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例3 大学生小敏参加暑期实习活动,与公司约定一个月(30天)的报酬是M型平板电脑一台和1 500元现金,不满一个月按实际实习天数支付报酬.当她工作满20天后因故结束实习,结算工资时公司给了她一台M型平板电脑和300元现金.
(1)这台M型平板电脑价值多少元?
(2)小敏若工作m天,将上述工资支付标准折算为现金,她应获得多少现金报酬(用含m的代数式表示)?
(1)这台M型平板电脑价值多少元?
(2)小敏若工作m天,将上述工资支付标准折算为现金,她应获得多少现金报酬(用含m的代数式表示)?
答案
(1) 这台 M 型平板电脑价值2 100 元；(2) 她应获得现金报酬 120 m 元.
解析
【分析】
本题解题核心是抓住“每日报酬标准固定”这一不变量。解决第(1)问时，我们可以设平板电脑价值为x元，分别用含x的式子表示出工作30天和工作20天的日平均报酬，根据两者相等列一元一次方程求解即可。解决第(2)问时，先根据第(1)问的结果算出单日的现金报酬，再乘以工作天数m，就能得到对应的现金报酬代数式。
【解析】
(1) 解：设这台M型平板电脑价值x元。
根据每日报酬相等，可列方程：
$\frac{x + 1500}{30} = \frac{x + 300}{20}$
两边同时乘以60消去分母，得：
$2(x + 1500) = 3(x + 300)$
展开括号：
$2x + 3000 = 3x + 900$
移项计算：
$3000 - 900 = 3x - 2x$
解得：$x = 2100$
(2) 先计算单日现金报酬：工作30天总报酬为$2100 + 1500 = 3600$元，
则单日报酬为$3600 ÷ 30 = 120$元，
所以工作m天的现金报酬为$120 × m = 120m$元。
【答案】
(1) 这台M型平板电脑价值2100元；(2) 她应获得现金报酬120m元。
【知识点】
一元一次方程应用；列代数式；等式的性质
【点评】
本题结合实际实习薪酬结算场景出题，解题关键是找到固定不变的日薪酬标准建立等量关系，既考查一元一次方程的求解能力，也考查代数式的实际应用，贴近生活，实用性强。
【难度系数】
0.7
本题解题核心是抓住“每日报酬标准固定”这一不变量。解决第(1)问时，我们可以设平板电脑价值为x元，分别用含x的式子表示出工作30天和工作20天的日平均报酬，根据两者相等列一元一次方程求解即可。解决第(2)问时，先根据第(1)问的结果算出单日的现金报酬，再乘以工作天数m，就能得到对应的现金报酬代数式。
【解析】
(1) 解：设这台M型平板电脑价值x元。
根据每日报酬相等，可列方程：
$\frac{x + 1500}{30} = \frac{x + 300}{20}$
两边同时乘以60消去分母，得：
$2(x + 1500) = 3(x + 300)$
展开括号：
$2x + 3000 = 3x + 900$
移项计算：
$3000 - 900 = 3x - 2x$
解得：$x = 2100$
(2) 先计算单日现金报酬：工作30天总报酬为$2100 + 1500 = 3600$元，
则单日报酬为$3600 ÷ 30 = 120$元，
所以工作m天的现金报酬为$120 × m = 120m$元。
【答案】
(1) 这台M型平板电脑价值2100元；(2) 她应获得现金报酬120m元。
【知识点】
一元一次方程应用；列代数式；等式的性质
【点评】
本题结合实际实习薪酬结算场景出题，解题关键是找到固定不变的日薪酬标准建立等量关系，既考查一元一次方程的求解能力，也考查代数式的实际应用，贴近生活，实用性强。
【难度系数】
0.7
例1 解方程：$\frac{3}{2}(3x-1)-\frac{1}{2}(3x-1)=5$
答案
x=2.
解析
【分析】
观察方程结构可以发现，方程左侧的两个项都含有相同的因式$(3x-1)$，我们可以先把$(3x-1)$看作一个整体合并同类项，简化计算过程，之后再按照一元一次方程的常规解法逐步求解即可，这种方法比直接去括号计算更简便，不易出错。
【解析】
解：将$(3x-1)$看作整体，合并左侧同类项：
$(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2})(3x-1)=5$
化简得：$3x-1=5$
移项，得：$3x=5+1$
合并同类项，得：$3x=6$
系数化为1，得：$x=2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
一元一次方程的解法；整体思想；合并同类项
【点评】
本题考查一元一次方程的求解，既可以按照常规步骤去括号求解，也可以通过观察式子特征，将重复出现的部分看作整体合并简化运算，日常解题时多观察式子结构可有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
观察方程结构可以发现，方程左侧的两个项都含有相同的因式$(3x-1)$，我们可以先把$(3x-1)$看作一个整体合并同类项，简化计算过程，之后再按照一元一次方程的常规解法逐步求解即可，这种方法比直接去括号计算更简便，不易出错。
【解析】
解：将$(3x-1)$看作整体，合并左侧同类项：
$(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2})(3x-1)=5$
化简得：$3x-1=5$
移项，得：$3x=5+1$
合并同类项，得：$3x=6$
系数化为1，得：$x=2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
一元一次方程的解法；整体思想；合并同类项
【点评】
本题考查一元一次方程的求解，既可以按照常规步骤去括号求解，也可以通过观察式子特征，将重复出现的部分看作整体合并简化运算，日常解题时多观察式子结构可有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
例2 从甲地到乙地，长途汽车原需行驶7 h，开通高速公路后，路程缩短了30 km，平均车速增加了30 km/h，现在只需4 h即可到达. 求甲、乙两地之间高速公路的路程.
答案
甲、乙两地之间高速公路的路程为 320 km.
解析
【分析】
这是典型的行程类应用题，核心关系为“路程=速度×时间”。解题时我们可以直接设所求的高速公路路程为未知数，用未知数分别表示出开通高速公路前的路程、开通前后的平均车速，再根据“开通后平均车速比原来增加30km/h”的等量关系列方程，解方程并验证结果即可。
【解析】
解：设甲、乙两地之间高速公路的路程为$ x $ km，则原来长途汽车行驶的普通路程为$ (x+30) $ km。
原来的平均车速为$ \frac{x+30}{7} $ km/h，开通高速后的平均车速为$ \frac{x}{4} $ km/h。
根据题意，得：
$ \frac{x}{4} - \frac{x+30}{7} = 30 $
去分母（两边同乘28），得：
$ 7x - 4(x+30) = 840 $
去括号，得：
$ 7x - 4x - 120 = 840 $
移项、合并同类项，得：
$ 3x = 960 $
系数化为1，得：
$ x = 320 $
检验：当$ x=320 $时，原来的车速为$ (320+30)÷7=50 $ km/h，现在的车速为$ 320÷4=80 $ km/h，$ 80-50=30 $ km/h，符合题意。
【答案】
甲、乙两地之间高速公路的路程为 320 km.
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题公式；列方程解应用题
【点评】
本题是行程类方程应用的基础题型，解题的核心是找准题目中的等量关系，本题以速度差为等量关系列方程最为直接，解出结果后要注意验证是否符合实际题意，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
这是典型的行程类应用题，核心关系为“路程=速度×时间”。解题时我们可以直接设所求的高速公路路程为未知数，用未知数分别表示出开通高速公路前的路程、开通前后的平均车速，再根据“开通后平均车速比原来增加30km/h”的等量关系列方程，解方程并验证结果即可。
【解析】
解：设甲、乙两地之间高速公路的路程为$ x $ km，则原来长途汽车行驶的普通路程为$ (x+30) $ km。
原来的平均车速为$ \frac{x+30}{7} $ km/h，开通高速后的平均车速为$ \frac{x}{4} $ km/h。
根据题意，得：
$ \frac{x}{4} - \frac{x+30}{7} = 30 $
去分母（两边同乘28），得：
$ 7x - 4(x+30) = 840 $
去括号，得：
$ 7x - 4x - 120 = 840 $
移项、合并同类项，得：
$ 3x = 960 $
系数化为1，得：
$ x = 320 $
检验：当$ x=320 $时，原来的车速为$ (320+30)÷7=50 $ km/h，现在的车速为$ 320÷4=80 $ km/h，$ 80-50=30 $ km/h，符合题意。
【答案】
甲、乙两地之间高速公路的路程为 320 km.
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题公式；列方程解应用题
【点评】
本题是行程类方程应用的基础题型，解题的核心是找准题目中的等量关系，本题以速度差为等量关系列方程最为直接，解出结果后要注意验证是否符合实际题意，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
