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1. “$\frac{9}{25}$的平方根是$\pm\frac{3}{5}$”的数学表达式是（
A.$\pm\sqrt{\frac{9}{25}}=\pm\frac{3}{5}$
B.$\sqrt{\frac{9}{25}}=\pm\frac{3}{5}$
C.$\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$
D.$\pm\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$
A
）A.$\pm\sqrt{\frac{9}{25}}=\pm\frac{3}{5}$
B.$\sqrt{\frac{9}{25}}=\pm\frac{3}{5}$
C.$\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$
D.$\pm\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先要明确平方根和算术平方根的符号表示规则：①$\sqrt{a}$表示的是$a$的算术平方根，结果为非负数；②$\pm\sqrt{a}$表示的是$a$的平方根，正数的平方根有正负两个。题目描述的是“$\frac{9}{25}$的平方根是$\pm\frac{3}{5}$”，因此左边需要用表示平方根的符号$\pm\sqrt{\frac{9}{25}}$，右边为两个结果$\pm\frac{3}{5}$，再逐一对比选项排除错误答案即可。
【解析】
根据平方根的表示规则：正数$a$的平方根记作$\pm\sqrt{a}$，因此$\frac{9}{25}$的平方根可表示为$\pm\sqrt{\frac{9}{25}}$；
计算得$\pm\sqrt{\frac{9}{25}}=\pm\frac{3}{5}$，符合选项A的表达式。
错误选项分析：
B选项：$\sqrt{\frac{9}{25}}$是$\frac{9}{25}$的算术平方根，结果只能是$\frac{3}{5}$，不能等于$\pm\frac{3}{5}$，错误；
C选项：该式表示$\frac{9}{25}$的算术平方根是$\frac{3}{5}$，与题干“平方根”的描述不符，错误；
D选项：左边$\pm\sqrt{\frac{9}{25}}$有$\pm\frac{3}{5}$两个结果，右边仅为$\frac{3}{5}$，等式不成立，错误。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方根的表示
2. 算术平方根的概念
【点评】
本题是平方根章节的基础常考题，核心考查平方根与算术平方根的符号区分，易错点是混淆二者的表示意义，学习时要牢记$\sqrt{a}$仅代表非负的算术平方根，$\pm\sqrt{a}$才代表正负两个平方根。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确平方根和算术平方根的符号表示规则：①$\sqrt{a}$表示的是$a$的算术平方根，结果为非负数；②$\pm\sqrt{a}$表示的是$a$的平方根，正数的平方根有正负两个。题目描述的是“$\frac{9}{25}$的平方根是$\pm\frac{3}{5}$”，因此左边需要用表示平方根的符号$\pm\sqrt{\frac{9}{25}}$，右边为两个结果$\pm\frac{3}{5}$，再逐一对比选项排除错误答案即可。
【解析】
根据平方根的表示规则：正数$a$的平方根记作$\pm\sqrt{a}$，因此$\frac{9}{25}$的平方根可表示为$\pm\sqrt{\frac{9}{25}}$；
计算得$\pm\sqrt{\frac{9}{25}}=\pm\frac{3}{5}$，符合选项A的表达式。
错误选项分析：
B选项：$\sqrt{\frac{9}{25}}$是$\frac{9}{25}$的算术平方根，结果只能是$\frac{3}{5}$，不能等于$\pm\frac{3}{5}$，错误；
C选项：该式表示$\frac{9}{25}$的算术平方根是$\frac{3}{5}$，与题干“平方根”的描述不符，错误；
D选项：左边$\pm\sqrt{\frac{9}{25}}$有$\pm\frac{3}{5}$两个结果，右边仅为$\frac{3}{5}$，等式不成立，错误。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方根的表示
2. 算术平方根的概念
【点评】
本题是平方根章节的基础常考题，核心考查平方根与算术平方根的符号区分，易错点是混淆二者的表示意义，学习时要牢记$\sqrt{a}$仅代表非负的算术平方根，$\pm\sqrt{a}$才代表正负两个平方根。
【难度系数】
0.8
2.(2024·内江)16的平方根是（
A.2
B.-4
C.4
D.±4
D
）A.2
B.-4
C.4
D.±4
答案
2.D
解析
【分析】
拿到这道题首先回忆平方根的相关概念：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根。要注意正数有两个平方根，它们互为相反数，不要和算术平方根（仅指正数的正平方根）搞混。解题时我们只需要找出平方后结果等于16的所有数，就能确定16的平方根，再匹配选项即可。
【解析】
根据平方根的定义，若$x^2=16$，则$x$为16的平方根。
计算可得：$4^2=16$，$(-4)^2=16$，因此满足条件的$x$为$\pm4$，即16的平方根是$\pm4$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对平方根定义的理解，易错点是混淆平方根与算术平方根的概念，只记得正的平方根而误选C，做题时要注意牢记正数的平方根有正负两个。
【难度系数】
0.7
拿到这道题首先回忆平方根的相关概念：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根。要注意正数有两个平方根，它们互为相反数，不要和算术平方根（仅指正数的正平方根）搞混。解题时我们只需要找出平方后结果等于16的所有数，就能确定16的平方根，再匹配选项即可。
【解析】
根据平方根的定义，若$x^2=16$，则$x$为16的平方根。
计算可得：$4^2=16$，$(-4)^2=16$，因此满足条件的$x$为$\pm4$，即16的平方根是$\pm4$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对平方根定义的理解，易错点是混淆平方根与算术平方根的概念，只记得正的平方根而误选C，做题时要注意牢记正数的平方根有正负两个。
【难度系数】
0.7
3. (教材P34随堂练习T3变式)当$a=7,c=25$时，$\sqrt{c^2 - a^2}$的值为
24
。答案
3.24
解析
【分析】
解题时先明确所求式子是c²与a²的差的算术平方根，第一步先将已知的a、c的数值代入代数式；第二步计算被开方数的值，可直接计算平方后相减，也可利用平方差公式简化运算，降低计算难度；第三步根据算术平方根的定义，求出非负的平方根即为最终结果。
【解析】
解：将$a=7$，$c=25$代入$\sqrt{c^2 - a^2}$得：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{25^2 - 7^2}\\&=\sqrt{(25-7)(25+7)}\\&=\sqrt{18×32}\\&=\sqrt{576}\\&=24\end{aligned}$
也可直接计算：$\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$
【答案】
24
【知识点】
代数式求值；算术平方根计算；平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查代数式代入求值和算术平方根的性质，计算被开方数时借助平方差公式可简化运算、减少计算失误，解题时要注意算术平方根的结果为非负数，不要混淆平方根和算术平方根的概念。
【难度系数】
0.9
解题时先明确所求式子是c²与a²的差的算术平方根，第一步先将已知的a、c的数值代入代数式；第二步计算被开方数的值，可直接计算平方后相减，也可利用平方差公式简化运算，降低计算难度；第三步根据算术平方根的定义，求出非负的平方根即为最终结果。
【解析】
解：将$a=7$，$c=25$代入$\sqrt{c^2 - a^2}$得：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{25^2 - 7^2}\\&=\sqrt{(25-7)(25+7)}\\&=\sqrt{18×32}\\&=\sqrt{576}\\&=24\end{aligned}$
也可直接计算：$\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$
【答案】
24
【知识点】
代数式求值；算术平方根计算；平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查代数式代入求值和算术平方根的性质，计算被开方数时借助平方差公式可简化运算、减少计算失误，解题时要注意算术平方根的结果为非负数，不要混淆平方根和算术平方根的概念。
【难度系数】
0.9
4. 求下列各数的平方根：
(1)36.
(2)2.25.
(3)$\frac{49}{16}$.
(4)$10^{-2}$.
(5)12.
(1)36.
(2)2.25.
(3)$\frac{49}{16}$.
(4)$10^{-2}$.
(5)12.
答案
解:(1)±6. (2)±1.5. (3)$\pm\frac{7}{4}$. (4)$\pm\frac{1}{10}$. (5)$\pm\sqrt{12}$.
解析
【分析】
本题考查平方根的求解，解题核心是牢记平方根的定义：若一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根；同时要注意正数有两个互为相反数的平方根，求解时先找到平方后等于该数的数，同时标注正负两个结果，若该数不是完全平方数，结果保留根号形式即可。
【解析】
(1) 因为$(±6)^2=36$，所以36的平方根是$±6$；
(2) 因为$(±1.5)^2=2.25$，所以2.25的平方根是$±1.5$；
(3) 因为$(±\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$，所以$\frac{49}{16}$的平方根是$±\frac{7}{4}$；
(4) 先化简得$10^{-2}=\frac{1}{100}$，因为$(±\frac{1}{10})^2=\frac{1}{100}$，所以$10^{-2}$的平方根是$±\frac{1}{10}$；
(5) 不存在有理数的平方等于12，因此12的平方根为$±\sqrt{12}$。
【答案】
(1)$±6$；(2)$±1.5$；(3)$±\frac{7}{4}$；(4)$±\frac{1}{10}$；(5)$±\sqrt{12}$
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质；开平方运算
【点评】
本题属于基础运算题，求解时需注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免遗漏负根，对于非完全平方数，直接保留根号形式表示其平方根即可。
【难度系数】
0.8
本题考查平方根的求解，解题核心是牢记平方根的定义：若一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根；同时要注意正数有两个互为相反数的平方根，求解时先找到平方后等于该数的数，同时标注正负两个结果，若该数不是完全平方数，结果保留根号形式即可。
【解析】
(1) 因为$(±6)^2=36$，所以36的平方根是$±6$；
(2) 因为$(±1.5)^2=2.25$，所以2.25的平方根是$±1.5$；
(3) 因为$(±\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$，所以$\frac{49}{16}$的平方根是$±\frac{7}{4}$；
(4) 先化简得$10^{-2}=\frac{1}{100}$，因为$(±\frac{1}{10})^2=\frac{1}{100}$，所以$10^{-2}$的平方根是$±\frac{1}{10}$；
(5) 不存在有理数的平方等于12，因此12的平方根为$±\sqrt{12}$。
【答案】
(1)$±6$；(2)$±1.5$；(3)$±\frac{7}{4}$；(4)$±\frac{1}{10}$；(5)$±\sqrt{12}$
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质；开平方运算
【点评】
本题属于基础运算题，求解时需注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免遗漏负根，对于非完全平方数，直接保留根号形式表示其平方根即可。
【难度系数】
0.8
5. (教材P33例4变式)求下列各式的值:
(1)$\sqrt{144}$.
(2)$-\sqrt{2.56}$.
(3)$\sqrt{(-11)^2}$.
(4)$(-\sqrt{6})^2$.
(1)$\sqrt{144}$.
(2)$-\sqrt{2.56}$.
(3)$\sqrt{(-11)^2}$.
(4)$(-\sqrt{6})^2$.
答案
解:(1)原式=12. (2)原式=-1.6. (3)原式=11. (4)原式=6.
解析
【分析】
本题考查算术平方根的定义及二次根式的基本性质，解题思路如下：1. 首先明确算术平方根的核心定义：若正数x满足$x^2=a$（$a≥0$），则x叫做a的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，算术平方根的结果一定是非负数；2. 结合二次根式的常用性质化简：$\sqrt{a^2}=|a|$，$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）；3. 逐个分析小题的运算要求，注意符号处理：带负号的式子是求算术平方根的相反数，含平方运算的可以先算平方或直接用性质化简。
【解析】
(1) 因为$12^2=144$，根据算术平方根的定义，12是144的算术平方根，因此$\sqrt{144}=12$；
(2) 先求2.56的算术平方根：因为$1.6^2=2.56$，所以$\sqrt{2.56}=1.6$，因此$-\sqrt{2.56}=-1.6$；
(3) 方法1：先计算根号内的乘方：$(-11)^2=121$，再求121的算术平方根，$\sqrt{121}=11$，因此$\sqrt{(-11)^2}=11$；
方法2：根据性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-11)^2}=|-11|=11$；
(4) 方法1：根据乘方的意义计算：$(-\sqrt{6})^2=(-\sqrt{6})×(-\sqrt{6})=\sqrt{6}×\sqrt{6}=6$；
方法2：根据性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可得$(-\sqrt{6})^2=(\sqrt{6})^2=6$。
【答案】
(1)$12$；(2)$-1.6$；(3)$11$；(4)$6$
【知识点】
1. 算术平方根的定义；2. 二次根式的性质
【点评】
本题是平方根板块的基础运算题，重点考查对算术平方根非负性的理解和二次根式基本性质的应用，解题时要注意区分求算术平方根、算术平方根的相反数两类运算，化简带平方的二次根式时要保证结果非负，是巩固平方根基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题考查算术平方根的定义及二次根式的基本性质，解题思路如下：1. 首先明确算术平方根的核心定义：若正数x满足$x^2=a$（$a≥0$），则x叫做a的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，算术平方根的结果一定是非负数；2. 结合二次根式的常用性质化简：$\sqrt{a^2}=|a|$，$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）；3. 逐个分析小题的运算要求，注意符号处理：带负号的式子是求算术平方根的相反数，含平方运算的可以先算平方或直接用性质化简。
【解析】
(1) 因为$12^2=144$，根据算术平方根的定义，12是144的算术平方根，因此$\sqrt{144}=12$；
(2) 先求2.56的算术平方根：因为$1.6^2=2.56$，所以$\sqrt{2.56}=1.6$，因此$-\sqrt{2.56}=-1.6$；
(3) 方法1：先计算根号内的乘方：$(-11)^2=121$，再求121的算术平方根，$\sqrt{121}=11$，因此$\sqrt{(-11)^2}=11$；
方法2：根据性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-11)^2}=|-11|=11$；
(4) 方法1：根据乘方的意义计算：$(-\sqrt{6})^2=(-\sqrt{6})×(-\sqrt{6})=\sqrt{6}×\sqrt{6}=6$；
方法2：根据性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可得$(-\sqrt{6})^2=(\sqrt{6})^2=6$。
【答案】
(1)$12$；(2)$-1.6$；(3)$11$；(4)$6$
【知识点】
1. 算术平方根的定义；2. 二次根式的性质
【点评】
本题是平方根板块的基础运算题，重点考查对算术平方根非负性的理解和二次根式基本性质的应用，解题时要注意区分求算术平方根、算术平方根的相反数两类运算，化简带平方的二次根式时要保证结果非负，是巩固平方根基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
6.(1)若一个正数的一个平方根为5，则它的另一个平方根为
(2)若一个正数的两个平方根分别为$a$，$b$，则
$a+b=$
-5
.(2)若一个正数的两个平方根分别为$a$，$b$，则
$a+b=$
0
，$\frac{a}{b}=$-1
.答案
(1)-5 (2)0 -1
解析
【分析】
解题的核心依据是正数平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数。思考步骤如下：1. 第(1)问已知正数的一个平方根是5，另一个平方根就是5的相反数，直接计算即可。2. 第(2)问已知两个平方根为a、b，根据互为相反数的性质，先得到两数之和为0，再将a用含b的式子代换，结合正数的平方根不为0的特点，即可求出两数的比值。
【解析】
(1) 根据正数的两个平方根互为相反数的性质，已知其中一个平方根为5，那么另一个平方根为5的相反数，即$-5$。
(2)
∵ 正数的两个平方根互为相反数，
∴ $a$和$b$互为相反数，
∴ $a + b = 0$，即$a = -b$。
又
∵ 正数的平方根不可能为0，即$b ≠ 0$，
∴ $\frac{a}{b} = \frac{-b}{b} = -1$。
【答案】
(1)$-5$ (2)$0$；$-1$
【知识点】
1. 平方根的性质 2. 相反数的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察正数平方根的性质，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数，计算分式时要注意判断分母不为0，本题中正数的平方根均不为0，因此可以直接计算比值。
【难度系数】
0.85
解题的核心依据是正数平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数。思考步骤如下：1. 第(1)问已知正数的一个平方根是5，另一个平方根就是5的相反数，直接计算即可。2. 第(2)问已知两个平方根为a、b，根据互为相反数的性质，先得到两数之和为0，再将a用含b的式子代换，结合正数的平方根不为0的特点，即可求出两数的比值。
【解析】
(1) 根据正数的两个平方根互为相反数的性质，已知其中一个平方根为5，那么另一个平方根为5的相反数，即$-5$。
(2)
∵ 正数的两个平方根互为相反数，
∴ $a$和$b$互为相反数，
∴ $a + b = 0$，即$a = -b$。
又
∵ 正数的平方根不可能为0，即$b ≠ 0$，
∴ $\frac{a}{b} = \frac{-b}{b} = -1$。
【答案】
(1)$-5$ (2)$0$；$-1$
【知识点】
1. 平方根的性质 2. 相反数的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察正数平方根的性质，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数，计算分式时要注意判断分母不为0，本题中正数的平方根均不为0，因此可以直接计算比值。
【难度系数】
0.85
7. 下列说法正确的是（
A.任何非负数都有两个平方根
B.一个正数的平方根仍然是正数
C.只有正数才有平方根
D.负数没有平方根
D
）A.任何非负数都有两个平方根
B.一个正数的平方根仍然是正数
C.只有正数才有平方根
D.负数没有平方根
答案
7.D
解析
【分析】
本题考查平方根的性质，解题时先回忆平方根的相关定义与核心性质，再逐一比对每个选项的描述是否符合性质即可。首先明确核心结论：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，结合这个结论逐个排查选项就能得到正确答案。
【解析】
根据平方根的性质逐一分析选项：
选项A：非负数包含0，0的平方根只有1个，是它本身0，因此“任何非负数都有两个平方根”的说法错误。
选项B：正数的平方根有两个，且这两个平方根互为相反数，即一正一负，因此“一个正数的平方根仍然是正数”的说法错误。
选项C：0不属于正数，但0也有平方根（0的平方根是0），因此“只有正数才有平方根”的说法错误。
选项D：因为任何实数的平方都是非负数，不可能是负数，因此负数没有平方根，该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易忽略0这个特殊的非负数，只要牢记平方根的相关性质，注意特殊值0的情况，就能快速做出正确判断。
【难度系数】
0.9
本题考查平方根的性质，解题时先回忆平方根的相关定义与核心性质，再逐一比对每个选项的描述是否符合性质即可。首先明确核心结论：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，结合这个结论逐个排查选项就能得到正确答案。
【解析】
根据平方根的性质逐一分析选项：
选项A：非负数包含0，0的平方根只有1个，是它本身0，因此“任何非负数都有两个平方根”的说法错误。
选项B：正数的平方根有两个，且这两个平方根互为相反数，即一正一负，因此“一个正数的平方根仍然是正数”的说法错误。
选项C：0不属于正数，但0也有平方根（0的平方根是0），因此“只有正数才有平方根”的说法错误。
选项D：因为任何实数的平方都是非负数，不可能是负数，因此负数没有平方根，该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易忽略0这个特殊的非负数，只要牢记平方根的相关性质，注意特殊值0的情况，就能快速做出正确判断。
【难度系数】
0.9
8. 下列各数中，没有平方根的是 （
A.2
B.$(-2)^2$
C.$-2^2$
D.$2^3$
C
）A.2
B.$(-2)^2$
C.$-2^2$
D.$2^3$
答案
8.C
解析
【分析】
解题的核心依据是平方根的性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。因此我们只需要先计算出四个选项对应的数值，再判断哪个是负数，该选项即为正确答案。计算乘方时要注意区分带括号的乘方和不带括号的乘方的运算顺序：有括号先算括号里的，没有括号时先算乘方再算符号。
【解析】
根据平方根的性质：负数没有平方根，我们逐一计算各选项的值：
A. 2是正数，存在平方根，不符合题意；
B. $(-2)^2 = 4$，4是正数，存在平方根，不符合题意；
C. $-2^2 = -4$，-4是负数，不存在平方根，符合题意；
D. $2^3 = 8$，8是正数，存在平方根，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的性质；有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平方根性质的应用，易错点是计算$-2^2$时容易混淆运算顺序，误算为4，解题时要注意区分带括号和不带括号的乘方运算的差异。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是平方根的性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。因此我们只需要先计算出四个选项对应的数值，再判断哪个是负数，该选项即为正确答案。计算乘方时要注意区分带括号的乘方和不带括号的乘方的运算顺序：有括号先算括号里的，没有括号时先算乘方再算符号。
【解析】
根据平方根的性质：负数没有平方根，我们逐一计算各选项的值：
A. 2是正数，存在平方根，不符合题意；
B. $(-2)^2 = 4$，4是正数，存在平方根，不符合题意；
C. $-2^2 = -4$，-4是负数，不存在平方根，符合题意；
D. $2^3 = 8$，8是正数，存在平方根，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的性质；有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平方根性质的应用，易错点是计算$-2^2$时容易混淆运算顺序，误算为4，解题时要注意区分带括号和不带括号的乘方运算的差异。
【难度系数】
0.7
9.若$x+3$是4的平方根，则$x=$
-1或-5
答案
9.-1或-5
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数。首先求出4的两个平方根，再根据“x+3是4的平方根”列出两个一元一次方程，分别求解即可得到x的所有可能值，注意不要遗漏负的平方根导致少解。
【解析】
解：
∵(±2)²=4，
∴4的平方根是2和-2。
根据题意得：$x+3=2$ 或 $x+3=-2$，
当$x+3=2$时，解得$x=2-3=-1$；
当$x+3=-2$时，解得$x=-2-3=-5$。
∴x的值为-1或-5。
【答案】
-1或-5
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念应用题，易错点是仅考虑正的平方根，忽略正数有两个互为相反数的平方根，从而漏解。做题时要牢记平方根的相关性质，全面考虑所有可能情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平方根的性质：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数。首先求出4的两个平方根，再根据“x+3是4的平方根”列出两个一元一次方程，分别求解即可得到x的所有可能值，注意不要遗漏负的平方根导致少解。
【解析】
解：
∵(±2)²=4，
∴4的平方根是2和-2。
根据题意得：$x+3=2$ 或 $x+3=-2$，
当$x+3=2$时，解得$x=2-3=-1$；
当$x+3=-2$时，解得$x=-2-3=-5$。
∴x的值为-1或-5。
【答案】
-1或-5
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念应用题，易错点是仅考虑正的平方根，忽略正数有两个互为相反数的平方根，从而漏解。做题时要牢记平方根的相关性质，全面考虑所有可能情况。
【难度系数】
0.7
10. 下列说法正确的是 （
A.$\sqrt{0.25}$的平方根是$\pm0.5$
B.任何数的平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数
C.任意一个非负数的平方根都不大于这个数
D.平方根等于本身的数是0
D
）A.$\sqrt{0.25}$的平方根是$\pm0.5$
B.任何数的平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数
C.任意一个非负数的平方根都不大于这个数
D.平方根等于本身的数是0
答案
10.D
解析
【分析】
本题考查平方根的定义与性质，解题时需结合平方根的核心知识点逐一排查四个选项：首先明确平方根的基本性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，再对应各选项描述判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 先计算$\sqrt{0.25}=0.5$，0.5的平方根是$\pm\sqrt{0.5}$，不是$\pm0.5$，故A错误；
B. 任何数的平方都是非负数，但负数没有平方根，且正数的平方根有正、负两个，故B错误；
C. 举反例：0.25的正平方根是0.5，$0.5＞0.25$，说明存在非负数的平方根大于这个数，故C错误；
D. 正数的平方根有两个，不可能等于本身，负数没有平方根，只有0的平方根是0，等于本身，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的概念；平方根的性质
【点评】
本题是平方根相关性质的基础考查题，易错点在于容易混淆算术平方根和平方根的概念，也容易忽略小于1的正数的正平方根大于原数的情况，做题时通过举反例排查错误选项可有效提升正确率。
【难度系数】
0.7
本题考查平方根的定义与性质，解题时需结合平方根的核心知识点逐一排查四个选项：首先明确平方根的基本性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，再对应各选项描述判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 先计算$\sqrt{0.25}=0.5$，0.5的平方根是$\pm\sqrt{0.5}$，不是$\pm0.5$，故A错误；
B. 任何数的平方都是非负数，但负数没有平方根，且正数的平方根有正、负两个，故B错误；
C. 举反例：0.25的正平方根是0.5，$0.5＞0.25$，说明存在非负数的平方根大于这个数，故C错误；
D. 正数的平方根有两个，不可能等于本身，负数没有平方根，只有0的平方根是0，等于本身，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的概念；平方根的性质
【点评】
本题是平方根相关性质的基础考查题，易错点在于容易混淆算术平方根和平方根的概念，也容易忽略小于1的正数的正平方根大于原数的情况，做题时通过举反例排查错误选项可有效提升正确率。
【难度系数】
0.7
11.若$x$的算术平方根是2，则$x+5$的平方根是
±3
。答案
11.±3
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先根据算术平方根的定义，由“x的算术平方根是2”求出x的值；再计算x+5的结果，最后根据平方根的定义求出x+5的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要遗漏负的平方根。
【解析】
解：
∵x的算术平方根是2
∴x = 2² = 4
∴x + 5 = 4 + 5 = 9
∵(±3)² = 9
∴9的平方根是±3，即x+5的平方根是±3。
【答案】
±3
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.平方根的计算
【点评】
本题属于基础题，核心是区分算术平方根和平方根的概念，易错点是容易只写正的平方根，忽略正数的平方根有两个且互为相反数的性质。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先根据算术平方根的定义，由“x的算术平方根是2”求出x的值；再计算x+5的结果，最后根据平方根的定义求出x+5的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要遗漏负的平方根。
【解析】
解：
∵x的算术平方根是2
∴x = 2² = 4
∴x + 5 = 4 + 5 = 9
∵(±3)² = 9
∴9的平方根是±3，即x+5的平方根是±3。
【答案】
±3
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.平方根的计算
【点评】
本题属于基础题，核心是区分算术平方根和平方根的概念，易错点是容易只写正的平方根，忽略正数的平方根有两个且互为相反数的性质。
【难度系数】
0.8
12. 新考向·新定义问题 若我们把平方根为整数的数叫作完全平方数，则在0～100的101个数中，完全平方数共有
11
个。答案
12.11
解析
【分析】
首先明确题目给出的完全平方数定义：平方根为整数的数，即该数可以表示为某个整数的平方。解题思路是找出所有平方后结果落在0~100范围内的整数，统计对应平方数的个数即可，注意不要遗漏0和100两个端点值。
【解析】
解：根据完全平方数的定义，若$x$是0~100之间的完全平方数，则存在非负整数$n$，使得$x=n^2$（互为相反数的两个数平方相等，只需考虑非负整数即可）。
依次计算非负整数的平方：
$0^2=0$，$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$，$6^2=36$，$7^2=49$，$8^2=64$，$9^2=81$，$10^2=100$，均在0~100范围内；
当$n≥11$时，$n^2≥121＞100$，超出取值范围。
综上，符合条件的完全平方数共11个。
【答案】
11
【知识点】
完全平方数的定义；平方根的概念
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新定义的含义，通过枚举法列出符合范围的数即可，易错点是容易忽略0这个特殊的完全平方数，导致计数错误。
【难度系数】
0.75
首先明确题目给出的完全平方数定义：平方根为整数的数，即该数可以表示为某个整数的平方。解题思路是找出所有平方后结果落在0~100范围内的整数，统计对应平方数的个数即可，注意不要遗漏0和100两个端点值。
【解析】
解：根据完全平方数的定义，若$x$是0~100之间的完全平方数，则存在非负整数$n$，使得$x=n^2$（互为相反数的两个数平方相等，只需考虑非负整数即可）。
依次计算非负整数的平方：
$0^2=0$，$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$，$6^2=36$，$7^2=49$，$8^2=64$，$9^2=81$，$10^2=100$，均在0~100范围内；
当$n≥11$时，$n^2≥121＞100$，超出取值范围。
综上，符合条件的完全平方数共11个。
【答案】
11
【知识点】
完全平方数的定义；平方根的概念
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新定义的含义，通过枚举法列出符合范围的数即可，易错点是容易忽略0这个特殊的完全平方数，导致计数错误。
【难度系数】
0.75
13. 求下列各式中$x$的值:
(1)$9x^2=4$.
(2)$(x-1)^2=1$.
(1)$9x^2=4$.
(2)$(x-1)^2=1$.
答案
解:(1)$x^2=\frac{4}{9}. x=\pm\frac{2}{3}$. (2)$x-1=\pm1. x_1=2,x_2=0$.
解析
【分析】
本题考查利用平方根的定义解方程，解题思路如下：（1）对于只含$x^2$项的方程，先将$x^2$的系数化为1，得到$x^2=a(a≥0)$的形式，再根据平方根的定义，正数$a$有两个互为相反数的平方根，即可求出$x$的取值；（2）对于含$(x-1)$平方的方程，先把$(x-1)$看作一个整体，同理求出这个整体的取值，再解一次方程得到$x$的两个解，注意不要遗漏负的平方根，避免漏解。
【解析】
（1）对于方程$9x^2=4$：
方程两边同时除以9，得$x^2=\frac{4}{9}$，
根据平方根的定义，$\frac{4}{9}$的平方根为$\pm\frac{2}{3}$，因此$x=\pm\frac{2}{3}$。
（2）对于方程$(x-1)^2=1$：
把$x-1$看作整体，根据平方根的定义，得$x-1=\pm1$，
分两种情况计算：
当$x-1=1$时，解得$x=2$；
当$x-1=-1$时，解得$x=0$。
【答案】
（1）$x=\pm\frac{2}{3}$；（2）$x_1=2$，$x_2=0$
【知识点】
平方根的定义、直接开平方法解方程
【点评】
本题属于平方根的基础应用题型，核心是掌握正数有两个互为相反数的平方根，解题时要注意不要漏解，对于含多项式平方的方程，运用整体思想可以快速简化求解过程。
【难度系数】
0.9
本题考查利用平方根的定义解方程，解题思路如下：（1）对于只含$x^2$项的方程，先将$x^2$的系数化为1，得到$x^2=a(a≥0)$的形式，再根据平方根的定义，正数$a$有两个互为相反数的平方根，即可求出$x$的取值；（2）对于含$(x-1)$平方的方程，先把$(x-1)$看作一个整体，同理求出这个整体的取值，再解一次方程得到$x$的两个解，注意不要遗漏负的平方根，避免漏解。
【解析】
（1）对于方程$9x^2=4$：
方程两边同时除以9，得$x^2=\frac{4}{9}$，
根据平方根的定义，$\frac{4}{9}$的平方根为$\pm\frac{2}{3}$，因此$x=\pm\frac{2}{3}$。
（2）对于方程$(x-1)^2=1$：
把$x-1$看作整体，根据平方根的定义，得$x-1=\pm1$，
分两种情况计算：
当$x-1=1$时，解得$x=2$；
当$x-1=-1$时，解得$x=0$。
【答案】
（1）$x=\pm\frac{2}{3}$；（2）$x_1=2$，$x_2=0$
【知识点】
平方根的定义、直接开平方法解方程
【点评】
本题属于平方根的基础应用题型，核心是掌握正数有两个互为相反数的平方根，解题时要注意不要漏解，对于含多项式平方的方程，运用整体思想可以快速简化求解过程。
【难度系数】
0.9
14.(1)若一个非负数的平方根是$2a - 1$和$a - 5$，则这个非负数是多少？
(2)已知$a - 1$和$5 - 2a$都是$m$的平方根，求$a$与$m$的值。
(2)已知$a - 1$和$5 - 2a$都是$m$的平方根，求$a$与$m$的值。
答案
解:(1)根据题意,得$(2a-1)+(a-5)=0$,解得$a=2$.
∴这个非负数是$(2a-1)^2=(2×2-1)^2=9$.
(2)分两种情况讨论:
①当$a-1$与$5-2a$是同一个平方根时,则$a-1=5-2a$,解得$a=2$.此时$m=(2-1)^2=1$;②当$a-1$与$5-2a$是不同的平方根时,则$a-1+5-2a=0$,解得$a=4$.此时$m=(4-1)^2=9$.综上所述,$a=2,m=1$或$a=4,m=9$.
∴这个非负数是$(2a-1)^2=(2×2-1)^2=9$.
(2)分两种情况讨论:
①当$a-1$与$5-2a$是同一个平方根时,则$a-1=5-2a$,解得$a=2$.此时$m=(2-1)^2=1$;②当$a-1$与$5-2a$是不同的平方根时,则$a-1+5-2a=0$,解得$a=4$.此时$m=(4-1)^2=9$.综上所述,$a=2,m=1$或$a=4,m=9$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，因此可先列关于a的一元一次方程求出a的值，再将a代入其中一个平方根，平方后即可得到所求非负数。
(2) 解题思路：两个式子都是m的平方根存在两种情况：①两个式子为同一个平方根，此时二者相等；②两个式子为m的两个不同平方根，此时二者互为相反数，和为0。分两种情况列方程求解a，再代入计算对应m的值即可。
【解析】
(1) 根据题意，非负数的两个平方根互为相反数，可得：
$\begin{aligned}(2a-1)+(a-5)&=0\\3a-6&=0\\a&=2\end{aligned}$
将$a=2$代入$2a-1$得$2×2-1=3$，因此这个非负数为$3^2=9$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$a-1$与$5-2a$是同一个平方根时，二者相等：
$\begin{aligned}a-1&=5-2a\\3a&=6\\a&=2\end{aligned}$
此时$m=(2-1)^2=1$；
② 当$a-1$与$5-2a$是不同的平方根时，二者互为相反数：
$\begin{aligned}a-1+5-2a&=0\\-a+4&=0\\a&=4\end{aligned}$
此时$m=(4-1)^2=9$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；
(2) $\boldsymbol{a=2,m=1}$ 或 $\boldsymbol{a=4,m=9}$
【知识点】
平方根的性质，解一元一次方程，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查平方根性质的灵活应用，易错点为第(2)问容易忽略两个平方根是同一个的情况，解题时要全面分析题干条件，分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，因此可先列关于a的一元一次方程求出a的值，再将a代入其中一个平方根，平方后即可得到所求非负数。
(2) 解题思路：两个式子都是m的平方根存在两种情况：①两个式子为同一个平方根，此时二者相等；②两个式子为m的两个不同平方根，此时二者互为相反数，和为0。分两种情况列方程求解a，再代入计算对应m的值即可。
【解析】
(1) 根据题意，非负数的两个平方根互为相反数，可得：
$\begin{aligned}(2a-1)+(a-5)&=0\\3a-6&=0\\a&=2\end{aligned}$
将$a=2$代入$2a-1$得$2×2-1=3$，因此这个非负数为$3^2=9$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$a-1$与$5-2a$是同一个平方根时，二者相等：
$\begin{aligned}a-1&=5-2a\\3a&=6\\a&=2\end{aligned}$
此时$m=(2-1)^2=1$；
② 当$a-1$与$5-2a$是不同的平方根时，二者互为相反数：
$\begin{aligned}a-1+5-2a&=0\\-a+4&=0\\a&=4\end{aligned}$
此时$m=(4-1)^2=9$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；
(2) $\boldsymbol{a=2,m=1}$ 或 $\boldsymbol{a=4,m=9}$
【知识点】
平方根的性质，解一元一次方程，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查平方根性质的灵活应用，易错点为第(2)问容易忽略两个平方根是同一个的情况，解题时要全面分析题干条件，分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
