登录
12. (1)$\sqrt{36}$的算术平方根是
(2)$\sqrt{81}$的算术平方根是
$\sqrt{6}$
。(2)$\sqrt{81}$的算术平方根是
3
。答案
12.(1)$\sqrt{6}$ (2)3
解析
【分析】
解决这类问题要分两步思考：第一步先化简题目中给出的带根号的式子，求出它的结果；第二步再对得到的结果求算术平方根，注意算术平方根一定是非负的，切忌直接对原被开方数求算术平方根，避免跳步出错。
【解析】
(1) 先计算$\sqrt{36}$的值：$\sqrt{36}=6$，
再求6的算术平方根：因为正数的算术平方根是正数，所以6的算术平方根为$\sqrt{6}$。
(2) 先计算$\sqrt{81}$的值：$\sqrt{81}=9$，
再求9的算术平方根：因为$3^2=9$，所以9的算术平方根为3。
【答案】
(1)$\sqrt{6}$；(2)3
【知识点】
算术平方根的定义、二次根式化简
【点评】
本题是算术平方根的常见易错题，核心易错点是容易跳步，直接对36、81求算术平方根，解题时要注意先化简原式，再按算术平方根的定义求解。
【难度系数】
0.6
解决这类问题要分两步思考：第一步先化简题目中给出的带根号的式子，求出它的结果；第二步再对得到的结果求算术平方根，注意算术平方根一定是非负的，切忌直接对原被开方数求算术平方根，避免跳步出错。
【解析】
(1) 先计算$\sqrt{36}$的值：$\sqrt{36}=6$，
再求6的算术平方根：因为正数的算术平方根是正数，所以6的算术平方根为$\sqrt{6}$。
(2) 先计算$\sqrt{81}$的值：$\sqrt{81}=9$，
再求9的算术平方根：因为$3^2=9$，所以9的算术平方根为3。
【答案】
(1)$\sqrt{6}$；(2)3
【知识点】
算术平方根的定义、二次根式化简
【点评】
本题是算术平方根的常见易错题，核心易错点是容易跳步，直接对36、81求算术平方根，解题时要注意先化简原式，再按算术平方根的定义求解。
【难度系数】
0.6
13.计算：$\sqrt{1\frac{9}{16}}=$
$\frac{5}{4}$
.答案
13.$\frac{5}{4}$
解析
【分析】
要计算带分数的算术平方根，首先需要先把带分数转化为假分数，再根据算术平方根的定义（若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么x叫做a的算术平方根）求解即可。解题时需注意算术平方根的结果为非负数，不要直接拆分带分数分别开方，避免计算错误。
【解析】
第一步：将带分数化为假分数
$1\frac{9}{16}=\frac{1×16 + 9}{16}=\frac{25}{16}$
第二步：计算算术平方根
因为$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，且算术平方根为非负数，所以$\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
算术平方根的计算；带分数化假分数
【点评】
本题属于基础运算题，主要考察算术平方根的基本运算规则，易错点是未将带分数化为假分数就直接拆分开方，只要掌握基本运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
要计算带分数的算术平方根，首先需要先把带分数转化为假分数，再根据算术平方根的定义（若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么x叫做a的算术平方根）求解即可。解题时需注意算术平方根的结果为非负数，不要直接拆分带分数分别开方，避免计算错误。
【解析】
第一步：将带分数化为假分数
$1\frac{9}{16}=\frac{1×16 + 9}{16}=\frac{25}{16}$
第二步：计算算术平方根
因为$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，且算术平方根为非负数，所以$\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
算术平方根的计算；带分数化假分数
【点评】
本题属于基础运算题，主要考察算术平方根的基本运算规则，易错点是未将带分数化为假分数就直接拆分开方，只要掌握基本运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
14.若$\sqrt{a^2}=3$，则$a$的值为（
A.3
B.$\pm3$
C.$\pm\sqrt{3}$
D.$-3$
B
）A.3
B.$\pm3$
C.$\pm\sqrt{3}$
D.$-3$
答案
14.B
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的基本性质，看到$\sqrt{a^2}$首先要想到它等价于$|a|$，将根式形式转化为我们熟悉的绝对值方程后，再根据绝对值的定义求解：绝对值等于一个正数的数有两个，分别是这个正数和它的相反数，即可得到a的取值。
【解析】
根据二次根式的性质可知：$\sqrt{a^2}=|a|$
已知$\sqrt{a^2}=3$，代入可得：$|a|=3$
根据绝对值的定义，绝对值为3的数有2个，分别是$3$和$-3$，因此$a=\pm3$。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点是忽略$\sqrt{a^2}$化简后为绝对值，只考虑a为正数的情况，漏选负数解，掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式的基本性质，看到$\sqrt{a^2}$首先要想到它等价于$|a|$，将根式形式转化为我们熟悉的绝对值方程后，再根据绝对值的定义求解：绝对值等于一个正数的数有两个，分别是这个正数和它的相反数，即可得到a的取值。
【解析】
根据二次根式的性质可知：$\sqrt{a^2}=|a|$
已知$\sqrt{a^2}=3$，代入可得：$|a|=3$
根据绝对值的定义，绝对值为3的数有2个，分别是$3$和$-3$，因此$a=\pm3$。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点是忽略$\sqrt{a^2}$化简后为绝对值，只考虑a为正数的情况，漏选负数解，掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
15.(教材P40习题T24变式)若一个正方形的面积扩大为原来的3倍,则它的边长要扩大为原来的倍 (
A.3
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.9
B
)A.3
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.9
答案
15.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆正方形面积和边长的关系：正方形面积等于边长的平方。我们可以先设出原正方形的边长，据此表示出原面积，再求出扩大3倍后的新面积，结合算术平方根的定义算出新边长，最后用新边长除以原边长就能得到边长扩大的倍数，整个推导过程逻辑清晰，不容易出错。
【解析】
设原正方形的边长为$a$，根据正方形面积公式可得：
原正方形面积$S_{原}=a^2$
面积扩大为原来的3倍后，新正方形的面积$S_{新}=3S_{原}=3a^2$
由于正方形的边长为正数，是其面积的算术平方根，因此新正方形的边长为：
$a_{新}=\sqrt{S_{新}}=\sqrt{3a^2}=\sqrt{3}a$
则边长扩大的倍数为：$\frac{a_{新}}{a}=\frac{\sqrt{3}a}{a}=\sqrt{3}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积计算、算术平方根的应用
【点评】
本题属于算术平方根的基础应用题型，解题关键是明确正方形面积与边长的平方对应关系，结合算术平方根的定义推导即可，只要掌握基础概念就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆正方形面积和边长的关系：正方形面积等于边长的平方。我们可以先设出原正方形的边长，据此表示出原面积，再求出扩大3倍后的新面积，结合算术平方根的定义算出新边长，最后用新边长除以原边长就能得到边长扩大的倍数，整个推导过程逻辑清晰，不容易出错。
【解析】
设原正方形的边长为$a$，根据正方形面积公式可得：
原正方形面积$S_{原}=a^2$
面积扩大为原来的3倍后，新正方形的面积$S_{新}=3S_{原}=3a^2$
由于正方形的边长为正数，是其面积的算术平方根，因此新正方形的边长为：
$a_{新}=\sqrt{S_{新}}=\sqrt{3a^2}=\sqrt{3}a$
则边长扩大的倍数为：$\frac{a_{新}}{a}=\frac{\sqrt{3}a}{a}=\sqrt{3}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积计算、算术平方根的应用
【点评】
本题属于算术平方根的基础应用题型，解题关键是明确正方形面积与边长的平方对应关系，结合算术平方根的定义推导即可，只要掌握基础概念就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
16. 如图，这是一个数值转换器，当输入x的值为9时，输出y的值是 （
A.$3$
B.$-\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$-3$
C
）A.$3$
B.$-\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$-3$
答案
16.C
解析
【分析】
首先明确数值转换器的运算规则：输入x后先取它的算术平方根，若结果是无理数就直接输出；若结果是有理数，就把这个结果作为新的x重新输入计算，直到得到无理数再输出。解题时我们按照这个规则逐步代入x=9计算即可，每一步都要判断结果是否为有理数，确认是否需要循环计算。
【解析】
解：当输入x=9时：
1. 第一次计算算术平方根：$\sqrt{9}=3$，3属于有理数，不符合输出条件，需将3作为新的输入值再次计算；
2. 第二次计算算术平方根：$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$属于无理数，符合输出条件，因此$y=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根；无理数的识别
【点评】
本题将基础概念和流程图结合考查，难度不高，易错点是容易只计算一次就直接输出3，解题时要严格按照流程规则判断，确认是否需要循环运算后再确定最终输出值。
【难度系数】
0.7
首先明确数值转换器的运算规则：输入x后先取它的算术平方根，若结果是无理数就直接输出；若结果是有理数，就把这个结果作为新的x重新输入计算，直到得到无理数再输出。解题时我们按照这个规则逐步代入x=9计算即可，每一步都要判断结果是否为有理数，确认是否需要循环计算。
【解析】
解：当输入x=9时：
1. 第一次计算算术平方根：$\sqrt{9}=3$，3属于有理数，不符合输出条件，需将3作为新的输入值再次计算；
2. 第二次计算算术平方根：$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$属于无理数，符合输出条件，因此$y=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根；无理数的识别
【点评】
本题将基础概念和流程图结合考查，难度不高，易错点是容易只计算一次就直接输出3，解题时要严格按照流程规则判断，确认是否需要循环运算后再确定最终输出值。
【难度系数】
0.7
17.若$|a|=5$，$\sqrt{b}=3$，$ab＜0$，则$a+b=$
4
。答案
17.4
解析
【分析】
解题时按三步推导即可：第一步根据绝对值的性质求出a的所有可能取值；第二步根据算术平方根的定义确定b的唯一取值；第三步结合ab＜0的符号限制，筛选出符合条件的a的值，最后将a、b的值代入a+b计算就能得到结果。
【解析】
解：①由|a|=5，根据绝对值的性质可得：$a=5$或$a=-5$；
②由$\sqrt{b}=3$，根据算术平方根的定义，等式两边同时平方得$b=3^2=9$；
③已知$ab＜0$，说明a、b异号，因为$b=9＞0$，所以a必须为负数，因此$a=-5$；
④代入计算得：$a+b=-5+9=4$。
【答案】
4
【知识点】
绝对值的性质、算术平方根的定义、有理数符号判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点是容易忽略$ab＜0$的符号限制，误将a取为5得到错误结果，解题时要注意结合所有限定条件筛选符合要求的未知数取值。
【难度系数】
0.8
解题时按三步推导即可：第一步根据绝对值的性质求出a的所有可能取值；第二步根据算术平方根的定义确定b的唯一取值；第三步结合ab＜0的符号限制，筛选出符合条件的a的值，最后将a、b的值代入a+b计算就能得到结果。
【解析】
解：①由|a|=5，根据绝对值的性质可得：$a=5$或$a=-5$；
②由$\sqrt{b}=3$，根据算术平方根的定义，等式两边同时平方得$b=3^2=9$；
③已知$ab＜0$，说明a、b异号，因为$b=9＞0$，所以a必须为负数，因此$a=-5$；
④代入计算得：$a+b=-5+9=4$。
【答案】
4
【知识点】
绝对值的性质、算术平方根的定义、有理数符号判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点是容易忽略$ab＜0$的符号限制，误将a取为5得到错误结果，解题时要注意结合所有限定条件筛选符合要求的未知数取值。
【难度系数】
0.8
18.如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，再用剪下来的阴影部分继续剪拼成一个正方形，那么新正方形的边长是
$\sqrt{5}$
。答案
18.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
解决本题的核心是剪拼前后图形的总面积保持不变，因此新正方形的面积与原阴影部分面积相等。解题步骤如下：第一步先拆分阴影部分为规则的基本图形，计算出阴影部分的总面积；第二步根据正方形面积公式，对面积求算术平方根，即可得到新正方形的边长。
【解析】
首先计算阴影部分的面积：
阴影可分为两部分：①上方是边长为1的正方形，面积为 $ S_1 = 1 × 1 = 1 $；
②下方是上底为1、下底为3、高为2的梯形，根据梯形面积公式 $ S=\frac{(上底+下底)×高}{2} $，得下方梯形面积 $ S_2 = \frac{(1+3)×2}{2} = 4 $；
因此阴影部分总面积 $ S = S_1 + S_2 = 1 + 4 = 5 $。
设新正方形的边长为 $ a $（$ a＞0 $），由正方形面积公式 $ S=a^2 $，可得 $ a^2=5 $，因此 $ a = \sqrt{5} $。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
剪拼面积不变性；梯形面积计算；算术平方根的应用
【点评】
本题侧重考察图形剪拼的特点和基础面积公式的应用，解题的关键是抓住剪拼前后面积不变的规律，再结合算术平方根的意义求解，难度不高，属于对基础知识点的综合考察。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是剪拼前后图形的总面积保持不变，因此新正方形的面积与原阴影部分面积相等。解题步骤如下：第一步先拆分阴影部分为规则的基本图形，计算出阴影部分的总面积；第二步根据正方形面积公式，对面积求算术平方根，即可得到新正方形的边长。
【解析】
首先计算阴影部分的面积：
阴影可分为两部分：①上方是边长为1的正方形，面积为 $ S_1 = 1 × 1 = 1 $；
②下方是上底为1、下底为3、高为2的梯形，根据梯形面积公式 $ S=\frac{(上底+下底)×高}{2} $，得下方梯形面积 $ S_2 = \frac{(1+3)×2}{2} = 4 $；
因此阴影部分总面积 $ S = S_1 + S_2 = 1 + 4 = 5 $。
设新正方形的边长为 $ a $（$ a＞0 $），由正方形面积公式 $ S=a^2 $，可得 $ a^2=5 $，因此 $ a = \sqrt{5} $。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
剪拼面积不变性；梯形面积计算；算术平方根的应用
【点评】
本题侧重考察图形剪拼的特点和基础面积公式的应用，解题的关键是抓住剪拼前后面积不变的规律，再结合算术平方根的意义求解，难度不高，属于对基础知识点的综合考察。
【难度系数】
0.7
19.如图，$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，点$P$从点$B$出发，沿$BA$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$运动，同时点$Q$从点$B$出发，沿$BC$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动。几秒后，$△ PBQ$的面积为$9\ \mathrm{cm}^2$？
答案
19.解:设$t$ s后,$△ PBQ$的面积为9 $\mathrm{cm}^2$,此时$BP=t$ cm,$BQ=2t$ cm. 根据题意,得$\frac{1}{2}· t· 2t=9$. 整理,得$t^2=9$,$\therefore t=\sqrt{9}=3$. 当$t=3$时,$t=3＜5$,$2t=2× 3=6$,符合题意. 答:3 s后,$△ PBQ$的面积为9 $\mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
这是一道结合动点的实际应用问题，解题思路如下：第一步先设运动时间为t秒，根据点P、Q的运动速度，分别表示出Rt△PBQ的两条直角边BP、BQ的长度；第二步利用直角三角形的面积公式，结合题目给出的面积条件列出方程；第三步求解方程，因为时间t为正数，所以取算术平方根得到t的解；最后要验证解是否符合实际运动的取值范围，确保点P、Q没有超出线段AB、BC的范围。
【解析】
解：设$t$ s后，$△ PBQ$的面积为$9\ \mathrm{cm}^2$，此时$BP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$。
∵$∠B=90°$，$△PBQ$为直角三角形，根据直角三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} · BP · BQ = 9$
将BP、BQ的表达式代入得：
$\frac{1}{2}· t· 2t=9$
整理得$t^2=9$，由于运动时间t为正数，因此取算术平方根得：
$t=\sqrt{9}=3$
检验：当$t=3$时，$BP=3\mathrm{cm}＜5\mathrm{cm}$（点P未超出AB），$2t=2× 3=6\mathrm{cm}$（点Q刚好到达C点），符合运动实际。
答：3 s后，$△ PBQ$的面积为$9\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
3 s
【知识点】
直角三角形面积计算，算术平方根计算，列方程解应用题
【点评】
本题结合动点场景考查基础的公式应用与计算，难度较低，解题的关键是正确用含t的式子表示出直角边长度，同时要注意对计算结果进行实际意义的验证，避免得到不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
这是一道结合动点的实际应用问题，解题思路如下：第一步先设运动时间为t秒，根据点P、Q的运动速度，分别表示出Rt△PBQ的两条直角边BP、BQ的长度；第二步利用直角三角形的面积公式，结合题目给出的面积条件列出方程；第三步求解方程，因为时间t为正数，所以取算术平方根得到t的解；最后要验证解是否符合实际运动的取值范围，确保点P、Q没有超出线段AB、BC的范围。
【解析】
解：设$t$ s后，$△ PBQ$的面积为$9\ \mathrm{cm}^2$，此时$BP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$。
∵$∠B=90°$，$△PBQ$为直角三角形，根据直角三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} · BP · BQ = 9$
将BP、BQ的表达式代入得：
$\frac{1}{2}· t· 2t=9$
整理得$t^2=9$，由于运动时间t为正数，因此取算术平方根得：
$t=\sqrt{9}=3$
检验：当$t=3$时，$BP=3\mathrm{cm}＜5\mathrm{cm}$（点P未超出AB），$2t=2× 3=6\mathrm{cm}$（点Q刚好到达C点），符合运动实际。
答：3 s后，$△ PBQ$的面积为$9\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
3 s
【知识点】
直角三角形面积计算，算术平方根计算，列方程解应用题
【点评】
本题结合动点场景考查基础的公式应用与计算，难度较低，解题的关键是正确用含t的式子表示出直角边长度，同时要注意对计算结果进行实际意义的验证，避免得到不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
20. 新考向·新定义问题 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”。例如：－9，－4，－1这三个数，$\sqrt{(-9) × (-4)} = 6$，$\sqrt{(-9) × (-1)} = 3$，$\sqrt{(-4) × (-1)} = 2$，其结果6，3，2都是整数，所以－9，－4，－1这三个数是“完美组合数”。
(1)－25，－4，－1这三个数是“完人 组合数”吗？请说明理由。
(2)若－80，a，－5是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求a的值。
(1)－25，－4，－1这三个数是“完
(2)若－80，a，－5是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求a的值。
答案
20.解:(1)是“完美组合数”.理由如下:$\because \sqrt{(-25)×(-4)}=10$,$\sqrt{(-25)×(-1)}=5$,$\sqrt{(-4)×(-1)}=2$,且10,5,2都是整数,$\therefore -25,-4,-1$这三个数是“完美组合数”.
(2)分两种情况讨论:①当$\sqrt{(-80)· a}=10$时,$-80a=100$,解得$a=-\frac{5}{4}$,不符合题意,舍去;②当$\sqrt{(-5)· a}=10$时,$-5a=100$,解得$a=-20$. 此时$\sqrt{(-20)×(-80)}=40$,$\sqrt{(-5)×(-80)}=20$,且10,40,20都是整数,$\therefore -80,-20,-5$是“完美组合数”,符合题意.综上所述,$a$的值为$-20$.
(2)分两种情况讨论:①当$\sqrt{(-80)· a}=10$时,$-80a=100$,解得$a=-\frac{5}{4}$,不符合题意,舍去;②当$\sqrt{(-5)· a}=10$时,$-5a=100$,解得$a=-20$. 此时$\sqrt{(-20)×(-80)}=40$,$\sqrt{(-5)×(-80)}=20$,且10,40,20都是整数,$\therefore -80,-20,-5$是“完美组合数”,符合题意.综上所述,$a$的值为$-20$.
解析
【分析】
(1) 判定三个数是否为“完美组合数”，需紧扣新定义规则：首先三个数是互不相等的负整数，其次两两乘积的算术平方根均为整数。只需分别计算三个数两两乘积的算术平方根，验证结果是否全为整数即可。
(2) 先计算已知数-80和-5乘积的算术平方根，得到结果为20≠10，因此算术平方根为10的两个数只能是a与-80、或a与-5，分两类列方程求解，再结合a是负整数、且三个数满足“完美组合数”规则检验结果是否符合题意即可。
【解析】
(1) －25，－4，－1是“完美组合数”，理由如下：
分别计算两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-25)×(-4)}=\sqrt{100}=10$，
$\sqrt{(-25)×(-1)}=\sqrt{25}=5$，
$\sqrt{(-4)×(-1)}=\sqrt{4}=2$，
10、5、2均为整数，且三个数是互不相等的负整数，符合“完美组合数”定义，因此这三个数是“完美组合数”。
(2) 先计算已知两数的乘积算术平方根：$\sqrt{(-80)×(-5)}=\sqrt{400}=20≠10$，因此分两种情况讨论：
① 当$\sqrt{(-80)·a}=10$时，两边平方得$-80a=100$，解得$a=-\frac{5}{4}$，不是负整数，不符合题意，舍去；
② 当$\sqrt{(-5)·a}=10$时，两边平方得$-5a=100$，解得$a=-20$。
检验：此时三个数为-80、-20、-5，均为互不相等的负整数，且$\sqrt{(-20)×(-80)}=40$，$\sqrt{(-5)×(-80)}=20$，所有两两乘积的算术平方根都是整数，符合“完美组合数”要求。
综上，a的值为-20。
【答案】
(1) 是“完美组合数”，理由见解析；(2) $\boldsymbol{-20}$
【知识点】
1. 算术平方根计算
2. 新定义问题求解
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是新定义类基础题型，解题核心是先准确理解新定义的判定规则，再结合算术平方根的性质运算，第二问需要覆盖所有可能的情况分类讨论，最后要检验结果是否符合题意，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
(1) 判定三个数是否为“完美组合数”，需紧扣新定义规则：首先三个数是互不相等的负整数，其次两两乘积的算术平方根均为整数。只需分别计算三个数两两乘积的算术平方根，验证结果是否全为整数即可。
(2) 先计算已知数-80和-5乘积的算术平方根，得到结果为20≠10，因此算术平方根为10的两个数只能是a与-80、或a与-5，分两类列方程求解，再结合a是负整数、且三个数满足“完美组合数”规则检验结果是否符合题意即可。
【解析】
(1) －25，－4，－1是“完美组合数”，理由如下：
分别计算两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-25)×(-4)}=\sqrt{100}=10$，
$\sqrt{(-25)×(-1)}=\sqrt{25}=5$，
$\sqrt{(-4)×(-1)}=\sqrt{4}=2$，
10、5、2均为整数，且三个数是互不相等的负整数，符合“完美组合数”定义，因此这三个数是“完美组合数”。
(2) 先计算已知两数的乘积算术平方根：$\sqrt{(-80)×(-5)}=\sqrt{400}=20≠10$，因此分两种情况讨论：
① 当$\sqrt{(-80)·a}=10$时，两边平方得$-80a=100$，解得$a=-\frac{5}{4}$，不是负整数，不符合题意，舍去；
② 当$\sqrt{(-5)·a}=10$时，两边平方得$-5a=100$，解得$a=-20$。
检验：此时三个数为-80、-20、-5，均为互不相等的负整数，且$\sqrt{(-20)×(-80)}=40$，$\sqrt{(-5)×(-80)}=20$，所有两两乘积的算术平方根都是整数，符合“完美组合数”要求。
综上，a的值为-20。
【答案】
(1) 是“完美组合数”，理由见解析；(2) $\boldsymbol{-20}$
【知识点】
1. 算术平方根计算
2. 新定义问题求解
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是新定义类基础题型，解题核心是先准确理解新定义的判定规则，再结合算术平方根的性质运算，第二问需要覆盖所有可能的情况分类讨论，最后要检验结果是否符合题意，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
