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【例】已知$A(-4,y_1),B(1,y_2)$两点都在二次函数$y=-3(x+1)^2+2$的图象上,试比较$y_1$与$y_2$的大小关系.
解法1(直接代入法):把$A(-4,y_1),B(1,y_2)$分别代入$y=-3(x+1)^2+2$中,得$y_1=\_\_\_\_\_\_,y_2=\_\_\_\_\_\_,\therefore y_1\_\_\_\_\_\_y_2.$
解法2(增减性比较法):$\because y=-3(x+1)^2+2,\therefore$抛物线的对称轴为直线$\_\_\_\_\_\_.$
$\therefore$点$A,B$位于对称轴的________侧(填“同”或“异”),利用对称性可知,点$A$关于对称轴对称的点的坐标为$\_\_\_\_\_\_.\because a=-3＜0,\therefore$当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而$\_\_\_\_\_\_.$又$\because\_\_\_\_\_\_＞1,\therefore y_1\_\_\_\_\_\_y_2.$
【方法归纳】增减性比较法一般是先定对称轴,再看点的位置,同侧利用增减性直接比较,异侧利用对称性转化为同侧再比较.
解法3(距离比较法):
(1)该抛物线开口向________,抛物线的对称轴为直线$\_\_\_\_\_\_.$
(2)画出抛物线的示意图(标明对称轴的位置).
(3)分别计算点$A,B$到对称轴的距离,可知点$A$到对称轴的距离比点$B$到对称轴的距离________(填“近”或“远”),结合示意图可得$y_1\_\_\_\_\_\_y_2.$
【方法归纳】距离比较法一般先定开口方向,再算距离.开口向上,距离对称轴越远,所对应的函数值越大;开口向下,距离对称轴越远,所对应的函数值越小.
解法1(直接代入法):把$A(-4,y_1),B(1,y_2)$分别代入$y=-3(x+1)^2+2$中,得$y_1=\_\_\_\_\_\_,y_2=\_\_\_\_\_\_,\therefore y_1\_\_\_\_\_\_y_2.$
解法2(增减性比较法):$\because y=-3(x+1)^2+2,\therefore$抛物线的对称轴为直线$\_\_\_\_\_\_.$
$\therefore$点$A,B$位于对称轴的________侧(填“同”或“异”),利用对称性可知,点$A$关于对称轴对称的点的坐标为$\_\_\_\_\_\_.\because a=-3＜0,\therefore$当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而$\_\_\_\_\_\_.$又$\because\_\_\_\_\_\_＞1,\therefore y_1\_\_\_\_\_\_y_2.$
【方法归纳】增减性比较法一般是先定对称轴,再看点的位置,同侧利用增减性直接比较,异侧利用对称性转化为同侧再比较.
解法3(距离比较法):
(1)该抛物线开口向________,抛物线的对称轴为直线$\_\_\_\_\_\_.$
(2)画出抛物线的示意图(标明对称轴的位置).
(3)分别计算点$A,B$到对称轴的距离,可知点$A$到对称轴的距离比点$B$到对称轴的距离________(填“近”或“远”),结合示意图可得$y_1\_\_\_\_\_\_y_2.$
【方法归纳】距离比较法一般先定开口方向,再算距离.开口向上,距离对称轴越远,所对应的函数值越大;开口向下,距离对称轴越远,所对应的函数值越小.
答案
解：
解法1(直接代入法):把$A(-4,y_1),B(1,y_2)$分别代入$y=-3(x+1)^2+2$中，
得$y_1=-3×(-4+1)^2+2=-25$，$y_2=-3×(1+1)^2+2=-10$，$\therefore y_1 ＜ y_2$。
解法2(增减性比较法):$\because y=-3(x+1)^2+2$，$\therefore$抛物线的对称轴为直线$\boldsymbol{x=-1}$。
$\therefore$点$A,B$位于对称轴的异侧，利用对称性可知，点$A$关于对称轴对称的点的坐标为$\boldsymbol{(2,y_1)}$。
$\because a=-3＜0$，$\therefore$当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
又$\because \boldsymbol{2}＞1$，$\therefore y_1 ＜ y_2$。
解法3(距离比较法):
(1)该抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线$\boldsymbol{x=-1}$。
(2)示意图已给出，对称轴为虚线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,2)$，开口向下。
(3)点$A$到对称轴的距离为$|-4 - (-1)|=3$，点$B$到对称轴的距离为$|1 - (-1)|=2$，可知点$A$到对称轴的距离比点$B$到对称轴的距离远，结合示意图可得$y_1 ＜ y_2$。
最终结论：$\boldsymbol{y_1 ＜ y_2}$。
解法1(直接代入法):把$A(-4,y_1),B(1,y_2)$分别代入$y=-3(x+1)^2+2$中，
得$y_1=-3×(-4+1)^2+2=-25$，$y_2=-3×(1+1)^2+2=-10$，$\therefore y_1 ＜ y_2$。
解法2(增减性比较法):$\because y=-3(x+1)^2+2$，$\therefore$抛物线的对称轴为直线$\boldsymbol{x=-1}$。
$\therefore$点$A,B$位于对称轴的异侧，利用对称性可知，点$A$关于对称轴对称的点的坐标为$\boldsymbol{(2,y_1)}$。
$\because a=-3＜0$，$\therefore$当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
又$\because \boldsymbol{2}＞1$，$\therefore y_1 ＜ y_2$。
解法3(距离比较法):
(1)该抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线$\boldsymbol{x=-1}$。
(2)示意图已给出，对称轴为虚线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,2)$，开口向下。
(3)点$A$到对称轴的距离为$|-4 - (-1)|=3$，点$B$到对称轴的距离为$|1 - (-1)|=2$，可知点$A$到对称轴的距离比点$B$到对称轴的距离远，结合示意图可得$y_1 ＜ y_2$。
最终结论：$\boldsymbol{y_1 ＜ y_2}$。
解析
【分析】
本题考查二次函数图象上点的函数值大小比较，共有三种常规解题思路：1.直接代入法：将两点横坐标分别代入函数解析式，计算出对应y值后直接比较大小，思路直接，只需注意运算准确性即可；2.增减性比较法：先确定二次函数的对称轴，判断两点在对称轴的同侧还是异侧，若为异侧则利用对称性将其中一点对称到另一侧，转化为同侧点后结合二次函数增减性比较大小；3.距离比较法：先明确抛物线开口方向，再计算两点到对称轴的水平距离，结合开口方向对应的函数值变化规律直接比较大小。
【解析】
解法1（直接代入法）
把$A(-4,y_1)$代入$y=-3(x+1)^2+2$，得：
$y_1=-3×(-4+1)^2+2=-3×9+2=-25$
把$B(1,y_2)$代入$y=-3(x+1)^2+2$，得：
$y_2=-3×(1+1)^2+2=-3×4+2=-10$
因为$-25＜-10$，因此$y_1＜y_2$。
解法2（增减性比较法）
二次函数$y=-3(x+1)^2+2$为顶点式，因此抛物线对称轴为直线$x=-1$；
点A横坐标为$-4$（对称轴左侧），点B横坐标为$1$（对称轴右侧），因此两点位于对称轴的异侧；
点A关于直线$x=-1$的对称点纵坐标与$y_1$相同，横坐标满足$\frac{-4+x}{2}=-1$，解得$x=2$，即对称点坐标为$(2,y_1)$；
因为$a=-3＜0$，抛物线开口向下，因此当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小；
此时对称点$(2,y_1)$和点$B(1,y_2)$都在对称轴右侧，且$2＞1$，因此$y_1＜y_2$。
解法3（距离比较法）
(1) 由$a=-3＜0$，可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$；
(3) 点A到对称轴的距离为$\vert-4 - (-1)\vert=3$，点B到对称轴的距离为$\vert1 - (-1)\vert=2$，$3＞2$，因此点A到对称轴的距离比点B更远；
结合开口向下时“距离对称轴越远，函数值越小”的规律，可得$y_1＜y_2$。
【答案】
$y_1 ＜ y_2$
（填空答案依次为：$-25$；$-10$；$＜$；$x=-1$；异；$(2,y_1)$；减小；$2$；$＜$；下；$x=-1$；远；$＜$）
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的对称性；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题以一题多解的形式考查二次函数值的大小比较，能够帮助学生从不同角度理解二次函数的增减性、对称性等核心性质，引导学生灵活选择解题方法，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象上点的函数值大小比较，共有三种常规解题思路：1.直接代入法：将两点横坐标分别代入函数解析式，计算出对应y值后直接比较大小，思路直接，只需注意运算准确性即可；2.增减性比较法：先确定二次函数的对称轴，判断两点在对称轴的同侧还是异侧，若为异侧则利用对称性将其中一点对称到另一侧，转化为同侧点后结合二次函数增减性比较大小；3.距离比较法：先明确抛物线开口方向，再计算两点到对称轴的水平距离，结合开口方向对应的函数值变化规律直接比较大小。
【解析】
解法1（直接代入法）
把$A(-4,y_1)$代入$y=-3(x+1)^2+2$，得：
$y_1=-3×(-4+1)^2+2=-3×9+2=-25$
把$B(1,y_2)$代入$y=-3(x+1)^2+2$，得：
$y_2=-3×(1+1)^2+2=-3×4+2=-10$
因为$-25＜-10$，因此$y_1＜y_2$。
解法2（增减性比较法）
二次函数$y=-3(x+1)^2+2$为顶点式，因此抛物线对称轴为直线$x=-1$；
点A横坐标为$-4$（对称轴左侧），点B横坐标为$1$（对称轴右侧），因此两点位于对称轴的异侧；
点A关于直线$x=-1$的对称点纵坐标与$y_1$相同，横坐标满足$\frac{-4+x}{2}=-1$，解得$x=2$，即对称点坐标为$(2,y_1)$；
因为$a=-3＜0$，抛物线开口向下，因此当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小；
此时对称点$(2,y_1)$和点$B(1,y_2)$都在对称轴右侧，且$2＞1$，因此$y_1＜y_2$。
解法3（距离比较法）
(1) 由$a=-3＜0$，可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$；
(3) 点A到对称轴的距离为$\vert-4 - (-1)\vert=3$，点B到对称轴的距离为$\vert1 - (-1)\vert=2$，$3＞2$，因此点A到对称轴的距离比点B更远；
结合开口向下时“距离对称轴越远，函数值越小”的规律，可得$y_1＜y_2$。
【答案】
$y_1 ＜ y_2$
（填空答案依次为：$-25$；$-10$；$＜$；$x=-1$；异；$(2,y_1)$；减小；$2$；$＜$；下；$x=-1$；远；$＜$）
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的对称性；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题以一题多解的形式考查二次函数值的大小比较，能够帮助学生从不同角度理解二次函数的增减性、对称性等核心性质，引导学生灵活选择解题方法，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
1. 已知$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是抛物线$y=-2x^2-2$上的点，且$|x_1|＞|x_2|$，则$y_1$与$y_2$的大小关系为（）
A.$y_1=y_2$
B.$y_1＞y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.无法确定
A.$y_1=y_2$
B.$y_1＞y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
解题时可先从抛物线的解析式入手分析其基本性质：首先确定抛物线的开口方向、对称轴，再明确|x|的几何意义是抛物线上的点到y轴（对称轴）的距离，结合开口方向判断“点到对称轴的距离”和“函数值大小”的关系，最后代入题干给出的|x₁|＞|x₂|的条件即可比较y₁和y₂的大小。也可采用特值法，给x₁、x₂赋值满足|x₁|＞|x₂|，代入计算y₁、y₂后直接比较。
【解析】
方法一（性质法）：
∵抛物线的解析式为$y=-2x^2-2$
∴二次项系数$a=-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（即y轴）
对于开口向下的抛物线，抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越小，其中点到对称轴$x=0$的距离为$|x|$
已知$|x_1|＞|x_2|$，说明点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离
因此$y_1＜y_2$
方法二（特值法）：
取满足$|x_1|＞|x_2|$的特殊值，例如令$x_1=2$，$x_2=1$
代入解析式得：$y_1=-2×2^2-2=-10$，$y_2=-2×1^2-2=-4$
∵$-10＜-4$
∴$y_1＜y_2$
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数函数值比较的典型基础题，解题关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与函数值变化规律的关系，特值法也可快速破解这类题型，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
解题时可先从抛物线的解析式入手分析其基本性质：首先确定抛物线的开口方向、对称轴，再明确|x|的几何意义是抛物线上的点到y轴（对称轴）的距离，结合开口方向判断“点到对称轴的距离”和“函数值大小”的关系，最后代入题干给出的|x₁|＞|x₂|的条件即可比较y₁和y₂的大小。也可采用特值法，给x₁、x₂赋值满足|x₁|＞|x₂|，代入计算y₁、y₂后直接比较。
【解析】
方法一（性质法）：
∵抛物线的解析式为$y=-2x^2-2$
∴二次项系数$a=-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（即y轴）
对于开口向下的抛物线，抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越小，其中点到对称轴$x=0$的距离为$|x|$
已知$|x_1|＞|x_2|$，说明点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离
因此$y_1＜y_2$
方法二（特值法）：
取满足$|x_1|＞|x_2|$的特殊值，例如令$x_1=2$，$x_2=1$
代入解析式得：$y_1=-2×2^2-2=-10$，$y_2=-2×1^2-2=-4$
∵$-10＜-4$
∴$y_1＜y_2$
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数函数值比较的典型基础题，解题关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与函数值变化规律的关系，特值法也可快速破解这类题型，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
2.设$A(-3,y_1)$，$B(-2,y_2)$，$C(2,y_3)$是抛物线$y=-x^2-2x+c$上的三点，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系为（）
A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_1＞y_2＞y_3$
C.$y_1＞y_3＞y_2$
D.$y_2＞y_1＞y_3$
A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_1＞y_2＞y_3$
C.$y_1＞y_3＞y_2$
D.$y_2＞y_1＞y_3$
答案
D
解析
【分析】
要比较抛物线上三点的函数值大小，首先需明确二次函数的基本性质：首先根据二次项系数判断开口方向，再求出抛物线的对称轴，对于开口向下的抛物线，点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大；也可以直接将三点横坐标代入解析式，分别求出$y_1$、$y_2$、$y_3$的表达式再比较大小。
【解析】
方法一（利用二次函数性质比较）：
对于抛物线$y=-x^2-2x+c$，
$\because$ 二次项系数$a=-1＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，
对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$，
开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越近，函数值越大，
分别计算三点到对称轴$x=-1$的距离：
点$A(-3,y_1)$到对称轴的距离：$|-3 - (-1)|=2$，
点$B(-2,y_2)$到对称轴的距离：$|-2 - (-1)|=1$，
点$C(2,y_3)$到对称轴的距离：$|2 - (-1)|=3$，
$\because 1＜2＜3$，$\therefore y_2＞y_1＞y_3$。
方法二（代入计算法）：
将三点横坐标分别代入抛物线解析式：
$y_1=-(-3)^2 -2×(-3)+c=-9+6+c=c-3$，
$y_2=-(-2)^2 -2×(-2)+c=-4+4+c=c$，
$y_3=-2^2 -2×2 +c=-4-4+c=c-8$，
$\because c ＞ c-3 ＞ c-8$，$\therefore y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数对称轴计算；函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数值比较的常考题型，解题核心是掌握二次函数的开口方向、对称轴与函数值变化的关系，既可以利用几何性质（点到对称轴的距离）快速判断，也可以通过代数计算直接求值比较，两种方法可灵活选择。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上三点的函数值大小，首先需明确二次函数的基本性质：首先根据二次项系数判断开口方向，再求出抛物线的对称轴，对于开口向下的抛物线，点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大；也可以直接将三点横坐标代入解析式，分别求出$y_1$、$y_2$、$y_3$的表达式再比较大小。
【解析】
方法一（利用二次函数性质比较）：
对于抛物线$y=-x^2-2x+c$，
$\because$ 二次项系数$a=-1＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，
对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$，
开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越近，函数值越大，
分别计算三点到对称轴$x=-1$的距离：
点$A(-3,y_1)$到对称轴的距离：$|-3 - (-1)|=2$，
点$B(-2,y_2)$到对称轴的距离：$|-2 - (-1)|=1$，
点$C(2,y_3)$到对称轴的距离：$|2 - (-1)|=3$，
$\because 1＜2＜3$，$\therefore y_2＞y_1＞y_3$。
方法二（代入计算法）：
将三点横坐标分别代入抛物线解析式：
$y_1=-(-3)^2 -2×(-3)+c=-9+6+c=c-3$，
$y_2=-(-2)^2 -2×(-2)+c=-4+4+c=c$，
$y_3=-2^2 -2×2 +c=-4-4+c=c-8$，
$\because c ＞ c-3 ＞ c-8$，$\therefore y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数对称轴计算；函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数值比较的常考题型，解题核心是掌握二次函数的开口方向、对称轴与函数值变化的关系，既可以利用几何性质（点到对称轴的距离）快速判断，也可以通过代数计算直接求值比较，两种方法可灵活选择。
【难度系数】
0.8
3.已知$a,b,c$是实数，点$A(a-1,b),B(a-2,c)$在二次函数$y=x^2-2ax+1$的图象上，则$b,c$的大小关系是$b$$c$（填“＞”或“＜”）。
答案
$＜$
解析
【分析】
要比较二次函数上两点的函数值b、c的大小，有两种常用思路：①先确定二次函数的开口方向与对称轴，判断两点在对称轴的哪一侧，再结合二次函数的增减性比较大小；②直接将两点坐标代入二次函数表达式，分别求出b、c的表达式，再用作差法比较两者大小，两种方法均符合九年级知识要求。
【解析】
方法一：利用二次函数增减性求解
二次函数$y=x^2-2ax+1$的二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，
对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2×1}=a$，
在对称轴左侧（即$x＜a$时），$y$随$x$的增大而减小。
点$A$的横坐标为$a-1$，点$B$的横坐标为$a-2$，可得$a-2 ＜ a-1 ＜ a$，两点均在对称轴左侧，
根据增减性，横坐标越大对应函数值越小，因此$b ＜ c$。
方法二：作差法求解
将点$A(a-1,b)$代入$y=x^2-2ax+1$得：
$b=(a-1)^2-2a(a-1)+1=a^2-2a+1-2a^2+2a+1=-a^2+2$
将点$B(a-2,c)$代入$y=x^2-2ax+1$得：
$c=(a-2)^2-2a(a-2)+1=a^2-4a+4-2a^2+4a+1=-a^2+5$
则$b-c=(-a^2+2)-(-a^2+5)=-3＜0$，因此$b ＜ c$。
【答案】
$＜$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数图象上点的坐标特征；作差法比较大小
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，既可以通过抛物线的开口、对称轴和增减性快速判断大小，也可以通过代入计算作差验证，解题时可根据自身情况灵活选择方法。
【难度系数】
0.8
要比较二次函数上两点的函数值b、c的大小，有两种常用思路：①先确定二次函数的开口方向与对称轴，判断两点在对称轴的哪一侧，再结合二次函数的增减性比较大小；②直接将两点坐标代入二次函数表达式，分别求出b、c的表达式，再用作差法比较两者大小，两种方法均符合九年级知识要求。
【解析】
方法一：利用二次函数增减性求解
二次函数$y=x^2-2ax+1$的二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，
对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2×1}=a$，
在对称轴左侧（即$x＜a$时），$y$随$x$的增大而减小。
点$A$的横坐标为$a-1$，点$B$的横坐标为$a-2$，可得$a-2 ＜ a-1 ＜ a$，两点均在对称轴左侧，
根据增减性，横坐标越大对应函数值越小，因此$b ＜ c$。
方法二：作差法求解
将点$A(a-1,b)$代入$y=x^2-2ax+1$得：
$b=(a-1)^2-2a(a-1)+1=a^2-2a+1-2a^2+2a+1=-a^2+2$
将点$B(a-2,c)$代入$y=x^2-2ax+1$得：
$c=(a-2)^2-2a(a-2)+1=a^2-4a+4-2a^2+4a+1=-a^2+5$
则$b-c=(-a^2+2)-(-a^2+5)=-3＜0$，因此$b ＜ c$。
【答案】
$＜$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数图象上点的坐标特征；作差法比较大小
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，既可以通过抛物线的开口、对称轴和增减性快速判断大小，也可以通过代入计算作差验证，解题时可根据自身情况灵活选择方法。
【难度系数】
0.8
【例】已知抛物线$y=-x^2+bx+4$经过$(-2,n)$和$(4,n)$两点，求$b$与$n$的值.
【解题关键】若抛物线上不重合的两个点的坐标分别为$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，且$y_1=y_2$，则$A,B$两点关于抛物线的对称轴对称，且该抛物线的对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$.
解:由$y=-x^2+bx+4$可知抛物线的对称轴为直线$x=\_\_\_\_\_\_$.
由抛物线经过$(-2,n)$和$(4,n)$两点，可知其对称轴为直线$x=\_\_\_\_\_\_$.
$\therefore\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$，解得$b=\_\_\_\_\_\_$. $\therefore$抛物线的表达式为$y=\_\_\_\_\_\_$.
将点$(-2,n)$代入函数表达式，可得$n=\_\_\_\_\_\_$.
【解题关键】若抛物线上不重合的两个点的坐标分别为$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，且$y_1=y_2$，则$A,B$两点关于抛物线的对称轴对称，且该抛物线的对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$.
解:由$y=-x^2+bx+4$可知抛物线的对称轴为直线$x=\_\_\_\_\_\_$.
由抛物线经过$(-2,n)$和$(4,n)$两点，可知其对称轴为直线$x=\_\_\_\_\_\_$.
$\therefore\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$，解得$b=\_\_\_\_\_\_$. $\therefore$抛物线的表达式为$y=\_\_\_\_\_\_$.
将点$(-2,n)$代入函数表达式，可得$n=\_\_\_\_\_\_$.
答案
$\frac{b}{2}$ 1 $\frac{b}{2}$ 1 2 $-x^2+2x+4$ $-4$
解析
【分析】
解题时先观察已知的两个点坐标特征：两点纵坐标均为n，说明这两个点是抛物线上的对称点，可先通过两点横坐标求出对称轴；再结合二次函数一般式的对称轴公式，列出关于b的等式，求解得到b的值，进而得到抛物线的完整表达式，最后将已知点代入表达式即可求出n的值。
【解析】
1. 对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴公式为直线$x=-\frac{b}{2a}$。本题中抛物线$y=-x^2+bx+4$的$a=-1$，代入得对称轴为直线$x=-\frac{b}{2×(-1)}=\frac{b}{2}$。
2. 已知抛物线上两点$(-2,n)$和$(4,n)$纵坐标相同，两点关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值，即$x=\frac{-2+4}{2}=1$。
3. 两种方法求得的是同一条抛物线的对称轴，因此$\frac{b}{2}=1$，解得$b=2$。
4. 将$b=2$代入原抛物线表达式，得抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+4$。
5. 将点$(-2,n)$代入上述表达式，得$n=-(-2)^2 + 2×(-2) +4=-4-4+4=-4$。
【答案】
$\frac{b}{2}$；$1$；$\frac{b}{2}$；$1$；$2$；$-x^2+2x+4$；$-4$
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数对称轴计算；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是利用抛物线对称性求解参数的基础题型，解题核心是掌握“纵坐标相等的两个抛物线上的点关于对称轴对称”这一性质，结合对称轴公式即可快速求解参数。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知的两个点坐标特征：两点纵坐标均为n，说明这两个点是抛物线上的对称点，可先通过两点横坐标求出对称轴；再结合二次函数一般式的对称轴公式，列出关于b的等式，求解得到b的值，进而得到抛物线的完整表达式，最后将已知点代入表达式即可求出n的值。
【解析】
1. 对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴公式为直线$x=-\frac{b}{2a}$。本题中抛物线$y=-x^2+bx+4$的$a=-1$，代入得对称轴为直线$x=-\frac{b}{2×(-1)}=\frac{b}{2}$。
2. 已知抛物线上两点$(-2,n)$和$(4,n)$纵坐标相同，两点关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值，即$x=\frac{-2+4}{2}=1$。
3. 两种方法求得的是同一条抛物线的对称轴，因此$\frac{b}{2}=1$，解得$b=2$。
4. 将$b=2$代入原抛物线表达式，得抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+4$。
5. 将点$(-2,n)$代入上述表达式，得$n=-(-2)^2 + 2×(-2) +4=-4-4+4=-4$。
【答案】
$\frac{b}{2}$；$1$；$\frac{b}{2}$；$1$；$2$；$-x^2+2x+4$；$-4$
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数对称轴计算；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是利用抛物线对称性求解参数的基础题型，解题核心是掌握“纵坐标相等的两个抛物线上的点关于对称轴对称”这一性质，结合对称轴公式即可快速求解参数。
【难度系数】
0.8
1.二次函数$y=ax^2+bx+c$的$x,y$的部分对应值如下表：
| $x$ | $···$ | $-3$ | $-2$ | $0$ | $1$ | $3$ | $5$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $···$ | $7$ | $0$ |
| $-9$ | $-5$ | $7$ | $···$ |
则它的图象的对称轴为直线$x=$
| $x$ | $···$ | $-3$ | $-2$ | $0$ | $1$ | $3$ | $5$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $···$ | $7$ | $0$ |
| $-9$ | $-5$ | $7$ | $···$ |则它的图象的对称轴为直线$x=$
1
；当$x=2$时，对应的函数值为-8
。答案
1. 1 $-8$
解析
【分析】
二次函数的图象是抛物线，具有对称性，纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，对称轴为这两个点横坐标的平均值。我们可以先在表格中找到y值相等的两组x值，计算得出对称轴；再根据对称轴找到x=2的对称点，对称点对应的y值就是x=2时的函数值。
【解析】
1. 求对称轴：观察表格可知，当x=-3和x=5时，y都为7，这两个点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{-3+5}{2}=1$。
2. 求x=2时的函数值：设x=2关于直线x=1的对称点的横坐标为$x_0$，根据对称性质可得$\frac{2+x_0}{2}=1$，解得$x_0=0$。由表格可知x=0时y=-8，根据二次函数的对称性，x=2时对应的函数值与x=0时相等，即y=-8。
【答案】
1；$-8$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题无需推导完整的二次函数解析式，利用二次函数的对称性即可快速求解，是二次函数相关问题中常用的简便方法，掌握该技巧可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
二次函数的图象是抛物线，具有对称性，纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，对称轴为这两个点横坐标的平均值。我们可以先在表格中找到y值相等的两组x值，计算得出对称轴；再根据对称轴找到x=2的对称点，对称点对应的y值就是x=2时的函数值。
【解析】
1. 求对称轴：观察表格可知，当x=-3和x=5时，y都为7，这两个点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{-3+5}{2}=1$。
2. 求x=2时的函数值：设x=2关于直线x=1的对称点的横坐标为$x_0$，根据对称性质可得$\frac{2+x_0}{2}=1$，解得$x_0=0$。由表格可知x=0时y=-8，根据二次函数的对称性，x=2时对应的函数值与x=0时相等，即y=-8。
【答案】
1；$-8$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题无需推导完整的二次函数解析式，利用二次函数的对称性即可快速求解，是二次函数相关问题中常用的简便方法，掌握该技巧可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
2.若二次函数$y=-x^2+px+q$的图象经过点$A(1+m,n),B(0,y_1),C(3-m,n),D(3,y_2)$，则$y_1,y_2$的大小关系是________（用“＜”连接）。
答案
2. $y_1＜y_2$
解析
【分析】
解题时首先观察到点A和点C的纵坐标相同，说明这两个点是抛物线上的对称点，可先根据两点横坐标求出二次函数的对称轴；再由二次函数的二次项系数判断开口方向，明确开口向下时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小；最后分别计算点B、点D到对称轴的距离，比较距离大小即可得出y₁和y₂的大小关系。
【解析】
解：
∵二次函数图象经过$A(1+m,n)$、$C(3-m,n)$，两点纵坐标相同，
∴A、C关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线$\displaystyle x=\frac{(1+m)+(3-m)}{2}=2$。
∵二次函数$y=-x^2+px+q$中，二次项系数$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。
点$B(0,y_1)$到对称轴$x=2$的距离为$|0-2|=2$，
点$D(3,y_2)$到对称轴$x=2$的距离为$|3-2|=1$，
∵$2＞1$，
∴$y_1＜y_2$。
【答案】
$y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图象与性质；二次函数值比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是利用纵坐标相同的两点快速确定抛物线对称轴，再结合开口方向通过点到对称轴的距离判断函数值大小，能有效考查对二次函数对称性和增减性的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到点A和点C的纵坐标相同，说明这两个点是抛物线上的对称点，可先根据两点横坐标求出二次函数的对称轴；再由二次函数的二次项系数判断开口方向，明确开口向下时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小；最后分别计算点B、点D到对称轴的距离，比较距离大小即可得出y₁和y₂的大小关系。
【解析】
解：
∵二次函数图象经过$A(1+m,n)$、$C(3-m,n)$，两点纵坐标相同，
∴A、C关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线$\displaystyle x=\frac{(1+m)+(3-m)}{2}=2$。
∵二次函数$y=-x^2+px+q$中，二次项系数$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。
点$B(0,y_1)$到对称轴$x=2$的距离为$|0-2|=2$，
点$D(3,y_2)$到对称轴$x=2$的距离为$|3-2|=1$，
∵$2＞1$，
∴$y_1＜y_2$。
【答案】
$y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图象与性质；二次函数值比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是利用纵坐标相同的两点快速确定抛物线对称轴，再结合开口方向通过点到对称轴的距离判断函数值大小，能有效考查对二次函数对称性和增减性的掌握程度。
【难度系数】
0.7
3. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点。若AB=10，BC=5，CD=6，则PQ的长度为（
A.7
B.8
C.9
D.1
B
）A.7
B.8
C.9
D.1
答案
3. B
解析
【分析】
本题需利用抛物线的对称性求解：顶点在x轴上的抛物线，对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线，平行于x轴的直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，即两个交点横坐标的中点就是对应抛物线对称轴的横坐标。我们先确定两条抛物线分别与水平直线的两个交点，再计算各自对称轴的横坐标，二者的差值就是PQ的长度，计算过程中引入的中间坐标变量会自动消去，无需求解具体值。
【解析】
设平行于x轴的直线上点B的横坐标为$ b $，由$ AB=10 $，$ BC=5 $，$ CD=6 $可得：
A点横坐标为$ b-10 $，C点横坐标为$ b+5 $，D点横坐标为$ b+11 $。
根据抛物线的对称性：
1. 左侧抛物线与直线交于A、C两点，其对称轴（顶点P的横坐标）为A、C横坐标的中点：
$ x_P = \frac{(b-10)+(b+5)}{2} = b - 2.5 $
2. 右侧抛物线与直线交于B、D两点，其对称轴（顶点Q的横坐标）为B、D横坐标的中点：
$ x_Q = \frac{b + (b+11)}{2} = b + 5.5 $
因此PQ的长度为：$ x_Q - x_P = (b+5.5) - (b - 2.5) = 8 $
【答案】
B
【知识点】
抛物线的对称性，中点坐标计算
【点评】
本题侧重对抛物线对称性质的灵活应用，解题时不需要求出各点的具体坐标，找准每条抛物线对应的一组对称交点，通过设参消参即可快速得到结果，是二次函数对称性应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题需利用抛物线的对称性求解：顶点在x轴上的抛物线，对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线，平行于x轴的直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，即两个交点横坐标的中点就是对应抛物线对称轴的横坐标。我们先确定两条抛物线分别与水平直线的两个交点，再计算各自对称轴的横坐标，二者的差值就是PQ的长度，计算过程中引入的中间坐标变量会自动消去，无需求解具体值。
【解析】
设平行于x轴的直线上点B的横坐标为$ b $，由$ AB=10 $，$ BC=5 $，$ CD=6 $可得：
A点横坐标为$ b-10 $，C点横坐标为$ b+5 $，D点横坐标为$ b+11 $。
根据抛物线的对称性：
1. 左侧抛物线与直线交于A、C两点，其对称轴（顶点P的横坐标）为A、C横坐标的中点：
$ x_P = \frac{(b-10)+(b+5)}{2} = b - 2.5 $
2. 右侧抛物线与直线交于B、D两点，其对称轴（顶点Q的横坐标）为B、D横坐标的中点：
$ x_Q = \frac{b + (b+11)}{2} = b + 5.5 $
因此PQ的长度为：$ x_Q - x_P = (b+5.5) - (b - 2.5) = 8 $
【答案】
B
【知识点】
抛物线的对称性，中点坐标计算
【点评】
本题侧重对抛物线对称性质的灵活应用，解题时不需要求出各点的具体坐标，找准每条抛物线对应的一组对称交点，通过设参消参即可快速得到结果，是二次函数对称性应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
