利用轴对称（折叠）的性质分析：折叠前后对应线段相等、对应角相等，结合切线的判定和性质推导结论：①OA是⊙O的半径，对折后OB与OA重合，即可判断OB是否为半径；②PA是切线可得∠OAP=90°，对折后∠OBP与∠OAP相等，结合OB是半径即可判断PB是否为切线；③对折后PA与PB重合、∠APO与∠BPO重合，即可得到二者的数量和大小关系。
对于探究2，要证明线段相等、角相等，可通过证明三角形全等实现：已知PA、PB是切线，根据切线的性质可得OA⊥PA、OB⊥PB，即△OAP和△OBP都是直角三角形，结合半径相等、公共边OP，用HL定理即可证明两直角三角形全等，进而得到对应边、对应角相等的结论。
对于新知生成，结合前面探究得到的结论，直接对应切线长的定义和切线长定理的内容填空即可。
【解析】
探究1
沿PO对折后点A与点B重合，△OAP与△OBP关于直线PO对称：
1. 因OA是⊙O的半径，对称后OB=OA，故OB是⊙O的半径；
2. 因PA是⊙O的切线，故OA⊥PA，即∠OAP=90°，对称后∠OBP=∠OAP=90°，又OB是半径，根据切线判定定理可得PB是⊙O的切线；
3. 由对称性质可得：对应边PA=PB，对应角∠APO=∠BPO。
探究2
证明：
∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵OA=OB，OP=OP，
∴$\mathrm{Rt}△ OAP≌\mathrm{Rt}△ OBP(\mathrm{HL})$，
∴PA=PB，$∠APO=∠BPO$。
新知生成
根据切线长定义和切线长定理填写：
(1) 切线上圆外一点到切点之间的线段长为切线长；
(2) 圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和该点的连线平分两条切线的夹角。
【答案】
探究1：$OB$是$\odot O$的一条半径，$PB$是$\odot O$的切线，$PA=PB$，$∠ APO=∠ BPO$。
探究2：证明过程如上，可证得$PA = PB$，$∠ APO=∠ BPO$。
新知生成：(1)切点；线段 (2)圆外；相等；夹角
【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；切线长定理
【点评】
本题从折叠探究入手，通过逻辑证明推导得出切线长的相关结论，帮助理解切线长定义和切线长定理的推导过程，是圆的切线模块的基础内容，熟练掌握该定理可简化很多圆相关的证明与计算步骤。
【难度系数】
0.8
对于探究1，可利用轴对称（折叠）的性质分析：折叠前后对应线段相等、对应角相等，结合切线的判定和性质推导结论：①OA是⊙O的半径，对折后OB与OA重合，即可判断OB是否为半径；②PA是切线可得∠OAP=90°，对折后∠OBP与∠OAP相等，结合OB是半径即可判断PB是否为切线；③对折后PA与PB重合、∠APO与∠BPO重合，即可得到二者的数量和大小关系。
对于探究2，要证明线段相等、角相等，可通过证明三角形全等实现：已知PA、PB是切线，根据切线的性质可得OA⊥PA、OB⊥PB，即△OAP和△OBP都是直角三角形，结合半径相等、公共边OP，用HL定理即可证明两直角三角形全等，进而得到对应边、对应角相等的结论。
对于新知生成，结合前面探究得到的结论，直接对应切线长的定义和切线长定理的内容填空即可。
【解析】
探究1
沿PO对折后点A与点B重合，△OAP与△OBP关于直线PO对称：
1. 因OA是⊙O的半径，对称后OB=OA，故OB是⊙O的半径；
2. 因PA是⊙O的切线，故OA⊥PA，即∠OAP=90°，对称后∠OBP=∠OAP=90°，又OB是半径，根据切线判定定理可得PB是⊙O的切线；
3. 由对称性质可得：对应边PA=PB，对应角∠APO=∠BPO。
探究2
证明：
∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵OA=OB，OP=OP，
∴$\mathrm{Rt}△ OAP≌\mathrm{Rt}△ OBP(\mathrm{HL})$，
∴PA=PB，$∠APO=∠BPO$。
新知生成
根据切线长定义和切线长定理填写：
(1) 切线上圆外一点到切点之间的线段长为切线长；
(2) 圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和该点的连线平分两条切线的夹角。
【答案】
探究1：$OB$是$\odot O$的一条半径，$PB$是$\odot O$的切线，$PA=PB$，$∠ APO=∠ BPO$。
探究2：证明过程如上，可证得$PA = PB$，$∠ APO=∠ BPO$。
新知生成：(1)切点；线段 (2)圆外；相等；夹角
【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；切线长定理
【点评】
本题从折叠探究入手，通过逻辑证明推导得出切线长的相关结论，帮助理解切线长定义和切线长定理的推导过程，是圆的切线模块的基础内容，熟练掌握该定理可简化很多圆相关的证明与计算步骤。
【难度系数】
0.8
如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，并与⊙O的另一条切线分别相交于D，C两点，已知PA＝5 cm，则△PCD的周长为
10
cm.答案
10
解析
【分析】
本题是与圆的切线相关的周长计算问题，解题核心是运用切线长定理进行线段的等量替换。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。第一步先确定P点到圆的两条切线PA、PB长度相等，已知PA=5cm，可得PB的长度；第二步观察DC是圆的另一条切线，分别从D、C两点引出的两条切线长度相等，即DA等于DC上的对应切线段、CB等于DC上的另一部分切线段；最后将△PCD的周长拆分，通过等量替换转化为PA与PB的和，即可求解。
【解析】
设DC与⊙O相切于点E。
∵ PA、PB分别切⊙O于A、B两点，根据切线长定理，
∴ PA = PB = 5 cm。
又
∵ DA、DE是点D向⊙O引的两条切线，CB、CE是点C向⊙O引的两条切线，
∴ DA = DE，CB = CE。
△PCD的周长为：
$C_{△ PCD}=PD + DC + PC = PD + DE + CE + PC$
将DE替换为DA，CE替换为CB，可得：
$C_{△ PCD}=PD + DA + PC + CB=(PD+DA)+(PC+CB)=PA + PB=5+5=10\ \mathrm{cm}$
【答案】
10
【知识点】
切线长定理，三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的关键是通过切线长相等将三角形的未知周长转化为已知的两条切线长的和，熟练掌握切线长定理就能快速解题。
【难度系数】
0.8
本题是与圆的切线相关的周长计算问题，解题核心是运用切线长定理进行线段的等量替换。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。第一步先确定P点到圆的两条切线PA、PB长度相等，已知PA=5cm，可得PB的长度；第二步观察DC是圆的另一条切线，分别从D、C两点引出的两条切线长度相等，即DA等于DC上的对应切线段、CB等于DC上的另一部分切线段；最后将△PCD的周长拆分，通过等量替换转化为PA与PB的和，即可求解。
【解析】
设DC与⊙O相切于点E。
∵ PA、PB分别切⊙O于A、B两点，根据切线长定理，
∴ PA = PB = 5 cm。
又
∵ DA、DE是点D向⊙O引的两条切线，CB、CE是点C向⊙O引的两条切线，
∴ DA = DE，CB = CE。
△PCD的周长为：
$C_{△ PCD}=PD + DC + PC = PD + DE + CE + PC$
将DE替换为DA，CE替换为CB，可得：
$C_{△ PCD}=PD + DA + PC + CB=(PD+DA)+(PC+CB)=PA + PB=5+5=10\ \mathrm{cm}$
【答案】
10
【知识点】
切线长定理，三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的关键是通过切线长相等将三角形的未知周长转化为已知的两条切线长的和，熟练掌握切线长定理就能快速解题。
【难度系数】
0.8
请根据本课所学，构建知识体系。
答案
解：
1. 过圆外一点作圆的切线：过圆外任意一点，有且仅能向该圆作两条切线。
2. 切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
4. 应用：可用于证明线段相等、角相等，结合勾股定理计算线段长度、角度，解决三角形内切圆相关的边长、周长类计算与证明问题。
1. 过圆外一点作圆的切线：过圆外任意一点，有且仅能向该圆作两条切线。
2. 切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
4. 应用：可用于证明线段相等、角相等，结合勾股定理计算线段长度、角度，解决三角形内切圆相关的边长、周长类计算与证明问题。
解析
【分析】
本题要求构建切线长相关的知识体系，可按照给出的流程图的递进逻辑梳理：首先明确过圆外一点作圆切线的基础结论，其次区分“切线”和“切线长”的差异，准确掌握切线长的定义，再牢记切线长定理的核心内容，最后梳理清楚切线长定理的常见应用场景，按照“操作-概念-定理-应用”的逻辑逐一整理对应知识点即可。
【解析】
我们按照知识递进顺序依次梳理各模块内容：
1. 过圆外一点作圆的切线的基本结论：圆外一点与圆的位置关系决定了过该点可作切线的数量，过圆外任意一点，有且仅能向该圆作两条切线。
2. 切线长定义：注意切线是直线，不可度量，切线长是可度量的线段长度，具体为经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
3. 切线长定理：可通过全等三角形证明该结论，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
4. 应用方向：结合定理给出的线段相等、角相等的结论，可用于证明线段相等、角相等，结合勾股定理计算线段长度、角度，也可解决三角形内切圆相关的边长、周长类计算与证明问题。
【答案】
1. 过圆外一点作圆的切线：过圆外任意一点，有且仅能向该圆作两条切线。
2. 切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
4. 应用：可用于证明线段相等、角相等，结合勾股定理计算线段长度、角度，解决三角形内切圆相关的边长、周长类计算与证明问题。
【知识点】
切线长定义、切线长定理、圆的切线作图
【点评】
本题属于知识体系梳理类基础题，能够帮助理清概念、定理、应用间的逻辑关联，准确区分切线与切线长的概念、熟练运用切线长定理是解决后续圆相关几何问题的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题要求构建切线长相关的知识体系，可按照给出的流程图的递进逻辑梳理：首先明确过圆外一点作圆切线的基础结论，其次区分“切线”和“切线长”的差异，准确掌握切线长的定义，再牢记切线长定理的核心内容，最后梳理清楚切线长定理的常见应用场景，按照“操作-概念-定理-应用”的逻辑逐一整理对应知识点即可。
【解析】
我们按照知识递进顺序依次梳理各模块内容：
1. 过圆外一点作圆的切线的基本结论：圆外一点与圆的位置关系决定了过该点可作切线的数量，过圆外任意一点，有且仅能向该圆作两条切线。
2. 切线长定义：注意切线是直线，不可度量，切线长是可度量的线段长度，具体为经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
3. 切线长定理：可通过全等三角形证明该结论，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
4. 应用方向：结合定理给出的线段相等、角相等的结论，可用于证明线段相等、角相等，结合勾股定理计算线段长度、角度，也可解决三角形内切圆相关的边长、周长类计算与证明问题。
【答案】
1. 过圆外一点作圆的切线：过圆外任意一点，有且仅能向该圆作两条切线。
2. 切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
4. 应用：可用于证明线段相等、角相等，结合勾股定理计算线段长度、角度，解决三角形内切圆相关的边长、周长类计算与证明问题。
【知识点】
切线长定义、切线长定理、圆的切线作图
【点评】
本题属于知识体系梳理类基础题，能够帮助理清概念、定理、应用间的逻辑关联，准确区分切线与切线长的概念、熟练运用切线长定理是解决后续圆相关几何问题的重要基础。
【难度系数】
0.8
