登录
1. (★)分解因式:
(1)$m^2 - 4n^2 =$;
(2)$a^2 - 4ab + 4b^2 =$;
(3)$a^2 - 169 =$;
(4)$m^2 + m + \frac{1}{4} =$.
(1)$m^2 - 4n^2 =$;
(2)$a^2 - 4ab + 4b^2 =$;
(3)$a^2 - 169 =$;
(4)$m^2 + m + \frac{1}{4} =$.
答案
解：
(1) 由平方差公式：
$m^2 - 4n^2 = m^2 - (2n)^2 = \boldsymbol{(m+2n)(m-2n)}$
(2) 由完全平方公式：
$a^2 - 4ab + 4b^2 = a^2 - 2· a· 2b + (2b)^2 = \boldsymbol{(a-2b)^2}$
(3) 由平方差公式：
$a^2 - 169 = a^2 - 13^2 = \boldsymbol{(a+13)(a-13)}$
(4) 由完全平方公式：
$m^2 + m + \frac{1}{4} = m^2 + 2· m· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = \boldsymbol{(m+\frac{1}{2})^2}$
(1) 由平方差公式：
$m^2 - 4n^2 = m^2 - (2n)^2 = \boldsymbol{(m+2n)(m-2n)}$
(2) 由完全平方公式：
$a^2 - 4ab + 4b^2 = a^2 - 2· a· 2b + (2b)^2 = \boldsymbol{(a-2b)^2}$
(3) 由平方差公式：
$a^2 - 169 = a^2 - 13^2 = \boldsymbol{(a+13)(a-13)}$
(4) 由完全平方公式：
$m^2 + m + \frac{1}{4} = m^2 + 2· m· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = \boldsymbol{(m+\frac{1}{2})^2}$
解析
【分析】
这是一组用公式法分解因式的基础题，解题时先明确两个因式分解常用公式的结构特征：①平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，特征为两项、均为平方项、符号相反；②完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，特征为三项、两个同号平方项、一项为两底数乘积的2倍。解题时先观察多项式的项数和结构，匹配对应公式，再找准公式里对应的“a”“b”代入即可。
【解析】
(1) 式子为两项平方项作差，符合平方差公式结构：
$m^2 - 4n^2 = m^2 - (2n)^2 = (m+2n)(m-2n)$
(2) 式子为三项，符合完全平方差公式结构：
$a^2 - 4ab + 4b^2 = a^2 - 2· a· 2b + (2b)^2 = (a-2b)^2$
(3) 式子为两项平方项作差，符合平方差公式结构：
$a^2 - 169 = a^2 - 13^2 = (a+13)(a-13)$
(4) 式子为三项，符合完全平方和公式结构：
$m^2 + m + \frac{1}{4} = m^2 + 2· m· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (m+\frac{1}{2})^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(m+2n)(m-2n)}$；(2) $\boldsymbol{(a-2b)^2}$；(3) $\boldsymbol{(a+13)(a-13)}$；(4) $\boldsymbol{(m+\frac{1}{2})^2}$
【知识点】
公式法分解因式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查平方差公式和完全平方公式的结构识别与应用，熟练掌握公式特征、准确匹配对应项即可快速求解，是后续学习复杂因式分解的重要基础。
【难度系数】
0.9
这是一组用公式法分解因式的基础题，解题时先明确两个因式分解常用公式的结构特征：①平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，特征为两项、均为平方项、符号相反；②完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，特征为三项、两个同号平方项、一项为两底数乘积的2倍。解题时先观察多项式的项数和结构，匹配对应公式，再找准公式里对应的“a”“b”代入即可。
【解析】
(1) 式子为两项平方项作差，符合平方差公式结构：
$m^2 - 4n^2 = m^2 - (2n)^2 = (m+2n)(m-2n)$
(2) 式子为三项，符合完全平方差公式结构：
$a^2 - 4ab + 4b^2 = a^2 - 2· a· 2b + (2b)^2 = (a-2b)^2$
(3) 式子为两项平方项作差，符合平方差公式结构：
$a^2 - 169 = a^2 - 13^2 = (a+13)(a-13)$
(4) 式子为三项，符合完全平方和公式结构：
$m^2 + m + \frac{1}{4} = m^2 + 2· m· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (m+\frac{1}{2})^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(m+2n)(m-2n)}$；(2) $\boldsymbol{(a-2b)^2}$；(3) $\boldsymbol{(a+13)(a-13)}$；(4) $\boldsymbol{(m+\frac{1}{2})^2}$
【知识点】
公式法分解因式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查平方差公式和完全平方公式的结构识别与应用，熟练掌握公式特征、准确匹配对应项即可快速求解，是后续学习复杂因式分解的重要基础。
【难度系数】
0.9
2. (★)对比$4x^2 -4x +1$和$8x -4$分解因式的结果，共同的整式部分为 【 】
A.$2x$
B.$2x+1$
C.$2x-1$
D.$4(2x-1)$
A.$2x$
B.$2x+1$
C.$2x-1$
D.$4(2x-1)$
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，需先分别对两个多项式进行因式分解，再对比分解结果找出共同的整式部分。首先回忆因式分解的常用方法：提公因式法、公式法，先利用完全平方公式分解第一个二次三项式，再用提公因式法分解第二个一次二项式，最后对比两个结果的因式即可得到答案。
【解析】
1. 分解$4x^2 -4x +1$：
观察式子可知其符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，其中$a=2x$，$b=1$，因此：
$4x^2 -4x +1=(2x-1)^2$
2. 分解$8x -4$：
提取公因式4可得：
$8x -4=4(2x-1)$
3. 对比两个分解结果：
$(2x-1)^2$的因式为$2x-1$、$2x-1$，$4(2x-1)$的因式为$4$、$2x-1$，因此共同的整式部分为$2x-1$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解、完全平方公式、提公因式法
【点评】
本题属于基础题，核心考查因式分解的基础方法应用，只要熟练掌握提公因式法的操作规则和完全平方公式的结构特征，就能快速准确完成分解，找到公共因式。
【难度系数】
0.9
要解决本题，需先分别对两个多项式进行因式分解，再对比分解结果找出共同的整式部分。首先回忆因式分解的常用方法：提公因式法、公式法，先利用完全平方公式分解第一个二次三项式，再用提公因式法分解第二个一次二项式，最后对比两个结果的因式即可得到答案。
【解析】
1. 分解$4x^2 -4x +1$：
观察式子可知其符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，其中$a=2x$，$b=1$，因此：
$4x^2 -4x +1=(2x-1)^2$
2. 分解$8x -4$：
提取公因式4可得：
$8x -4=4(2x-1)$
3. 对比两个分解结果：
$(2x-1)^2$的因式为$2x-1$、$2x-1$，$4(2x-1)$的因式为$4$、$2x-1$，因此共同的整式部分为$2x-1$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解、完全平方公式、提公因式法
【点评】
本题属于基础题，核心考查因式分解的基础方法应用，只要熟练掌握提公因式法的操作规则和完全平方公式的结构特征，就能快速准确完成分解，找到公共因式。
【难度系数】
0.9
3. (★★)把多项式$2x^2 -18$分解因式得
【 】
A.$2(x^2 -9)$
B.$(2x-3)^2$
C.$(2x+3)(2x-3)$
D.$2(x+3)(x-3)$
【 】
A.$2(x^2 -9)$
B.$(2x-3)^2$
C.$(2x+3)(2x-3)$
D.$2(x+3)(x-3)$
答案
D
解析
【分析】
对多项式分解因式需遵循常规解题步骤：第一步先观察多项式各项是否有公因式，若有优先提取公因式；第二步再判断提取公因式后剩余的多项式是否符合公式法分解的特征，继续分解直到每个因式都不能再分解为止，最后还可通过展开结果验证是否与原式一致。本题先提取公因式，再判断剩余部分符合平方差公式特征，进一步分解后对照选项判断即可。
【解析】
解：对多项式$2x^2 -18$分解因式：
1. 提取公因式：多项式各项的公因式为2，提取后可得：
$2x^2 -18 = 2(x^2 - 9)$
2. 公式法继续分解：观察$x^2-9$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，其中$a=x$，$b=3$，因此：
$x^2 -9=(x+3)(x-3)$
3. 整合结果得：$2x^2 -18=2(x+3)(x-3)$
对选项逐一验证：
A选项中$x^2-9$还可继续分解，分解不彻底，错误；
B选项展开$(2x-3)^2=4x^2-12x+9$，与原式不符，错误；
C选项展开$(2x+3)(2x-3)=4x^2-9$，与原式不符，错误；
D选项分解彻底且展开后与原式一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要注意因式分解的核心要求：先提公因式，再用公式，最终要分解到每个因式都不能再分解为止，也可通过展开还原的方式验证结果是否正确，避免出现分解不彻底、公式套用错误的问题。
【难度系数】
0.8
对多项式分解因式需遵循常规解题步骤：第一步先观察多项式各项是否有公因式，若有优先提取公因式；第二步再判断提取公因式后剩余的多项式是否符合公式法分解的特征，继续分解直到每个因式都不能再分解为止，最后还可通过展开结果验证是否与原式一致。本题先提取公因式，再判断剩余部分符合平方差公式特征，进一步分解后对照选项判断即可。
【解析】
解：对多项式$2x^2 -18$分解因式：
1. 提取公因式：多项式各项的公因式为2，提取后可得：
$2x^2 -18 = 2(x^2 - 9)$
2. 公式法继续分解：观察$x^2-9$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，其中$a=x$，$b=3$，因此：
$x^2 -9=(x+3)(x-3)$
3. 整合结果得：$2x^2 -18=2(x+3)(x-3)$
对选项逐一验证：
A选项中$x^2-9$还可继续分解，分解不彻底，错误；
B选项展开$(2x-3)^2=4x^2-12x+9$，与原式不符，错误；
C选项展开$(2x+3)(2x-3)=4x^2-9$，与原式不符，错误；
D选项分解彻底且展开后与原式一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要注意因式分解的核心要求：先提公因式，再用公式，最终要分解到每个因式都不能再分解为止，也可通过展开还原的方式验证结果是否正确，避免出现分解不彻底、公式套用错误的问题。
【难度系数】
0.8
4. (★)把多项式$4a^2(a-b)+(b-a)$分解因式结果为
【 】
A.$(a-b)(4a^2+1)$
B.$(b-a)(4a^2+1)$
C.$(a-b)(2a+1)(2a-1)$
D.$(a-b)(4a^2-1)$
【 】
A.$(a-b)(4a^2+1)$
B.$(b-a)(4a^2+1)$
C.$(a-b)(2a+1)(2a-1)$
D.$(a-b)(4a^2-1)$
答案
C
解析
【分析】
首先观察多项式的两项，发现含有互为相反数的因式$(a-b)$和$(b-a)$，可先将$(b-a)$变形为$-(a-b)$，确定公因式为$(a-b)$；第一步先提取公因式，再判断提取公因式后剩余的因式是否能继续分解，发现$4a^2-1$符合平方差公式的特征，可继续用平方差公式分解，直到每个因式都不能再分解为止即可得到结果。
【解析】
解：对多项式$4a^2(a-b)+(b-a)$变形，得：
$4a^2(a-b)-(a-b)$
提取公因式$(a-b)$，得：
$(a-b)(4a^2 - 1)$
根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，令$m=2a$，$n=1$，则：
$4a^2-1=(2a+1)(2a-1)$
因此原式分解因式的最终结果为：
$(a-b)(2a+1)(2a-1)$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题时要先统一互为相反数的因式形式，提取公因式后需验证剩余因式是否可继续分解，必须分解到每个因式都不能再分解为止，易错点是未彻底分解误选D。
【难度系数】
0.7
首先观察多项式的两项，发现含有互为相反数的因式$(a-b)$和$(b-a)$，可先将$(b-a)$变形为$-(a-b)$，确定公因式为$(a-b)$；第一步先提取公因式，再判断提取公因式后剩余的因式是否能继续分解，发现$4a^2-1$符合平方差公式的特征，可继续用平方差公式分解，直到每个因式都不能再分解为止即可得到结果。
【解析】
解：对多项式$4a^2(a-b)+(b-a)$变形，得：
$4a^2(a-b)-(a-b)$
提取公因式$(a-b)$，得：
$(a-b)(4a^2 - 1)$
根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，令$m=2a$，$n=1$，则：
$4a^2-1=(2a+1)(2a-1)$
因此原式分解因式的最终结果为：
$(a-b)(2a+1)(2a-1)$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题时要先统一互为相反数的因式形式，提取公因式后需验证剩余因式是否可继续分解，必须分解到每个因式都不能再分解为止，易错点是未彻底分解误选D。
【难度系数】
0.7
5. (★)下面是甲、乙两名同学分解因式$-x^3+x$的结果，下列判断正确的是
【】
甲同学:原式$=-x(x+1)(x-1)$；
乙同学:原式$=x(1+x)(1-x)$。
A.只有甲的结果正确
B.只有乙的结果正确
C.甲、乙的结果都不正确
D.甲、乙的结果都正确
【】
甲同学:原式$=-x(x+1)(x-1)$；
乙同学:原式$=x(1+x)(1-x)$。
A.只有甲的结果正确
B.只有乙的结果正确
C.甲、乙的结果都不正确
D.甲、乙的结果都正确
答案
D
解析
【分析】
本题考查因式分解的正误判断，解题思路如下：首先回忆因式分解的常规步骤：先提取公因式，再利用公式法继续分解，直到不能分解为止；其次分别按照不同的公因式提取方式分解原式，再对比甲、乙两名同学的结果，判断二者是否与原式等价，也可通过整式乘法逆推验证甲、乙结果是否等于原式。
【解析】
我们先对原式$-x^3+x$进行因式分解：
方法1：提取公因式$-x$
原式$=-x(x^2 - 1)$
再利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$分解$x^2-1$，得：
$=-x(x+1)(x-1)$，与甲同学的结果一致。
方法2：提取公因式$x$
原式$=x(1 - x^2)$
再利用平方差公式分解$1-x^2$，得：
$=x(1+x)(1-x)$，与乙同学的结果一致。
进一步验证二者等价：将甲的结果中$(x-1)$变形为$-(1-x)$，可得$-x(x+1)(x-1)=-x(x+1)·[-(1-x)]=x(1+x)(1-x)$，和乙的结果完全相等，因此甲、乙的结果都正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，需注意提取公因式时符号的处理，不同的公因式提取方式可能得到形式不同但本质等价的分解结果，分解后可通过整式乘法逆运算验证结果是否正确。
【难度系数】
0.8
本题考查因式分解的正误判断，解题思路如下：首先回忆因式分解的常规步骤：先提取公因式，再利用公式法继续分解，直到不能分解为止；其次分别按照不同的公因式提取方式分解原式，再对比甲、乙两名同学的结果，判断二者是否与原式等价，也可通过整式乘法逆推验证甲、乙结果是否等于原式。
【解析】
我们先对原式$-x^3+x$进行因式分解：
方法1：提取公因式$-x$
原式$=-x(x^2 - 1)$
再利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$分解$x^2-1$，得：
$=-x(x+1)(x-1)$，与甲同学的结果一致。
方法2：提取公因式$x$
原式$=x(1 - x^2)$
再利用平方差公式分解$1-x^2$，得：
$=x(1+x)(1-x)$，与乙同学的结果一致。
进一步验证二者等价：将甲的结果中$(x-1)$变形为$-(1-x)$，可得$-x(x+1)(x-1)=-x(x+1)·[-(1-x)]=x(1+x)(1-x)$，和乙的结果完全相等，因此甲、乙的结果都正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，需注意提取公因式时符号的处理，不同的公因式提取方式可能得到形式不同但本质等价的分解结果，分解后可通过整式乘法逆运算验证结果是否正确。
【难度系数】
0.8
6. (★)把多项式$3a^2 -6a +3$分解因式，下列结果正确的是
【 】
A.$3a(a-2)+3$
B.$3(a^2 -2a +1)$
C.$3(a-1)(a+1)$
D.$3(a-1)^2$
【 】
A.$3a(a-2)+3$
B.$3(a^2 -2a +1)$
C.$3(a-1)(a+1)$
D.$3(a-1)^2$
答案
D
解析
【分析】
解决因式分解类题目首先要明确因式分解的要求：最终结果必须是几个整式的乘积形式，且要分解到每个因式都不能再分解为止。解题思路分两步走：第一步先观察多项式是否有公因式，本题各项都含公因式3，先提取公因式；第二步看提取公因式后剩下的多项式是否符合乘法公式的形式，这里剩下的$a^2-2a+1$符合完全平方公式的特征，可继续分解。也可通过排除法判断选项：先排除不符合因式分解形式、分解不彻底、展开后与原式不等的选项，快速得到答案。
【解析】
对多项式$3a^2 -6a +3$分解因式：
1. 提取公因式3：
$3a^2 -6a +3 = 3(a^2 - 2a + 1)$
2. 利用完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$分解括号内的多项式，此处$m=a$，$n=1$，因此$a^2-2a+1=(a-1)^2$，代入得：
$3(a^2 - 2a + 1)=3(a-1)^2$
逐一验证选项：
A选项结果为和的形式，不是整式乘积，不符合因式分解定义，错误；
B选项括号内的多项式还可继续分解，分解不彻底，错误；
C选项展开后为$3a^2-3$，与原式不相等，错误；
D选项与分解结果一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解定义
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题时要遵循“先提公因式，再用公式”的顺序，最后要检查是否分解彻底，同时要注意区分完全平方公式和平方差公式，避免公式混用。
【难度系数】
0.8
解决因式分解类题目首先要明确因式分解的要求：最终结果必须是几个整式的乘积形式，且要分解到每个因式都不能再分解为止。解题思路分两步走：第一步先观察多项式是否有公因式，本题各项都含公因式3，先提取公因式；第二步看提取公因式后剩下的多项式是否符合乘法公式的形式，这里剩下的$a^2-2a+1$符合完全平方公式的特征，可继续分解。也可通过排除法判断选项：先排除不符合因式分解形式、分解不彻底、展开后与原式不等的选项，快速得到答案。
【解析】
对多项式$3a^2 -6a +3$分解因式：
1. 提取公因式3：
$3a^2 -6a +3 = 3(a^2 - 2a + 1)$
2. 利用完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$分解括号内的多项式，此处$m=a$，$n=1$，因此$a^2-2a+1=(a-1)^2$，代入得：
$3(a^2 - 2a + 1)=3(a-1)^2$
逐一验证选项：
A选项结果为和的形式，不是整式乘积，不符合因式分解定义，错误；
B选项括号内的多项式还可继续分解，分解不彻底，错误；
C选项展开后为$3a^2-3$，与原式不相等，错误；
D选项与分解结果一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解定义
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题时要遵循“先提公因式，再用公式”的顺序，最后要检查是否分解彻底，同时要注意区分完全平方公式和平方差公式，避免公式混用。
【难度系数】
0.8
7. (★)分解因式: $4x^4 - 4x^3 + x^2 =$
.
.
答案
解：
$4x^4 - 4x^3 + x^2$
$=x^2(4x^2 - 4x + 1)$
$=x^2(2x - 1)^2$
$4x^4 - 4x^3 + x^2$
$=x^2(4x^2 - 4x + 1)$
$=x^2(2x - 1)^2$
解析
【分析】
解决分解因式类题目遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题各项都含有公因式$x^2$，所以先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的$4x^2-4x+1$，其结构符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，因此套用公式继续分解；第三步确认分解后的所有因式都无法再分解，即得到最终结果。
【解析】
解：
$4x^4 - 4x^3 + x^2$
$=x^2(4x^2 - 4x + 1)$
$=x^2(2x - 1)^2$
【答案】
$x^2(2x-1)^2$
【知识点】
提公因式法、完全平方公式、因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，解题时需注意先提取公因式再套用对应公式，同时要保证分解结果的彻底性，避免出现仅提取公因式就停止作答的错误。
【难度系数】
0.8
解决分解因式类题目遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题各项都含有公因式$x^2$，所以先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的$4x^2-4x+1$，其结构符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，因此套用公式继续分解；第三步确认分解后的所有因式都无法再分解，即得到最终结果。
【解析】
解：
$4x^4 - 4x^3 + x^2$
$=x^2(4x^2 - 4x + 1)$
$=x^2(2x - 1)^2$
【答案】
$x^2(2x-1)^2$
【知识点】
提公因式法、完全平方公式、因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，解题时需注意先提取公因式再套用对应公式，同时要保证分解结果的彻底性，避免出现仅提取公因式就停止作答的错误。
【难度系数】
0.8
8. (★★)分解因式:$a^4 -4a^2 =$ .
答案
解：
$a^4 - 4a^2$
$=a^2(a^2 - 4)$
$=a^2(a+2)(a-2)$
$a^4 - 4a^2$
$=a^2(a^2 - 4)$
$=a^2(a+2)(a-2)$
解析
【分析】
分解因式需遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，本题中两项都含有公因式$a^2$，因此先提取公因式；提取公因式后得到多项式$a^2-4$，符合平方差公式的结构特征（两个数的平方差），因此再套用平方差公式继续分解；最后检查是否每个因式都不能再分解，确保分解彻底。
【解析】
解：
$a^4 - 4a^2$
$=a^2(a^2 - 4)$
$=a^2(a+2)(a-2)$
【答案】
$a^2(a+2)(a-2)$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是分解因式的基础题型，重点考查分解因式的常规步骤，需注意提取公因式后要验证剩余多项式是否可继续用公式分解，保证分解结果彻底，无还能继续分解的因式。
【难度系数】
0.8
分解因式需遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，本题中两项都含有公因式$a^2$，因此先提取公因式；提取公因式后得到多项式$a^2-4$，符合平方差公式的结构特征（两个数的平方差），因此再套用平方差公式继续分解；最后检查是否每个因式都不能再分解，确保分解彻底。
【解析】
解：
$a^4 - 4a^2$
$=a^2(a^2 - 4)$
$=a^2(a+2)(a-2)$
【答案】
$a^2(a+2)(a-2)$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是分解因式的基础题型，重点考查分解因式的常规步骤，需注意提取公因式后要验证剩余多项式是否可继续用公式分解，保证分解结果彻底，无还能继续分解的因式。
【难度系数】
0.8
9. (★★)已知$a+b=1$，$ab=-6$，则$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$的值为 【 】
A.36
B.1
C.-1
D.-6
A.36
B.1
C.-1
D.-6
答案
D
解析
【分析】
我们已知a+b和ab的值，要求的代数式是关于a、b的高次多项式，解题思路是先对所求代数式进行因式分解，将其转化为含有a+b和ab的形式，再整体代入已知数值计算即可。首先观察代数式各项都含有公因式ab，先提取公因式，再看剩余部分可以用完全平方公式继续分解，就能和已知条件对应上。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2 + 2ab + b^2) \quad \mathrm{（提取公因式}ab\mathrm{）}\\&=ab(a+b)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方公式分解）}\end{aligned}$
将已知$a+b=1$，$ab=-6$代入上式：
原式$=-6×1^2=-6×1=-6$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先通过因式分解将所求代数式转化为含已知条件的形式，再整体代入计算，熟练掌握因式分解的基本方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
我们已知a+b和ab的值，要求的代数式是关于a、b的高次多项式，解题思路是先对所求代数式进行因式分解，将其转化为含有a+b和ab的形式，再整体代入已知数值计算即可。首先观察代数式各项都含有公因式ab，先提取公因式，再看剩余部分可以用完全平方公式继续分解，就能和已知条件对应上。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2 + 2ab + b^2) \quad \mathrm{（提取公因式}ab\mathrm{）}\\&=ab(a+b)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方公式分解）}\end{aligned}$
将已知$a+b=1$，$ab=-6$代入上式：
原式$=-6×1^2=-6×1=-6$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先通过因式分解将所求代数式转化为含已知条件的形式，再整体代入计算，熟练掌握因式分解的基本方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
10. (★★)若$m$为自然数，则$(2m+3)^2 - 4m^2$的值总能 【 】
A.被3整除
B.被4整除
C.被5整除
D.被6整除
A.被3整除
B.被4整除
C.被5整除
D.被6整除
答案
A
解析
【分析】
观察待求式的结构，发现它符合平方差公式“$a^2 - b^2$”的特征，因此解题思路为：第一步，利用平方差公式对原式进行因式分解；第二步，对分解后的式子进行化简，得到最简整式；第三步，结合m是自然数的条件，分析最简整式的因数特点，即可判断其能被哪个数整除。
【解析】
先将原式变形为平方差的标准形式，再套用平方差公式分解化简：
$\begin{aligned}(2m+3)^2 - 4m^2&=(2m+3)^2 - (2m)^2\\&=(2m+3 + 2m)(2m+3 - 2m)\\&=(4m+3)×3\\&=3(4m+3)\end{aligned}$
因为m是自然数，所以$4m+3$是整数，因此$3(4m+3)$是3的整数倍，即原式的值总能被3整除。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，因式分解，整除判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平方差公式的应用，解题的关键是准确识别式子的平方差结构，通过因式分解化简后分析结果的因数特征即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
观察待求式的结构，发现它符合平方差公式“$a^2 - b^2$”的特征，因此解题思路为：第一步，利用平方差公式对原式进行因式分解；第二步，对分解后的式子进行化简，得到最简整式；第三步，结合m是自然数的条件，分析最简整式的因数特点，即可判断其能被哪个数整除。
【解析】
先将原式变形为平方差的标准形式，再套用平方差公式分解化简：
$\begin{aligned}(2m+3)^2 - 4m^2&=(2m+3)^2 - (2m)^2\\&=(2m+3 + 2m)(2m+3 - 2m)\\&=(4m+3)×3\\&=3(4m+3)\end{aligned}$
因为m是自然数，所以$4m+3$是整数，因此$3(4m+3)$是3的整数倍，即原式的值总能被3整除。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，因式分解，整除判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平方差公式的应用，解题的关键是准确识别式子的平方差结构，通过因式分解化简后分析结果的因数特征即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
11. (★★)已知$x+y=5,x^2+y^2=13$,则代数式$x^3y-3x^2y^2+xy^3$的值为.
答案
$\boldsymbol{-30}$
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，其各项含有公因式$xy$，可先提取公因式，再结合式子特点变形，得到用$x+y$、$x^2+y^2$、$xy$表示的形式；再利用完全平方公式的变形，由已知的$x+y$和$x^2+y^2$求出$xy$的值；最后将对应数值整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解$x$、$y$的取值，简化运算。
【解析】
1. 求$xy$的值：
根据完全平方公式可得：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
将$x+y=5$，$x^2+y^2=13$代入上式：
$5^2=13+2xy$
即$25=13+2xy$，解得$xy=6$。
2. 对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}x^3y-3x^2y^2+xy^3&=xy(x^2-3xy+y^2)\\&=xy[(x^2+y^2)-3xy]\end{aligned}$
3. 代入数值计算：
将$xy=6$，$x^2+y^2=13$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=6×(13-3×6)\\&=6×(13-18)\\&=6×(-5)\\&=-30\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-30}$
【知识点】
完全平方公式，提公因式法分解因式，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法公式的综合应用，解题核心是将所求代数式因式分解后，利用已知条件整体代入计算，避免单独求解未知数的繁琐运算，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时先观察所求代数式的结构，其各项含有公因式$xy$，可先提取公因式，再结合式子特点变形，得到用$x+y$、$x^2+y^2$、$xy$表示的形式；再利用完全平方公式的变形，由已知的$x+y$和$x^2+y^2$求出$xy$的值；最后将对应数值整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解$x$、$y$的取值，简化运算。
【解析】
1. 求$xy$的值：
根据完全平方公式可得：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
将$x+y=5$，$x^2+y^2=13$代入上式：
$5^2=13+2xy$
即$25=13+2xy$，解得$xy=6$。
2. 对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}x^3y-3x^2y^2+xy^3&=xy(x^2-3xy+y^2)\\&=xy[(x^2+y^2)-3xy]\end{aligned}$
3. 代入数值计算：
将$xy=6$，$x^2+y^2=13$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=6×(13-3×6)\\&=6×(13-18)\\&=6×(-5)\\&=-30\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-30}$
【知识点】
完全平方公式，提公因式法分解因式，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法公式的综合应用，解题核心是将所求代数式因式分解后，利用已知条件整体代入计算，避免单独求解未知数的繁琐运算，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
12. (★★)分解因式:
(1)$(a+b)^2 - (2b - 3a)^2$;
(2)$(x^2 +25)^2 -100x^2$.
(1)$(a+b)^2 - (2b - 3a)^2$;
(2)$(x^2 +25)^2 -100x^2$.
答案
解：
(1) 利用平方差公式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(a+b)+(2b-3a)][(a+b)-(2b-3a)]\\&=(a+b+2b-3a)(a+b-2b+3a)\\&=(3b-2a)(4a-b)\end{aligned}$
(2) 先利用平方差公式分解，再用完全平方公式继续分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2+25)^2-(10x)^2\\&=(x^2+25+10x)(x^2+25-10x)\\&=(x+5)^2(x-5)^2\end{aligned}$
(1) 利用平方差公式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(a+b)+(2b-3a)][(a+b)-(2b-3a)]\\&=(a+b+2b-3a)(a+b-2b+3a)\\&=(3b-2a)(4a-b)\end{aligned}$
(2) 先利用平方差公式分解，再用完全平方公式继续分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2+25)^2-(10x)^2\\&=(x^2+25+10x)(x^2+25-10x)\\&=(x+5)^2(x-5)^2\end{aligned}$
解析
【分析】
这两道题均考查用公式法分解因式，解题思路如下：
(1) 首先观察多项式结构，是两个整式的平方作差的形式，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的特征，把$(a+b)$看作公式中的$m$，$(2b-3a)$看作公式中的$n$，套用公式展开后，再合并同类项即可得到结果；
(2) 先将原式变形为$(x^2+25)^2-(10x)^2$，同样符合平方差公式的特征，先套用平方差公式分解为两个多项式的乘积，再观察分解后的两个多项式，均符合完全平方公式的结构，继续套用完全平方公式分解，直到不能再分解为止。
【解析】
(1) 利用平方差公式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(a+b)+(2b-3a)][(a+b)-(2b-3a)]\\&=(a+b+2b-3a)(a+b-2b+3a)\\&=(3b-2a)(4a-b)\end{aligned}$
(2) 先利用平方差公式分解，再用完全平方公式继续分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2+25)^2-(10x)^2\\&=(x^2+25+10x)(x^2+25-10x)\\&=(x+5)^2(x-5)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $(3b-2a)(4a-b)$；(2) $(x+5)^2(x-5)^2$
【知识点】
平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，合并同类项
【点评】
本题属于公式法分解因式的常规题型，解题核心是准确识别多项式符合的公式结构特征，分解过程中要注意去括号的符号规则，且最终结果需要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
这两道题均考查用公式法分解因式，解题思路如下：
(1) 首先观察多项式结构，是两个整式的平方作差的形式，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的特征，把$(a+b)$看作公式中的$m$，$(2b-3a)$看作公式中的$n$，套用公式展开后，再合并同类项即可得到结果；
(2) 先将原式变形为$(x^2+25)^2-(10x)^2$，同样符合平方差公式的特征，先套用平方差公式分解为两个多项式的乘积，再观察分解后的两个多项式，均符合完全平方公式的结构，继续套用完全平方公式分解，直到不能再分解为止。
【解析】
(1) 利用平方差公式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(a+b)+(2b-3a)][(a+b)-(2b-3a)]\\&=(a+b+2b-3a)(a+b-2b+3a)\\&=(3b-2a)(4a-b)\end{aligned}$
(2) 先利用平方差公式分解，再用完全平方公式继续分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2+25)^2-(10x)^2\\&=(x^2+25+10x)(x^2+25-10x)\\&=(x+5)^2(x-5)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $(3b-2a)(4a-b)$；(2) $(x+5)^2(x-5)^2$
【知识点】
平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，合并同类项
【点评】
本题属于公式法分解因式的常规题型，解题核心是准确识别多项式符合的公式结构特征，分解过程中要注意去括号的符号规则，且最终结果需要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
