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1. 下列方程是关于$x$的一元二次方程的是(
A.$x^2+\dfrac{1}{x^2}=0$
B.$ax^2+bx+c=0$
C.$(x-1)(x+2)=1$
D.$3x^2-2xy+5y^2=0$
C
).A.$x^2+\dfrac{1}{x^2}=0$
B.$ax^2+bx+c=0$
C.$(x-1)(x+2)=1$
D.$3x^2-2xy+5y^2=0$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断一个方程是否为关于x的一元二次方程，需先明确一元二次方程的四个判定条件：1. 是整式方程；2. 只含有x这一个未知数；3. 未知数x的最高次数为2；4. 二次项系数不为0。我们只需对照这四个条件逐一分析每个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：$x^2+\dfrac{1}{x^2}=0$的分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，排除；
B选项：$ax^2+bx+c=0$未注明$a≠ 0$，若a=0，方程变为一元一次方程，不符合要求，排除；
C选项：先将左边展开并整理，$(x-1)(x+2)=x^2+x-2$，原方程变形为$x^2+x-3=0$，该方程是整式方程，仅含x一个未知数，x的最高次数为2，且二次项系数为1≠0，符合一元二次方程的定义，当选；
D选项：$3x^2-2xy+5y^2=0$中含有x、y两个未知数，属于二元二次方程，不符合“仅关于x”的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程判定、多项式乘多项式
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础考查题，解题时需紧扣定义的判定条件逐一排查，尤其要注意二次项系数不为0、方程为整式方程这两个易漏的判定要点。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为关于x的一元二次方程，需先明确一元二次方程的四个判定条件：1. 是整式方程；2. 只含有x这一个未知数；3. 未知数x的最高次数为2；4. 二次项系数不为0。我们只需对照这四个条件逐一分析每个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：$x^2+\dfrac{1}{x^2}=0$的分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，排除；
B选项：$ax^2+bx+c=0$未注明$a≠ 0$，若a=0，方程变为一元一次方程，不符合要求，排除；
C选项：先将左边展开并整理，$(x-1)(x+2)=x^2+x-2$，原方程变形为$x^2+x-3=0$，该方程是整式方程，仅含x一个未知数，x的最高次数为2，且二次项系数为1≠0，符合一元二次方程的定义，当选；
D选项：$3x^2-2xy+5y^2=0$中含有x、y两个未知数，属于二元二次方程，不符合“仅关于x”的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程判定、多项式乘多项式
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础考查题，解题时需紧扣定义的判定条件逐一排查，尤其要注意二次项系数不为0、方程为整式方程这两个易漏的判定要点。
【难度系数】
0.8
2. 如果$x=4$是一元二次方程$x^2 - 3x - a^2 = 0$的一个根，则常数$a$的值是（
A.4
B.2
C.$-2$
D.$\pm2$
D
）。A.4
B.2
C.$-2$
D.$\pm2$
答案
2. D
解析
【分析】
根据一元二次方程根的定义，若一个数是方程的根，则将其代入方程后方程左右两边相等。因此我们可以先将x=4代入原方程，得到只含有未知数a的方程，再求解该方程即可得到a的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
∵x=4是一元二次方程$x^2 - 3x - a^2 = 0$的根
∴将x=4代入方程得：
$4^2 - 3×4 - a^2 = 0$
计算得：$16 - 12 - a^2 = 0$
化简得：$a^2 = 4$
开平方得：$a = \pm2$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义、直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握方程的根满足原方程这一性质，代入求值时注意平方项开方后有正负两个结果，避免因漏解选错答案。
【难度系数】
0.8
根据一元二次方程根的定义，若一个数是方程的根，则将其代入方程后方程左右两边相等。因此我们可以先将x=4代入原方程，得到只含有未知数a的方程，再求解该方程即可得到a的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
∵x=4是一元二次方程$x^2 - 3x - a^2 = 0$的根
∴将x=4代入方程得：
$4^2 - 3×4 - a^2 = 0$
计算得：$16 - 12 - a^2 = 0$
化简得：$a^2 = 4$
开平方得：$a = \pm2$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义、直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握方程的根满足原方程这一性质，代入求值时注意平方项开方后有正负两个结果，避免因漏解选错答案。
【难度系数】
0.8
3. 下表是代数式$ax^2+bx$的值的情况，根据表格中的数据，可知方程$ax^2+bx=2$的根是（
A.$x_1=0, x_2=1$
B.$x_1=-1, x_2=2$
C.$x_1=-2, x_2=3$
D.$x_1=-3, x_2=4$
B
）。A.$x_1=0, x_2=1$
B.$x_1=-1, x_2=2$
C.$x_1=-2, x_2=3$
D.$x_1=-3, x_2=4$
答案
3. B
解析
【分析】
要确定方程$ax^2+bx=2$的根，首先要明确一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，也就是使得代数式$ax^2+bx$的值等于2的$x$的取值。解题时有两种思路：一是直接观察表格，查找$ax^2+bx=2$时对应的$x$值即可；二是先利用表格中已知的几组对应值求出参数$a$、$b$的具体数值，再代入方程求解得到根。
【解析】
方法1：直接观察表格数据：
当$x=-1$时，$ax^2+bx=2$；当$x=2$时，$ax^2+bx=2$，
因此满足$ax^2+bx=2$的$x$的值为$x_1=-1$，$x_2=2$，即这两个值是方程的根。
方法2：求参数验证：
选取两组已知值代入代数式，例如$x=-1$时$ax^2+bx=2$，$x=1$时$ax^2+bx=0$，可得方程组：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1)=2 \\a×1^2 + b×1=0\end{cases}$
化简得$\begin{cases}a - b=2 \\a + b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1 \\b=-1\end{cases}$
代入方程$ax^2+bx=2$得$x^2 - x=2$，整理为$x^2 -x -2=0$
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=2$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根；解一元二次方程；代数式求值
【点评】
本题考查对一元二次方程根的概念的理解，解题时既可以通过表格直接查找对应值快速得到答案，也可以通过求参数解方程验证，灵活选择方法可提升解题速度。
【难度系数】
0.8
要确定方程$ax^2+bx=2$的根，首先要明确一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，也就是使得代数式$ax^2+bx$的值等于2的$x$的取值。解题时有两种思路：一是直接观察表格，查找$ax^2+bx=2$时对应的$x$值即可；二是先利用表格中已知的几组对应值求出参数$a$、$b$的具体数值，再代入方程求解得到根。
【解析】
方法1：直接观察表格数据：
当$x=-1$时，$ax^2+bx=2$；当$x=2$时，$ax^2+bx=2$，
因此满足$ax^2+bx=2$的$x$的值为$x_1=-1$，$x_2=2$，即这两个值是方程的根。
方法2：求参数验证：
选取两组已知值代入代数式，例如$x=-1$时$ax^2+bx=2$，$x=1$时$ax^2+bx=0$，可得方程组：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1)=2 \\a×1^2 + b×1=0\end{cases}$
化简得$\begin{cases}a - b=2 \\a + b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1 \\b=-1\end{cases}$
代入方程$ax^2+bx=2$得$x^2 - x=2$，整理为$x^2 -x -2=0$
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=2$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根；解一元二次方程；代数式求值
【点评】
本题考查对一元二次方程根的概念的理解，解题时既可以通过表格直接查找对应值快速得到答案，也可以通过求参数解方程验证，灵活选择方法可提升解题速度。
【难度系数】
0.8
4. 党的二十大报告指出：“从2020年到2035年基本实现社会主义现代化；从2035年到本世纪中叶，把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国.”
2023年我国国内生产总值(GDP)约为129.4万亿人民币，2025年GDP约为140.2万亿人民币. 如果每年增长率相同，设年增长率为x，依题意可列方程为(
A.$129.4 + 129.4(1+x) = 140.2$
B.$129.4(1+x) = 140.2$
C.$129.4(1+x)^2 = 140.2$
D.$129.4(1+x) + 129.4(1+x)^2 = 140.2$
2023年我国国内生产总值(GDP)约为129.4万亿人民币，2025年GDP约为140.2万亿人民币. 如果每年增长率相同，设年增长率为x，依题意可列方程为(
C
).A.$129.4 + 129.4(1+x) = 140.2$
B.$129.4(1+x) = 140.2$
C.$129.4(1+x)^2 = 140.2$
D.$129.4(1+x) + 129.4(1+x)^2 = 140.2$
答案
4. C
解析
【分析】
这是一道平均增长率的实际应用题，解题思路如下：第一步先明确初始量、增长次数、最终量三个核心量：初始量是2023年的GDP129.4万亿，从2023年到2025年间隔2年，即增长次数为2，最终量是2025年的GDP140.2万亿；第二步回忆平均增长率的等量关系：若初始量为a，年平均增长率为x，经过n次增长后的总量为$a(1+x)^n$；第三步把对应数值代入等量关系即可得到方程。
【解析】
解：已知2023年GDP为129.4万亿，年增长率为x。
2024年的GDP为：$129.4(1+x)$ 万亿
2025年的GDP是在2024年的基础上再增长x，因此2025年GDP为：
$129.4(1+x) × (1+x) = 129.4(1+x)^2$ 万亿
又已知2025年GDP约为140.2万亿，因此可列方程：
$129.4(1+x)^2 = 140.2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 实际问题列一元二次方程 2. 平均增长率问题
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题的核心是准确判断增长的次数，熟练掌握平均增长率的计算公式，这类题型是方程实际应用的常见考查方向。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率的实际应用题，解题思路如下：第一步先明确初始量、增长次数、最终量三个核心量：初始量是2023年的GDP129.4万亿，从2023年到2025年间隔2年，即增长次数为2，最终量是2025年的GDP140.2万亿；第二步回忆平均增长率的等量关系：若初始量为a，年平均增长率为x，经过n次增长后的总量为$a(1+x)^n$；第三步把对应数值代入等量关系即可得到方程。
【解析】
解：已知2023年GDP为129.4万亿，年增长率为x。
2024年的GDP为：$129.4(1+x)$ 万亿
2025年的GDP是在2024年的基础上再增长x，因此2025年GDP为：
$129.4(1+x) × (1+x) = 129.4(1+x)^2$ 万亿
又已知2025年GDP约为140.2万亿，因此可列方程：
$129.4(1+x)^2 = 140.2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 实际问题列一元二次方程 2. 平均增长率问题
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题的核心是准确判断增长的次数，熟练掌握平均增长率的计算公式，这类题型是方程实际应用的常见考查方向。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在一块长8 m，宽6 m的矩形绿地内，开辟出一块矩形的花圃，使花圃四周的绿地等宽. 已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽. 设花圃四周绿地的宽为x m，可列方程为
$(8-2x)(6-2x)=\dfrac{1}{2}×8×6$
（不需要化简）.答案
5. $(8-2x)(6-2x)=\dfrac{1}{2}×8×6$
解析
【分析】
解题时首先要找准等量关系：① 花圃面积等于原矩形绿地总面积的一半，因为四周绿地面积和花圃面积相等，二者相加为总面积，所以各占一半；② 花圃的长和宽可由原矩形的长、宽减去2倍的绿地宽度得到（因为四周都有等宽的绿地，左右各占x，上下各占x）。再结合矩形面积=长×宽，即可列出对应方程。
【解析】
1. 计算原矩形绿地的总面积：原矩形长8m、宽6m，总面积为 $ 8 × 6 \, \mathrm{m}^2 $。
2. 推导花圃面积：由题意，四周绿地面积与花圃面积相等，因此花圃面积为总面积的一半，即 $ \frac{1}{2} × 8 × 6 \, \mathrm{m}^2 $。
3. 表示花圃的长和宽：设绿地宽为x m，花圃的长为原长减去左右两侧的绿地宽度，即 $ (8-2x) \, \mathrm{m} $；花圃的宽为原宽减去上下两侧的绿地宽度，即 $ (6-2x) \, \mathrm{m} $。
4. 列方程：根据矩形面积公式，花圃面积=长×宽，代入得 $ (8-2x)(6-2x)=\frac{1}{2} × 8 × 6 $。
【答案】
$(8-2x)(6-2x)=\dfrac{1}{2}×8×6$
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，解题的关键是正确理解“四周绿地等宽”的含义，避免出现只减去1倍x的错误，同时准确提炼题目中的等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要找准等量关系：① 花圃面积等于原矩形绿地总面积的一半，因为四周绿地面积和花圃面积相等，二者相加为总面积，所以各占一半；② 花圃的长和宽可由原矩形的长、宽减去2倍的绿地宽度得到（因为四周都有等宽的绿地，左右各占x，上下各占x）。再结合矩形面积=长×宽，即可列出对应方程。
【解析】
1. 计算原矩形绿地的总面积：原矩形长8m、宽6m，总面积为 $ 8 × 6 \, \mathrm{m}^2 $。
2. 推导花圃面积：由题意，四周绿地面积与花圃面积相等，因此花圃面积为总面积的一半，即 $ \frac{1}{2} × 8 × 6 \, \mathrm{m}^2 $。
3. 表示花圃的长和宽：设绿地宽为x m，花圃的长为原长减去左右两侧的绿地宽度，即 $ (8-2x) \, \mathrm{m} $；花圃的宽为原宽减去上下两侧的绿地宽度，即 $ (6-2x) \, \mathrm{m} $。
4. 列方程：根据矩形面积公式，花圃面积=长×宽，代入得 $ (8-2x)(6-2x)=\frac{1}{2} × 8 × 6 $。
【答案】
$(8-2x)(6-2x)=\dfrac{1}{2}×8×6$
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，解题的关键是正确理解“四周绿地等宽”的含义，避免出现只减去1倍x的错误，同时准确提炼题目中的等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
