10. [2026 滁州期末]已知A为整式，若计算$\frac{A}{xy+y^2} - \frac{y}{x^2+xy}$的结果为$\frac{x-y}{xy}$，则A等于（）

A.$x$
B.$y$
C.$x+y$
D.$x-y$

A

【分析】
首先根据题意列出关于A的分式等式，要计算整式A，需先将分式等式转化为整式等式：第一步先对所有分母因式分解，确定最简公分母，给等式两边同乘最简公分母消去所有分母，再化简整理即可求出A的值，分母不为0的隐含条件保证变形等价。
【解析】
根据题意得：$\frac{A}{xy+y^2} - \frac{y}{x^2+xy} = \frac{x-y}{xy}$
先对各分母因式分解：
$xy+y^2 = y(x+y)$，$x^2+xy = x(x+y)$
因此等式可改写为：$\frac{A}{y(x+y)} - \frac{y}{x(x+y)} = \frac{x-y}{xy}$
由分式有意义的条件得$x≠0$，$y≠0$，$x+y≠0$，给等式两边同时乘以最简公分母$xy(x+y)$消去分母，得：
$x· A - y· y = (x-y)(x+y)$
化简等式两边：
左边为$xA - y^2$，右边由平方差公式得$x^2 - y^2$
因此有：$xA - y^2 = x^2 - y^2$
两边同时加$y^2$得：$xA = x^2$
因为$x≠0$，两边同时除以$x$得：$A=x$
【答案】
A
【知识点】
1. 分式加减运算
2. 提公因式因式分解
3. 解分式方程
【点评】
本题是分式运算的基础应用，核心是通过去分母将分式等式转化为整式等式求解未知整式，解题时要先对分母因式分解找准最简公分母，去分母时不要漏乘项，掌握分式运算的基本规则即可轻松解决。
【难度系数】
0.8

11. 运算能力 已知$a,b$为实数，且$ab=1$，设$M=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$，$N=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}$，则$M,N$的大小关系是（）

A.$M＞N$
B.$M＜N$
C.$M=N$
D.不能确定

C

【分析】
比较两个代数式的大小，通常可以采用两种思路：一是作差法，判断差与0的大小关系；二是利用已知条件分别化简两个代数式，直接比较结果。本题中M、N的分母结构相似，且给出了ab=1的已知条件，我们可以通过通分后代入ab=1计算，即可得出二者的大小关系。
【解析】
我们通过分别化简M、N的方法求解：
1. 化简M：
对M通分，公分母为$(a+1)(b+1)$
$M=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=\frac{a(b+1)+b(a+1)}{(a+1)(b+1)}$
展开分子得：$a(b+1)+b(a+1)=ab+a+ab+b=2ab+a+b$
将$ab=1$代入分子，得：$2×1+a+b=a+b+2$
2. 化简N：
对N通分，公分母同样为$(a+1)(b+1)$
$N=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}=\frac{(b+1)+(a+1)}{(a+1)(b+1)}$
展开分子得：$(b+1)+(a+1)=a+b+2$
可以看到M和N的分母相同，分子也相同，因此$M=N$。
（也可通过作差法验证：计算$M-N$，代入ab=1后可得差为0，同样可证$M=N$）
【答案】
C
【知识点】
1. 分式的加减运算
2. 代数式大小比较
【点评】
本题是分式加减的基础应用题型，解题核心是合理利用已知条件对分式进行通分化简，只要掌握分式通分的运算规则，就能快速得到结果。
【难度系数】
0.8

12. 整体思想 已知$\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 5$，则$\frac{2y - 3x - xy}{5xy - 6y + 9x} =$。

$-\frac{2}{5}$

【分析】
观察已知等式为含x、y的分式等式，待求式是由x、y整式构成的分式，无需单独求出x、y的具体值。首先对已知等式通分去分母，得到2y-3x与xy的数量关系，再将待求式的分子、分母整理为含2y-3x和xy的形式，利用整体代入法替换后约分即可得到结果。
【解析】
解：已知$\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 5$（x≠0，y≠0，故xy≠0），
对等式左边通分得：$\frac{2y - 3x}{xy} = 5$，
两边同乘xy得：$2y - 3x = 5xy$。
对待求式变形：
分子：$2y - 3x - xy$，
分母：$5xy - 6y + 9x = 5xy - 3(2y - 3x)$。
将$2y - 3x = 5xy$整体代入分子和分母：
分子 = $5xy - xy = 4xy$，
分母 = $5xy - 3×5xy = 5xy - 15xy = -10xy$。
所以原式 = $\frac{4xy}{-10xy} = -\frac{2}{5}$（xy≠0，可约去）。
【答案】
$-\frac{2}{5}$
【知识点】
分式的基本性质，整体代入法，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，核心是运用整体思想简化计算，避免了求解x、y的繁琐过程，解题关键是通过已知条件得到两个整式的等量关系，再对待求式合理变形后代入计算。
【难度系数】
0.6

13. 中考趋势·开放性问题 已知 $P=\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}, Q=\dfrac{2ab}{a^2-b^2}$，用“+”或“−”连接$P,Q$，共有三种不同的形式：$P+Q, P-Q, Q-P$，请选择其中一种形式进行化简求值，其中$a=3$，$b=2$。

解：$P+Q=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}+\frac{2ab}{a^2-b^2}=\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2-b^2}=\frac{a+b}{a-b}$. 当$a=3,b=2$时，$P+Q=\frac{3+2}{3-2}=5$.(答案不唯一)

【分析】
我们可以选择计算量较小的$P+Q$形式求解：首先观察$P$和$Q$的分母相同，符合同分母分式加法的运算条件；接下来按照同分母分式加法法则，分母不变，将两个分子相加；然后对分子、分母分别用完全平方公式、平方差公式因式分解，约分后得到最简分式；最后代入$a=3$、$b=2$计算即可得到结果。若选择$P-Q$或$Q-P$，运算思路一致，仅分子相减时注意符号即可。
【解析】
我们选择$P+Q$进行化简求值：
$\begin{aligned}P+Q&=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}+\frac{2ab}{a^2-b^2}\\&=\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2-b^2}\\&=\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)}\\&=\frac{a+b}{a-b}\end{aligned}$
当$a=3$，$b=2$时，代入得：
原式$=\frac{3+2}{3-2}=5$
（注：选择$P-Q$或$Q-P$化简求值也可，答案不唯一）
【答案】
选择$P+Q$时，化简结果为$\frac{a+b}{a-b}$，求值结果为$\boldsymbol{5}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 同分母分式加减法
2. 因式分解
3. 分式化简求值
【点评】
本题为开放性运算题，核心考查分式加减的基础运算规则，同时结合了乘法公式的应用，运算时需注意分子合并时的符号问题，约分时要保证公因式不为0，代入数值计算需细心。
【难度系数】
0.8

14.新考法 将a g糖放入一杯水中，得到b g糖水(b＞a＞0).
(1)糖水的浓度为；
A.$\dfrac{a}{a+b}$ B.$\dfrac{a}{b}$ C.$\dfrac{b}{a}$
(2)再往杯中加入m g(m＞0)糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前后的浓度关系为；
(3)请说明(2)中的不等式成立.

解：(1)B (2)$\frac{a+m}{b+m}＞\frac{a}{b}$ (3)略.

【分析】
(1) 先回忆浓度计算公式：浓度=溶质质量÷溶液质量，本题中溶质是a g糖，溶液总质量是得到的b g糖水，直接代入公式即可算出浓度，匹配对应选项。
(2) 加入m g糖后，溶质质量变为$(a+m)\mathrm{g}$，溶液总质量因新增糖也变为$(b+m)\mathrm{g}$，“糖水更甜”说明加糖后的浓度比加糖前更高，据此列出不等式即可。
(3) 证明分式大小关系可采用八年级常用的作差法：将两个分式相减，通分后分别判断差的分子、分母的正负，若差为正，则被减数大于减数，即可证明不等式成立。
【解析】
(1) 根据浓度公式，浓度=溶质质量/溶液质量，溶质糖质量为a g，糖水总质量为b g，因此糖水浓度为$\dfrac{a}{b}$，故选B。
(2) 加入m g糖后，溶质总质量为$(a+m)\mathrm{g}$，溶液总质量为$(b+m)\mathrm{g}$，此时新浓度为$\dfrac{a+m}{b+m}$；糖水更甜说明浓度更高，因此浓度关系为$\dfrac{a+m}{b+m}＞\dfrac{a}{b}$。
(3) 用作差法证明：
计算$\dfrac{a+m}{b+m}-\dfrac{a}{b}$，通分得：
$\dfrac{b(a+m)-a(b+m)}{b(b+m)}$
化简分子：$b(a+m)-a(b+m)=ab+bm-ab-am=m(b-a)$
已知$b＞a＞0$，$m＞0$，因此$m(b-a)＞0$，且分母$b(b+m)＞0$，
可得$\dfrac{m(b-a)}{b(b+m)}＞0$，即$\dfrac{a+m}{b+m}-\dfrac{a}{b}＞0$，
因此$\dfrac{a+m}{b+m}＞\dfrac{a}{b}$，不等式成立。
【答案】
(1)$\mathrm{B}$；(2)$\dfrac{a+m}{b+m}＞\dfrac{a}{b}$；(3)证明见解析
【知识点】
1. 浓度计算 2. 作差法比较大小 3. 分式加减运算
【点评】
本题结合生活中糖水变甜的实际场景命题，将生活经验转化为数学关系是解题切入点，重点考查分式的实际应用和大小比较方法，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7

15. 中考趋势·代数推理 代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法.代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”.
例:已知$a,b$为实数,且$0＜b＜a$,
试说明:$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$.
解:$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=$①.
因为$a＞0,b＞0$,所以$ab＞0$.
又因为$b＜a$,所以$b-a＜0$.(②)
所以$\frac{b-a}{ab}＜0$,所以③$＜0$.
所以$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$.
(1)请将例题中的过程补充完整;(提示:②写依据)
(2)已知$a≠b$,且$a+\frac{2}{b}=b+\frac{2}{a}$,试说明:$ab=-2$.

解：(1)①$\frac{b-a}{ab}$ ②不等式的性质1 ③$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$ (2)略.

【分析】
(1) 补全过程类问题：首先运用分式减法通分规则计算$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的结果，得到①的答案；再根据不等式变形的规则，判断由$b＜a$推导$b-a＜0$的理论依据，得到②的答案；最后结合$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的化简结果，对应得到③的答案。
(2) 证明$ab=-2$类问题：先对已知等式移项，将含$a$、$b$的项分别移到等式两侧，再对两侧通分整理，提取公因式$a-b$后，结合$a≠b$的条件消去不为0的因式，即可推导出$ab$的值。
【解析】
(1) ①根据分式减法通分运算：$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab}$；
②已知$b＜a$，两边同时减去$a$，不等号方向不变，得到$b-a＜0$，依据是不等式的性质1；
③因为$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$，所以$\frac{b-a}{ab}＜0$等价于$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}＜0$。
(2) 已知$a+\frac{2}{b}=b+\frac{2}{a}$，移项可得：
$a - b = \frac{2}{a} - \frac{2}{b}$
对右侧通分计算：
$\frac{2}{a}-\frac{2}{b}=\frac{2b - 2a}{ab}=\frac{2(b-a)}{ab}$
代入上式变形得：
$a - b + \frac{2(a - b)}{ab}=0$
提取公因式$a-b$：
$(a - b)(1 + \frac{2}{ab})=0$
因为$a≠b$，所以$a - b≠0$，因此：
$1 + \frac{2}{ab}=0$
化简可得：$\frac{2}{ab}=-1$，即$ab=-2$。
【答案】
(1) ①$\frac{b-a}{ab}$；②不等式的性质1；③$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$
(2) 证明成立，$ab=-2$
【知识点】
分式的加减运算、不等式的性质、代数变形推理
【点评】
本题以代数推理为载体，结合分式运算、不等式性质考查代数式变形能力，解题核心是熟练掌握通分、移项、因式分解等基础代数变形技巧，是考查分式运算和逻辑推理能力的典型基础题型。
【难度系数】
0.7