8. 如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOC,OF平分∠COD.若OB将∠DOE分成两部分,其中∠EOB:∠BOD =3:2,求∠AOF的度数.

8.45°

【分析】
解题时先根据角平分线的性质得到相等的角，再结合已知的角度比例关系设参数，利用平角为180°的性质列方程求出参数值，再结合对顶角相等、角平分线的性质逐步推导∠AOF的度数。具体思路：1. 由OE平分∠BOC得∠COE=∠EOB，结合∠EOB:∠BOD=3:2设未知参数；2. 三个角∠COE、∠EOB、∠BOD组成平角∠COD，列方程求参数，得到∠BOD的度数；3. 由对顶角相等得∠AOC=∠BOD；4. 由OF平分平角∠COD得∠COF=90°，用∠COF减去∠AOC即可求出∠AOF。
【解析】
解：设∠EOB=3x，则∠BOD=2x，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE=∠EOB=3x，
∵ ∠COE+∠EOB+∠BOD=∠COD=180°，
∴ 3x+3x+2x=180°，
解得x=22.5°，
∴ ∠BOD=2x=45°，
∵ 直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴ ∠AOC=∠BOD=45°，
∵ OF平分∠COD，∠COD=180°，
∴ ∠COF=$\frac{1}{2}$∠COD=90°，
∴ ∠AOF=∠COF - ∠AOC=90° - 45°=45°。
【答案】
45°
【知识点】
角平分线的定义，对顶角的性质，平角的定义
【点评】
本题是角的计算的常规题型，解题关键是理清图中各角的位置和数量关系，通过设参数的方法将角度比例转化为方程求解，能有效降低解题难度，需要熟练掌握角平分线、对顶角、平角的相关性质。
【难度系数】
0.7

9. 已知A,B,C,D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点，点D是线段AB上一点。
(1) 如图①，若AB = 32，BD = $\frac{3}{4}$BC，求线段AD的长；
(2) 如图②，点E是线段AB上一点，若AD = 3BD，AE:BE = 3:7，试判断CD与CE的数量关系。

9.(1)20 (2)4CD = 5CE

【分析】
(1) 求解第一问时，先利用线段中点的性质求出BC的长度，再结合BD与BC的数量关系计算BD的长，最后根据AD=AB-BD即可算出AD的长度。
(2) 求解第二问时，可先设AB的长度为参数，分别根据AD与BD的比例、AE与BE的比例求出AD、AE的长度，再结合中点C得到AC的长度，通过线段和差分别表示出CD和CE的长度，最后推导二者的数量关系即可。
【解析】
(1)
∵点C是线段AB的中点，AB=32
∴$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×32=16$
∵$BD=\frac{3}{4}BC$
∴$BD=\frac{3}{4}×16=12$
∴$AD=AB-BD=32-12=20$
(2) 设线段AB的长度为$10a$（$a＞0$）
∵点C是线段AB的中点
∴$AC=\frac{1}{2}AB=5a$
∵$AD=3BD$，$AD+BD=AB$
∴$AD=\frac{3}{4}AB=\frac{3}{4}×10a=7.5a$
∴$CD=AD-AC=7.5a-5a=2.5a$
∵$AE:BE=3:7$，$AE+BE=AB$
∴$AE=\frac{3}{3+7}AB=\frac{3}{10}×10a=3a$
∴$CE=AC-AE=5a-3a=2a$
∴$CD:CE=2.5a:2a=5:4$，即$4CD=5CE$
【答案】
(1) $\boxed{20}$；(2) $\boxed{4CD=5CE}$
【知识点】
线段中点的性质，线段的和差计算，线段比例计算
【点评】
本题是线段计算的常规题型，解题核心是熟练运用线段中点的性质，结合给出的比例关系表示出各相关线段的长度，再通过线段的和差关系求解未知线段或推导线段间的数量关系，掌握设参数简化比例计算的技巧可以提高解题效率。
【难度系数】
0.7

10. 如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线.

（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC = 60°时，∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB = α，∠BOC = 60°时，猜想∠MON与α的数量关系；
（3）如图3，当∠AOB = α，∠BOC = β时，猜想：∠MON与α,β有数量关系吗？如果有，写出结论并说明理由.

10.(1)$∠ MON=45°$ (2)$∠ MON=\frac{1}{2}α$ (3)$∠ MON=\frac{1}{2}α$,与$β$的大小无关. 理由:因为$∠ AOB=α$,$∠ BOC=β$,所以$∠ AOC=α+β$. 因为OM是$∠ AOC$的平分线,ON是$∠ BOC$的平分线,所以$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(α+β)$,$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}β$. 所以$∠ AON=∠ AOC-∠ NOC=α+β-\frac{1}{2}β=α+\frac{1}{2}β$. 所以$∠ MON=∠ AON-∠ AOM=α+\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}(α+β)=\frac{1}{2}α$. 即$∠ MON=\frac{1}{2}α$.

【分析】
本题的解题核心是利用角平分线的定义，结合角的和差关系逐步推导：
(1) 第一问为特殊值情形，先根据已知角度求出∠AOC的度数，再通过角平分线分别求出∠MOC和∠NOC的度数，作差即可得到∠MON的度数；
(2) 第二问将∠AOB替换为变量α，沿用第一问的推导逻辑，把数值替换为α即可得到∠MON与α的数量关系；
(3) 第三问新增变量β，先表示出∠AOC，再通过角平分线表示出相关角的度数，经角的和差化简后就能得出∠MON与α、β的关系。
【解析】
(1) 已知∠AOB是直角，即∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°，
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×150°=75°，
∵ON是∠BOC的平分线，
∴∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=75°-30°=45°。
(2) 已知∠AOB=α，∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+60°，
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(α+60°)=$\frac{1}{2}$α+30°，
∵ON是∠BOC的平分线，
∴∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}$α+30°-30°=$\frac{1}{2}$α。
(3) ∠MON=$\frac{1}{2}$α，与β的大小无关，理由如下：
∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(α+β)，
∵ON是∠BOC的平分线，
∴∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$β，
∴∠AON=∠AOC-∠NOC=α+β-$\frac{1}{2}$β=α+$\frac{1}{2}$β，
∴∠MON=∠AON-∠AOM=α+$\frac{1}{2}$β - $\frac{1}{2}$(α+β)=$\frac{1}{2}$α，
即∠MON=$\frac{1}{2}$α，和β无关。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠MON=45°}$
(2) $\boldsymbol{∠MON=\frac{1}{2}α}$
(3) $\boldsymbol{∠MON=\frac{1}{2}α}$，与β的大小无关。
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题从特殊角度到一般角度逐步推导，考查角平分线的性质和角的和差运算，推导过程中要理清各个角之间的数量关系，化简后可得到固定规律，不会受额外变量的干扰。
【难度系数】
0.7