1. 下列运算正确的是 （）

A.$x^2 + x^2 = x^4$
B.$3a^3 · 2a^2 = 6a^6$
C.$2x^4 · (-3x^4) = 6x^8$
D.$(-a^2)^3 = -a^6$

1. D

【分析】
这道题考查整式的基础运算，解题时需要逐个分析每个选项对应的运算法则，分别计算出正确结果后和选项给出的结果对比，选出运算正确的选项即可。解题过程中需要用到合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方与幂的乘方的相关法则，计算时要特别注意符号和指数的运算规则。
【解析】
我们逐个判断每个选项的正误：
1. 选项A：属于合并同类项运算，合并同类项时系数相加，字母和字母的指数不变，因此$x^2 + x^2 = (1+1)x^2=2x^2$，选项结果为$x^4$，运算错误。
2. 选项B：属于单项式乘单项式运算，运算时系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘时底数不变、指数相加，因此$3a^3 · 2a^2=(3×2)·a^{3+2}=6a^5$，选项结果为$6a^6$，运算错误。
3. 选项C：属于单项式乘单项式运算，注意负系数的符号，因此$2x^4 · (-3x^4)=[2×(-3)]·x^{4+4}=-6x^8$，选项结果为$6x^8$，运算错误。
4. 选项D：属于积的乘方运算，积的乘方需要把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方底数不变、指数相乘，因此$(-a^2)^3=(-1)^3·(a^2)^3=-1·a^{2×3}=-a^6$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查各类整式运算法则的应用，解题时要注意区分同底数幂相乘的指数相加规则和幂的乘方的指数相乘规则，同时不要忽略系数的符号运算，熟练掌握基础法则是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8

2. 下列各式:①$3x^3 · 4x^5 =7x^8$, ②$2x^3 · 3x^3 =6x^9$, ③$(x^3)^5 =x^8$, ④$(3xy)^3 =9x^3y^3$ 其中正确的个数为 ()

A.0
B.1
C.2
D.3

2. A

【分析】
本题需逐个判断4个整式运算式子的正误，统计正确式子的个数即可得解。解题时首先要明确单项式乘单项式、幂的乘方、积的乘方的运算法则，再分别套用对应法则计算每个式子的正确结果，与原式给出的结果对比就能判断对错。
【解析】
我们逐个分析4个式子：
① 计算$3x^3 · 4x^5$：根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂相乘底数不变、指数相加，可得$3×4·x^{3+5}=12x^8$，原式结果为$7x^8$，计算错误；
② 计算$2x^3 · 3x^3$：同理可得$2×3·x^{3+3}=6x^6$，原式结果为$6x^9$，计算错误；
③ 计算$(x^3)^5$：根据幂的乘方法则，底数不变、指数相乘，可得$x^{3×5}=x^{15}$，原式结果为$x^8$，计算错误；
④ 计算$(3xy)^3$：根据积的乘方法则，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得$3^3·x^3·y^3=27x^3y^3$，原式结果为$9x^3y^3$，计算错误。
综上，4个式子全部错误，正确的个数为0。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘单项式；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题重点考查整式乘法相关运算法则的辨析，解题的核心是准确记忆各运算法则，注意区分不同运算中指数的运算规则（相加/相乘）、系数的运算要求，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.7

3. 长方形的长为$3x^2y$，宽为$2xy$，则它的面积为（）

A.$5x^3y$
B.$6x^3y$
C.$5x^3y^2$
D.$6x^3y^2$

3. D

【分析】
首先回忆长方形的面积计算公式：面积=长×宽，本题中长和宽均为单项式，因此核心是运用单项式乘单项式的运算法则求解。解题时先将长和宽代入面积公式，再按照“系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘，相同字母的指数相加”的规则逐步计算即可。
【解析】
根据长方形面积公式列式：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=\mathrm{长}×\mathrm{宽}\\&=3x^2y · 2xy\\&=(3×2) · (x^2 · x) · (y · y)\\&=6x^{2+1}y^{1+1}\\&=6x^3y^2\end{aligned}$
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 单项式乘单项式
2. 同底数幂的乘法
3. 长方形面积计算
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考察单项式乘单项式的运算法则，熟练掌握运算规则、注意相同字母的指数相加规则即可快速解题，计算时要避免漏算字母指数的错误。
【难度系数】
0.8

4. 若单项式$-8x^{a}y$与$\frac{1}{4}x^{2}y^{b}$的积为$-2x^{5}y^{6}$，则$ab$的值为（）

A.$2$
B.$30$
C.$-15$
D.$15$

4. D

【分析】
本题考查单项式乘单项式的应用，解题思路如下：首先根据单项式乘单项式的运算法则，计算两个单项式的乘积，乘积中相同字母的指数等于两个单项式中该字母指数的和；再将计算得到的乘积与题目给出的结果对比，令相同字母的指数分别相等，即可列方程求出a、b的值，最后代入计算ab的值即可。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算两个单项式的积：
$\begin{aligned}-8x^{a}y · \frac{1}{4}x^{2}y^{b}&=(-8×\frac{1}{4})· x^{a+2}· y^{1+b}\\&=-2x^{a+2}y^{b+1}\end{aligned}$
已知该积为$-2x^{5}y^{6}$，两个单项式相等时，相同字母的指数对应相等，因此可得：
$a+2=5$，解得$a=3$；
$b+1=6$，解得$b=5$。
所以$ab=3×5=15$。
【答案】
D
【知识点】
1. 单项式乘单项式
2. 同底数幂的乘法
3. 代数式求值
【点评】
本题是单项式乘法运算的基础题型，重点考查对运算法则的理解与应用，解题关键是明确单项式相乘时，同底数幂的指数相加，通过对应指数相等建立方程求解参数，掌握运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5. 计算:$3x^2 · 5x^3 =$.

5. $15x^5$

【分析】
本题考查单项式乘单项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘单项式的运算法则，运算时分为两步：第一步先计算两个单项式系数的乘积，第二步计算同底数幂的乘积，遵循同底数幂相乘，底数不变、指数相加的规则，最后将两部分的计算结果相乘即可得到最终答案。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则分步计算：
1. 计算系数的乘积：$3×5=15$
2. 计算同底数幂的乘积：根据同底数幂乘法规则，$x^2· x^3=x^{2+3}=x^5$
3. 合并两部分结果可得：$3x^2·5x^3=15x^5$
【答案】
$15x^5$
【知识点】
1. 单项式乘单项式运算
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题是单项式乘法的基础题型，核心考查对单项式乘法运算法则的应用，计算时需注意区分同底数幂的运算规则，避免出现指数相乘的错误，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9

6. 若单项式$3x^2y$与$-2x^3y^3$的积为$mx^5y^n$，则$m+n=$。

6. $-2$

【分析】
解决本题的核心是运用单项式乘单项式的运算规则计算两个单项式的乘积，再将计算结果和题干给出的$mx^5y^n$进行对应，求出$m$、$n$的取值后，代入计算$m+n$即可。解题时需要注意：系数相乘要留意符号，同底数幂相乘是指数相加，不要遗漏默认指数为1的字母的指数。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算规则：系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘，计算$3x^2y$与$-2x^3y^3$的乘积：
1. 计算系数乘积：$3×(-2)=-6$
2. 计算$x$的幂次：$x^2· x^3=x^{2+3}=x^5$
3. 计算$y$的幂次：$y^1· y^3=y^{1+3}=y^4$
因此乘积为$-6x^5y^4$，和题干中的$mx^5y^n$对应可得：$m=-6$，$n=4$。
代入计算$m+n$得：$m+n=-6+4=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查单项式乘法的运算法则，解题的易错点是容易忽略$y$的默认指数为1，掌握基础运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

7.若$(mx^{3}) · (2x^{k}) = -8x^{18}$，则适合此等式的$m=$，$k=$。

7. $-4$ $15$

【分析】
解题时首先回忆单项式乘单项式的运算规则，先化简等式左侧的乘积：先将系数相乘作为结果的系数，再对同底数幂进行乘法运算（底数不变，指数相加）得到含x的项；再根据等式两边的单项式相等时，对应系数相等、相同字母的指数也相等的性质，分别列方程求解m和k的值即可。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算等式左边：
$(mx^{3}) · (2x^{k}) = (m×2)·(x^{3}·x^{k}) = 2m·x^{3+k}$
已知该结果等于$-8x^{18}$，根据两个单项式相等的条件可得：
① 系数相等：$2m = -8$，解得$m = -8÷2 = -4$
② x的指数相等：$3 + k = 18$，解得$k = 18 - 3 = 15$
【答案】
$-4$；$15$
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是单项式乘法运算的基础应用题型，解题核心是熟练掌握单项式乘法中系数、同底数幂的运算规则，再通过对应量相等列方程求解，难度较低。
【难度系数】
0.85

8. 计算:(1) $4xy^2 · (-\dfrac{3}{8}x^2yz^3)$；
(2) $(-\dfrac{1}{2}xyz) · \dfrac{2}{3}x^2y^2 · (-\dfrac{3}{5}yz^3)$

8. (1) $-\dfrac{3}{2}x^3y^3z^3$
(2) $\dfrac{1}{5}x^3y^4z^4$

【分析】
本题考查单项式乘单项式的运算，解题思路遵循单项式乘单项式的运算法则：①将各单项式的系数相乘，确定积的系数，注意符号运算；②相同字母的幂分别按照同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加）计算；③只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。第(1)问是两个单项式相乘，直接按法则分步计算即可；第(2)问是三个单项式相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，再按法则计算剩余部分。
【解析】
(1) 计算$4xy^2 · (-\dfrac{3}{8}x^2yz^3)$：
第一步，计算系数乘积：$4×(-\dfrac{3}{8})=-\dfrac{3}{2}$；
第二步，计算同底数幂的乘积：$x· x^2=x^{1+2}=x^3$，$y^2· y=y^{2+1}=y^3$；
第三步，保留只在第二个单项式中出现的因式$z^3$；
将各部分相乘得运算结果。
(2) 计算$(-\dfrac{1}{2}xyz) · \dfrac{2}{3}x^2y^2 · (-\dfrac{3}{5}yz^3)$：
第一步，确定符号：式子中有2个负因数，积的符号为正；
第二步，计算系数乘积：$\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{5}$；
第三步，计算同底数幂的乘积：$x· x^2=x^{1+2}=x^3$，$y· y^2· y=y^{1+2+1}=y^4$，$z· z^3=z^{1+3}=z^4$；
将各部分相乘得运算结果。
【答案】
(1) $-\dfrac{3}{2}x^3y^3z^3$
(2) $\dfrac{1}{5}x^3y^4z^4$
【知识点】
1. 单项式乘单项式
2. 同底数幂的乘法
3. 有理数乘法运算
【点评】
本题是单项式乘法的基础运算题，解题核心是严格遵循单项式乘单项式的运算法则，运算时需注意先判断积的符号，再依次计算系数和同底数幂的乘积，不要遗漏仅在单个单项式中出现的字母因式。
【难度系数】
0.85

9. 在一块边长为$5a^3$ cm 的正方形纸板中，将四个角分别剪去边长为$a^3$ cm 的小正方形，然后将四周突出部分折起，折成一个无盖的盒子，则该无盖盒子的容积为多少？

9. 纸盒的底面积为$(5a^3-2a^3)^2 = (3a^3)^2 = 9a^6(\mathrm{cm}^2)$,高为$a^3$ cm,故容积为$9a^6 · a^3 = 9a^9(\mathrm{cm}^3)$.

【分析】
要计算无盖盒子的容积，首先回忆长方体容积公式：容积=底面积×高。首先确定折成盒子后的底面边长和高：原正方形纸板边长为$5a^3$cm，四个角各剪去边长为$a^3$cm的小正方形后，底面的每条边都要减去2个小正方形的边长，因此底面是边长为$5a^3-2a^3$的正方形；折起后盒子的高就等于剪去的小正方形的边长$a^3$cm。最后代入公式结合整式乘法法则计算即可。
【解析】
解：首先计算无盖盒子的底面边长：
$5a^3 - 2×a^3 = 3a^3$（cm）
盒子底面是正方形，因此底面积为：
$(3a^3)^2 = 3^2×(a^3)^2 = 9a^6$（$\mathrm{cm}^2$）
已知盒子的高等于剪去的小正方形边长，即$h=a^3$cm，根据长方体容积公式$V=S_{底}×h$，可得：
$V = 9a^6 · a^3 = 9a^{6+3} = 9a^9$（$\mathrm{cm}^3$）
【答案】
$9a^9\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
长方体容积计算；积的乘方运算；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法在几何实际问题中的应用，解题的核心是正确推导无盖盒子的底面边长和高，计算过程中要注意幂的运算法则的正确使用，避免出现指数运算错误。
【难度系数】
0.7