1. (★)如图,点A,B,C在$\odot O$上,若$∠ O=64°$,则$∠ A$的度数等于 【 】

A.$16°$
B.$32°$
C.$48°$
D.$64°$

B

【分析】
解题时首先明确角的类型：顶点在圆心O的∠O是弧BC所对的圆心角，顶点在圆上的∠A是弧BC所对的圆周角，二者对应同一段弧BC。回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此只需用圆心角的度数除以2即可求出∠A的度数。
【解析】
由图可知，∠BOC（即题中∠O）是弧BC所对的圆心角，∠BAC（即题中∠A）是弧BC所对的圆周角。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ A=\frac{1}{2}∠ O=\frac{1}{2}×64°=32°$
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确识别同一段弧对应的圆心角和圆周角，直接套用圆周角定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

2. (★)如图，AB是$\odot O$的直径，若$∠ CDB=60°$，则$∠ ABC$的度数等于 【 】

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$

A

【分析】
拿到本题，先梳理已知条件：AB是$\odot O$的直径，$∠ CDB=60°$，要求$∠ ABC$的度数。解题思路如下：第一步，找已知角和待求角的关联：$∠ CDB$和$∠ CAB$都是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理可得到$∠ CAB$的度数；第二步，利用直径的性质：直径所对的圆周角是直角，可得$△ ACB$是直角三角形，两锐角互余，代入$∠ CAB$的度数即可求出$∠ ABC$。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，弧BC所对的圆周角为$∠ CDB$和$∠ CAB$，因此$∠ CAB = ∠ CDB = 60°$。
2. 因为AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，所以$∠ ACB = 90°$，即$△ ACB$是直角三角形。
3. 在$Rt△ ACB$中，两个锐角互余，因此$∠ ABC + ∠ CAB = 90°$，代入$∠ CAB=60°$，得$∠ ABC = 90° - 60° = 30°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是通过同弧所对圆周角相等完成角的转化，再结合直径的特殊性质计算角度，掌握圆周角相关定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8

3. (★)(1)顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作.
(2)一条弧所对圆周角的度数等于这条弧所对圆心角的度数的.
(3)同弧或等弧所对的圆周角.
(4)半圆(或直径)所对的圆周角是,90°的圆周角所对的弦是.

解：
(1) 圆周角
(2) 一半
(3) 相等
(4) 直角；直径

【分析】
这道题是对圆周角相关基础概念与定理的直接考查，解题时只需回忆对应知识点，逐一匹配题干描述填空即可，属于识记类基础题，准确记忆定义和定理内容是解题的关键。
【解析】
(1) 根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，因此本空填圆周角；
(2) 根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对圆心角的度数的一半，因此本空填一半；
(3) 根据圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，因此本空填相等；
(4) 根据圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，反过来90°的圆周角所对的弦是直径，因此两个空依次填直角、直径。
【答案】
(1) 圆周角
(2) 一半
(3) 相等
(4) 直角；直径
【知识点】
圆周角的定义；圆周角定理；圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考查对圆周角相关定义、定理的掌握情况，熟练掌握这些基础内容是后续解决圆相关复杂几何问题的前提。
【难度系数】
0.9

4. (★)如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,∠AOB=40°,则∠ADC的度数是 【 】

A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$15°$

C

【分析】
解题时先从已知条件$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$入手，根据同圆中等弧对应相等的圆心角，先求出$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠ AOC$的度数；再观察所求的$∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$对应的圆周角，结合圆周角定理“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”，即可算出$∠ ADC$的度数。
【解析】
$\because$在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$
$\therefore$等弧所对的圆心角相等，即$∠ AOC=∠ AOB=40°$
又$\because ∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角
根据圆周角定理可得：$∠ ADC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×40°=20°$
【答案】
C
【知识点】
等弧与圆心角关系，圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题关键是找准同弧对应的圆心角和圆周角，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

5. (★)如图,A,B,C,D是圆上的点,∠1=68°,∠A=40°,则∠D的度数为 【 】

A.30°
B.40°
C.28°
D.56°

C

【分析】
解题时先结合三角形外角性质求出∠B的度数，再利用圆周角相关推论得到∠D的度数即可。第一步：观察图形可知∠1是含∠A、∠B的三角形的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，可由已知的∠1和∠A算出∠B；第二步：∠B和∠D都是弧AC所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，即可得到∠D的度数。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ 1 = ∠ A + ∠ B$
代入已知$∠ 1=68°$，$∠ A=40°$，得：
$∠ B = ∠ 1 - ∠ A = 68° - 40° = 28°$
又因为$∠ B$和$∠ D$都是弧$AC$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得：
$∠ D = ∠ B = 28°$
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质，圆周角定理
【点评】
本题是基础几何应用题，只要熟练掌握三角形外角性质和圆周角相关推论就能快速求解，核心是找准同弧对应的圆周角。
【难度系数】
0.8

6. (★)在半径长为1的圆中，长度等于$\sqrt{2}$的弦所对的圆周角的度数是。

解：设半径为1的圆为⊙O，长度为$\sqrt{2}$的弦为AB，连接OA、OB。
∵ $OA=OB=1$，$AB=\sqrt{2}$，
∴ $OA^2 + OB^2 = 1^2 + 1^2 = 2$，$AB^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$，
∴ $OA^2 + OB^2 = AB^2$，
∴ $△ AOB$是直角三角形，$∠ AOB=90°$。
根据圆周角定理，弦AB所对的圆周角分两种情况：
1. 当圆周角在AB所对的优弧上时，度数为$\frac{1}{2}∠ AOB = 45°$；
2. 当圆周角在AB所对的劣弧上时，由圆内接四边形对角互补，得度数为$180° - 45° = 135°$。
综上，长度等于$\sqrt{2}$的弦所对的圆周角的度数是$\boldsymbol{45°}$或$\boldsymbol{135°}$。

【分析】
解决这道题首先要连接弦的端点与圆心，构造出圆心角所在的三角形，先通过勾股定理逆定理求出弦对应的圆心角度数；再依据圆周角定理计算圆周角，注意一条非直径的弦对应两段弧，对应两种不同的圆周角，需要分类讨论避免漏解：优弧对应的圆周角等于圆心角的一半，劣弧对应的圆周角可通过圆内接四边形对角互补的性质求出。
【解析】
设半径为1的圆为⊙O，长度为$\sqrt{2}$的弦为AB，连接OA、OB。
∵ $OA=OB=1$，$AB=\sqrt{2}$，
∴ $OA^2 + OB^2 = 1^2 + 1^2 = 2$，$AB^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$，
∴ $OA^2 + OB^2 = AB^2$，
∴ $△AOB$是直角三角形，$∠AOB=90°$。
根据圆周角定理，弦AB所对的圆周角分两种情况：
1. 当圆周角在AB所对的优弧上时，度数为$\frac{1}{2}∠AOB = 45°$；
2. 当圆周角在AB所对的劣弧上时，由圆内接四边形对角互补，得度数为$180° - 45° = 135°$。
综上，长度等于$\sqrt{2}$的弦所对的圆周角的度数是45°或135°。
【答案】
$45°$或$135°$
【知识点】
勾股定理逆定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的基础题型，核心考查圆周角与圆心角的关系，易错点是容易忽略一条弦对应两个互补的圆周角，出现漏解情况，解题时要注意分类讨论。
【难度系数】
0.7

7. (★★)如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD//BC，OD与AC交于点E.
(1)若∠B=70°，求∠CAD的度数；
(2)若AB=4，AC=3，求DE的长.

解：
(1) ∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB = 90°。
∵ OD//BC，
∴ ∠AEO = ∠ACB = 90°，即OD⊥AC。
∵ ∠B = 70°，
∴ ∠CAB = 90° - ∠B = 20°。
∵ OD//BC，
∴ ∠AOD = ∠B = 70°。
又∵ OA = OD，
∴ ∠OAD = ∠ODA = $\frac{180° - ∠ AOD}{2} = 55°$，
∴ ∠CAD = ∠OAD - ∠CAB = 55° - 20° = 35°。
(2) ∵ AB = 4，
∴ 半圆O的半径OA = OD = 2。
在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，
由勾股定理得：$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$。
∵ O是AB的中点，OD//BC，
∴ OE是△ABC的中位线，
∴ $OE = \frac{1}{2}BC = \frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴ $DE = OD - OE = 2 - \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{4 - \sqrt{7}}{2}$。

【分析】
(1) 求解第一问时，首先根据“直径所对的圆周角为直角”得到∠ACB=90°；结合OD//BC的条件，可推出OD⊥AC，同时得到同位角∠AOD=∠B；再利用等腰△OAD的内角和性质求出∠OAD的度数，最后用∠OAD减去∠CAB的度数即可得到∠CAD。
(2) 求解第二问时，首先根据直径长度求出半圆半径OD的长度，再在Rt△ABC中用勾股定理算出BC的长；由O是AB中点且OD//BC，可判断OE是△ABC的中位线，利用中位线性质求出OE的长度，最后用OD减去OE就能得到DE的长。
【解析】
(1)
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB = 90°。
∵ OD//BC，
∴ ∠AEO = ∠ACB = 90°，即OD⊥AC。
∵ ∠B = 70°，
∴ ∠CAB = 90° - ∠B = 20°。
∵ OD//BC，
∴ ∠AOD = ∠B = 70°。
又
∵ OA = OD，
∴ ∠OAD = ∠ODA = $\frac{180° - ∠ AOD}{2} = 55°$，
∴ ∠CAD = ∠OAD - ∠CAB = 55° - 20° = 35°。
(2)
∵ AB = 4，
∴ 半圆O的半径OA = OD = 2。
在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，
由勾股定理得：$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$。
∵ O是AB的中点，OD//BC，
∴ OE是△ABC的中位线，
∴ $OE = \frac{1}{2}BC = \frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴ $DE = OD - OE = 2 - \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{4 - \sqrt{7}}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{35°}$
(2) $\boxed{\dfrac{4-\sqrt{7}}{2}}$
【知识点】
圆周角定理，平行线的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的性质与平行线、三角形的知识点结合考查，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、三角形中位线的判定与性质等基础结论，结合图形分析角和线段的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7