1.从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度$h$(单位:m)与小球的运动时间$t$(单位:s)之间满足$h=30t-5t^2(0≤t≤6)$.有下列结论:①小球从抛出到落地需要6 s;②小球运动中的高度可以是30 m;③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.其中,正确的个数是()

A.0
B.1
C.2
D.3

C

①令h=0，即$30t-5t^2=0$，解得$t_1=0$，$t_2=6$，结合$0≤ t≤6$，可知小球从抛出到落地需要6s，结论①正确；
②将$h=-5t^2+30t$配方得$h=-5(t-3)^2+45$，可知小球的最大高度为45m，$30＜45$，令$30t-5t^2=30$，方程有两个符合$0≤ t≤6$的解，故小球运动高度可以是30m，结论②正确；
③当$t=2$时，$h=30×2 -5×2^2=40\ \mathrm{m}$；当$t=5$时，$h=30×5 -5×5^2=25\ \mathrm{m}$，$40＞25$，即小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，结论③错误。
综上正确的结论有2个。

2.无人驾驶技术已经在某些城市开始应用.某无人驾驶汽车在进行刹车性能测试时,其刹车距离$s$(单位:m)与刹车时的速度$x$(单位:m/s)之间满足关系式$s=\frac{1}{200}x^2 - \frac{1}{20}x$.若刹车距离为10 m,则刹车时的速度为.

解：
把$s=10$代入关系式$s=\frac{1}{200}x^2 - \frac{1}{20}x$，得
$10=\frac{1}{200}x^2 - \frac{1}{20}x$
两边同乘200整理得：
$x^2 -10x -2000=0$
因式分解得：$(x-50)(x+40)=0$
解得$x_1=50$，$x_2=-40$
由于速度$x＞0$，舍去$x=-40$。
答：刹车时的速度为50 m/s。

3.要修一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,水管的顶端装一个喷头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,为3 m.若水柱落地处离池中心3 m,则水管高度应为 m.

解：以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得抛物线的顶点坐标为$(1,3)$，设抛物线的解析式为 $ y = a(x-1)^2 + 3 $。
将落地点坐标$(3,0)$代入解析式：
$0 = a·(3-1)^2 + 3$
解得 $ a = -\frac{3}{4} $。
因此抛物线解析式为 $ y = -\frac{3}{4}(x-1)^2 + 3 $。
将$x=0$代入解析式，得：
$y = -\frac{3}{4}×(0-1)^2 + 3 = \frac{9}{4}$
答：水管高度应为$\boldsymbol{\frac{9}{4}}$（或2.25）m。

4.一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面2 m时，水面宽6 m.当水面下降 m时，水面宽8 m.

解：以抛物线的拱顶为坐标原点，建立平面直角坐标系，x轴沿水平方向，y轴竖直向下。
设抛物线的解析式为 $ y = ax^2 \ (a ≠ 0) $。
由题意可知，点$(3, 2)$在抛物线上，将其代入解析式：
$ 2 = a · 3^2 $
解得 $ a = \frac{2}{9} $，因此抛物线解析式为 $ y = \frac{2}{9}x^2 $。
当水面宽为8m时，对应$ x=4 $，代入解析式得：
$ y = \frac{2}{9} × 4^2 = \frac{32}{9} $
此时水面距离拱顶的高度为$ \frac{32}{9} \, \mathrm{m} $，水面下降的高度为：
$ \frac{32}{9} - 2 = \frac{14}{9} \, \mathrm{m} $
答：当水面下降$\frac{14}{9}\ \mathrm{m}$时，水面宽8m。

5. 提升题 如图，一小球从斜坡O点向一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数$y=ax^2+bx(a＜0)$刻画，斜坡可以用一次函数$y=\frac{1}{4}x$刻画，小球飞行的水平距离$x$(单位:m)与小球飞行的高度$y$(单位:m)的变化规律见下表：
| $x$ | 0 | 1 | 2 | $m$ | 4 | 5 | 6 | 7 | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | 0 | $\frac{7}{2}$ | 6 | $\frac{1}{2}$ | 8 | $\frac{15}{2}$ | $n$ | $\frac{7}{2}$ | $···$ |
(1)①填空：$m=$，$n=$；
②若小球的落点是$A$，求点$A$的坐标.
(2)若小球的飞行高度$y$(单位:m)与飞行时间$t$(单位:s)满足关系$y=-5t^2+vt$.
①小球飞行的最大高度为m；
②求$v$的值.

解：
(1)① 由表格数据可知二次函数图象的对称轴为直线$x=4$，根据二次函数的对称性可得：
$m=4×2-5=3$，$n=6$。
② 将点$(1,\frac{7}{2})$和$(2,6)$代入$y=ax^2+bx$，得：
$\begin{cases}a + b = \dfrac{7}{2} \\4a + 2b = 6 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2} \\b=4 \end{cases}$
所以二次函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +4x$。
联立二次函数与斜坡的方程：
$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x^2 +4x \\y=\dfrac{1}{4}x \end{cases}$
消去$y$得：$-\dfrac{1}{2}x^2 +4x = \dfrac{1}{4}x$，
整理得$2x^2 -15x=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=\dfrac{15}{2}$。
当$x=\dfrac{15}{2}$时，$y=\dfrac{1}{4}×\dfrac{15}{2}=\dfrac{15}{8}$，
所以点$A$的坐标为$(\dfrac{15}{2},\dfrac{15}{8})$。
(2)① 8
② 对于二次函数$y=-5t^2 +vt$，其顶点纵坐标即为最大高度：
$y_{\mathrm{max}}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{-v^2}{4×(-5)}=\dfrac{v^2}{20}$
由①知最大高度为$8\ \mathrm{m}$，因此：
$\dfrac{v^2}{20}=8$
解得$v^2=160$，
因为$v＞0$，所以$v=4\sqrt{10}$。
答：(1)① $m=3$，$n=6$；② 点$A$的坐标为$(\dfrac{15}{2},\dfrac{15}{8})$；(2)① 最大高度为$8\ \mathrm{m}$；② $v$的值为$4\sqrt{10}$。