1. 一个等腰三角形，其中两个内角的度数比是2：5，它的三个内角可能是 （）

A.$30°,30°,120°$
B.$50°,50°,80°$
C.$75°,75°,30°$
D.$80°,80°,20°$

1.C

【分析】
首先明确等腰三角形的两个底角相等，题目仅给出两个内角的度数比为2:5，未说明这两个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①较大比值的角为底角，较小比值的角为顶角；②较小比值的角为底角，较大比值的角为顶角。再结合三角形内角和为180°分别计算两种情况下三个内角的度数，最后匹配选项即可。
【解析】
解：等腰三角形两个底角相等，已知两个内角度数比为2:5，分两种情况讨论：
情况1：若底角与顶角的度数比为5:2，即三个内角度数比为5:5:2。
总份数：$5+5+2=12$
每份度数：$180°÷12=15°$
三个内角分别为：$5×15°=75°$，$5×15°=75°$，$2×15°=30°$，即$75°、75°、30°$，对应选项C。
情况2：若底角与顶角的度数比为2:5，即三个内角度数比为2:2:5。
总份数：$2+2+5=9$
每份度数：$180°÷9=20°$
三个内角分别为：$2×20°=40°$，$2×20°=40°$，$5×20°=100°$，该结果无对应选项。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形内角计算的常见题型，解题的关键是注意未明确角的类型时要分类讨论，避免因漏算情况出错，计算后结合选项筛选即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7

2. [2024·安庆潜山期末]若等腰三角形的一个外角是 $128°$，则这个等腰三角形的顶角的度数是。

2. 52°或76°

【分析】
解答本题需要运用分类讨论思想：首先等腰三角形的一个外角为128°，该外角对应的相邻内角既可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，需分两种情况分析。第一步先根据外角与相邻内角互补的性质求出对应内角的度数，第二步结合等腰三角形两底角相等的性质、三角形内角和为180°计算顶角的度数，最后验证两种情况是否符合三角形内角的取值要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若128°是等腰三角形顶角的外角，
则顶角的度数为 $180° - 128° = 52°$；
② 若128°是等腰三角形底角的外角，
则底角的度数为 $180° - 128° = 52°$，
此时顶角的度数为 $180° - 2×52° = 76°$。
两种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
$52°$或$76°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解题时要注意外角对应的内角可能是等腰三角形的顶角也可能是底角，切勿只考虑单一情况导致漏解。
【难度系数】
0.6

3. 已知$△ ABC$是等腰三角形.
(1)若$∠ A=100°$,则$∠ B=$;
(2)若$∠ A=50°$,则$∠ B=$.

3.(1)40° (2)65°或80°或50°

【分析】
解题需结合等腰三角形“两底角相等”的性质和三角形内角和为180°的定理，对不确定是顶角还是底角的已知角要分类讨论，同时需验证计算出的角度是否符合三角形内角和要求。
(1)中∠A=100°，若作为底角，两个底角之和将超过180°，不符合内角和定理，因此∠A只能是顶角，直接计算底角即可。
(2)中∠A=50°，既可作为顶角也可作为底角，还要进一步讨论∠B的角色（顶角/底角），逐一计算后验证合理性即可。
【解析】
(1) 在等腰△ABC中，已知∠A=100°：
∵ 三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，若∠A为底角，则两个底角和为100°×2=200°＞180°，不符合定理，
∴ ∠A只能为顶角，
∴ 底角∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-100°)÷2=40°。
(2) 已知∠A=50°，分三类情况讨论：
① 若∠A为顶角，∠B为底角：
∠B=(180°-50°)÷2=65°；
② 若∠A为底角，∠B也为底角：
∠B=∠A=50°；
③ 若∠A为底角，∠B为顶角：
∠B=180°-2×∠A=180°-2×50°=80°。
以上三种情况均满足三角形内角和定理，均成立。
【答案】
(1)40°；(2)65°或80°或50°
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题核心是明确已知角的角色不唯一时要分类讨论，同时要注意排除不符合三角形内角和的错误情况，避免漏解、错解。
【难度系数】
0.65

4. [2025·阜阳太和期末]已知等腰三角形的一边长是5，则另两边长不可以是（）

A.2,2
B.3,3
C.2,5
D.5,5

4.A

【分析】
要解决这道题，需结合等腰三角形的特征和三角形三边关系判断：①等腰三角形至少有两条边长度相等，已知一边长为5时，另外两边要么有一个等于5，要么两条都相等（此时5为底边长）；②构成三角形必须满足“任意两边之和大于第三边”，只需逐个验证选项是否同时满足这两个条件，找到不符合的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 若另两边长为2和2，此时三边长为2，2，5。
因为2+2=4＜5，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，因此该组边长不可行。
B. 若另两边长为3和3，此时三边长为3，3，5。
3+3=6＞5，3+5＞3，满足三边关系，且有两条边相等，符合等腰三角形要求，可行。
C. 若另两边长为2和5，此时三边长为2，5，5。
2+5=7＞5，5+5＞2，满足三边关系，且有两条边相等，符合等腰三角形要求，可行。
D. 若另两边长为5和5，此时三边长为5，5，5（等边三角形是特殊的等腰三角形）。
5+5＞5，满足三边关系，符合要求，可行。
综上，只有A选项的边长不可行。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形定义；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形的基础易考题，解题时不能仅关注边相等的特征，还要验证三边是否满足三角形的构成条件，避免忽略三边关系导致判断错误。
【难度系数】
0.7

5. 四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化. 当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（）


A.2
B.3
C.4
D.5

5.B

【分析】
解决本题需结合等腰三角形性质和三角形三边关系分析：首先，△ABC是等腰三角形，已知AB=3、BC=4，因此需分两种情况讨论AC的可能长度；其次，AC同时是△ACD的边，△ACD中AD=CD=2，需满足三角形三边关系才能构成三角形，据此排除不符合要求的取值即可得到正确结果。
【解析】
已知△ABC为等腰三角形，△ABC的边长AB=3，BC=4，分类讨论：
1. 若AC=AB，则AC=3，此时验证△ACD的三边关系：AD=2，CD=2，满足2+2＞3、2+3＞2，可构成三角形，符合要求；
2. 若AC=BC，则AC=4，此时△ACD中AD+CD=2+2=4=AC，三点共线无法构成三角形，不符合要求，排除；
3. AB=3、BC=4，长度不相等，无需考虑AB=BC的情况。
综上，AC的长为3。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的定义，三角形三边关系
【点评】
本题核心考查等腰三角形的分类讨论思想，解题时要注意挖掘隐含条件：AC同时属于两个三角形，需同时满足两个三角形的构成要求，避免只考虑等腰三角形条件忽略三边关系导致错选。
【难度系数】
0.7

6.(1)若等腰三角形的两边长分别为2和3，则其周长为；
(2)若等腰三角形的两边长分别为3和6，则其周长为。

6.(1)7或8 (2)15

【分析】
解决本题需要结合等腰三角形的性质和三角形三边关系分析：①等腰三角形的两条腰长度相等，题目未明确给出两条边长哪个是腰、哪个是底，因此需要分两种情况分类讨论；②根据三角形“任意两边之和大于第三边”的规则，对每种情况的三边长进行验证，排除无法构成三角形的情况，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当腰长为2时，三角形三边长为2、2、3，满足2+2＞3、2+3＞2，符合三角形三边关系，此时周长为2+2+3=7；
② 当腰长为3时，三角形三边长为3、3、2，满足3+3＞2、3+2＞3，符合三角形三边关系，此时周长为3+3+2=8。
(2) 分两种情况讨论：
① 当腰长为3时，三角形三边长为3、3、6，由于3+3=6，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况；
② 当腰长为6时，三角形三边长为6、6、3，满足6+6＞3、6+3＞6，符合三角形三边关系，此时周长为6+6+3=15。
【答案】
(1)7或8；(2)15
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型易错题，解题时首先要树立分类讨论的意识，其次必须对分类后得到的三边进行合法性验证，避免忽略三边关系导致错解、多解。
【难度系数】
0.7

7.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线与$AC$所在直线相交所得的锐角为$50°$，则$∠ B$的度数为________。

7. 70°或20°

【分析】
本题考查等腰三角形的角度计算，解题关键是注意题干中“AC所在直线”的表述，交点位置存在两种情况：①交点在线段AC上（此时△ABC为锐角三角形，顶角∠A为锐角）；②交点在CA的延长线上（此时△ABC为钝角三角形，顶角∠BAC为钝角）。先结合线段垂直平分线的性质求出对应情况下顶角的度数，再利用等腰三角形两底角相等的性质计算∠B的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：当AB的垂直平分线与线段AC相交时，设垂直平分线交AB于点E、交AC于点D，由题意得相交所得锐角∠ADE=50°。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠AED=90°，
∴∠A=90°-∠ADE=90°-50°=40°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
结合三角形内角和为180°，可得：
∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-40°)÷2=70°。
情况2：当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时，设垂直平分线交AB于点E、交CA的延长线于点D，由题意得相交所得锐角∠ADE=50°。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°-∠ADE=90°-50°=40°，
∴顶角∠BAC=180°-∠DAE=180°-40°=140°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
结合三角形内角和为180°，可得：
∠B=(180°-∠BAC)÷2=(180°-140°)÷2=20°。
综上，∠B的度数为70°或20°。
【答案】
70°或20°
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“直线”的表述，仅考虑交点在线段AC上的情况导致漏解，解题时要结合图形分析所有可能的位置情况，全面考虑等腰三角形顶角的不同类型，避免思维定式。
【难度系数】
0.6

8. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$40°$，则这个等腰三角形的底角的度数为.

8. 65°或25°

【分析】
等腰三角形的形状未明确，一腰上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分两种情况讨论：①当等腰三角形为锐角三角形时，高落在三角形内部；②当等腰三角形为钝角三角形时，高落在三角形外部。先结合高的夹角求出两种情况的顶角度数，再根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角即可。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：等腰三角形为锐角三角形，腰上的高在三角形内部
∵ 腰上的高与腰垂直，夹角为90°，且高与另一腰的夹角为40°
∴ 顶角的度数为 $90° - 40° = 50°$
∵ 等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°
∴ 底角度数为 $\frac{180° - 50°}{2} = 65°$
情况2：等腰三角形为钝角三角形，腰上的高在三角形外部
∵ 腰上的高与腰垂直，夹角为90°，且高与另一腰的夹角为40°
∴ 顶角的外角度数为 $90° - 40° = 50°$
∴ 顶角的度数为 $180° - 50° = 130°$
∴ 底角度数为 $\frac{180° - 130°}{2} = 25°$
综上，这个等腰三角形的底角度数为65°或25°。
【答案】
65°或25°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况，导致漏解。解决等腰三角形角度计算类问题时，若题目未明确三角形的形状，一定要注意分情况讨论，避免遗漏符合条件的结果。
【难度系数】
0.65

9. [2024·淮南期末]如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在y轴和x轴上,∠ABO=60°,在坐标轴上找一点P,使得△PAB是等腰三角形,则符合条件的点P共有 ()


A.8个
B.7个
C.6个
D.5个

9.C

【分析】
要找出坐标轴上使得△PAB为等腰三角形的点P，需根据等腰三角形“两边相等”的判定分类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点；②AB为腰，B为顶角顶点；③AB为底，P为顶角顶点。结合图形和∠ABO=60°的特殊条件，排除重合点和无法构成三角形的点，最终统计符合条件的点的数量。
【解析】
我们分三类讨论：
1. 当$AB=AP$时，以A为圆心、AB长为半径画圆，与坐标轴的交点即为P（排除与B重合的点，三点共线不能构成三角形）：
与y轴交于A上方、A下方共2个点，与x轴交于x正半轴1个点（B点舍去），共得到3个符合条件的点。
2. 当$AB=BP$时，以B为圆心、AB长为半径画圆，与坐标轴的交点即为P（排除与A重合的点）：
与x轴交于B左侧、B右侧共2个新的点，与y轴负半轴的交点已在第1类中计数，共新增2个符合条件的点。
3. 当$PA=PB$时，作AB的垂直平分线，与坐标轴的交点即为P：
与x轴交于1个新的点，与y轴负半轴的交点已计数，共新增1个符合条件的点。
综上，符合条件的点共有$3+2+1=6$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定；分类讨论思想；垂直平分线的性质
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，解题核心是掌握分类讨论的思路，按顶角顶点的不同分情况找交点，同时注意特殊角度下会出现点重合的情况，避免漏数或重复计数。
【难度系数】
0.6

10. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=90°$，在射线$BA$上找一点$D$，使$△ ACD$为等腰三角形，则$∠ ADC$的度数为。

10. 70°或100°或20°

【分析】
首先根据△ABC的已知内角度数，先求出∠BAC的度数。由于题目未明确△ACD的腰和底，且点D在射线BA上，因此需要分三种情况讨论等腰三角形的构成，再结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形内角和定理分别计算∠ADC的度数，同时排除不符合点D位置要求的情况即可。
【解析】
在△ABC中，∠B=50°，∠ACB=90°，由三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC=180°-90°-50°=40°$。
分三种情况讨论：
1. 当$AC=AD$，且点D在线段BA上时：
此时△ACD中，$AC=AD$，$∠ CAD=∠ BAC=40°$，
由等腰三角形两底角相等得：
$∠ ADC=(180°-∠ CAD)÷2=(180°-40°)÷2=70°$；
2. 当$AD=CD$时：
此时△ACD中，$AD=CD$，故$∠ ACD=∠ CAD=40°$，
由三角形内角和得：
$∠ ADC=180°-40°-40°=100°$；
3. 当$AC=AD$，且点D在BA的延长线（A的右侧）上时：
此时$∠ CAD=180°-∠ BAC=180°-40°=140°$，
$AC=AD$，故$∠ ADC=(180°-140°)÷2=20°$。
综上，$∠ ADC$的度数为$70°$或$100°$或$20°$。
【答案】
$70°$或$100°$或$20°$
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题的关键是明确未限定腰和底的等腰三角形需分情况讨论，同时要注意点在射线上的位置要求，避免漏解或者出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.6