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1. 下列多边形中，是正多边形的是（
A.各边都相等的多边形
B.有一个角为 $120°$ 的等边多边形
C.各角都相等的四边形
D.每个角都是 $108°$ 的等边多边形
D
）A.各边都相等的多边形
B.有一个角为 $120°$ 的等边多边形
C.各角都相等的四边形
D.每个角都是 $108°$ 的等边多边形
答案
1.D
解析
【分析】
解题首先要明确正多边形的判定核心：必须同时满足“各条边长度相等”、“各个内角度数相等”两个条件，二者缺一不可。解题时可以先逐个排查选项，对错误选项通过举反例的方式快速排除，对疑似正确的选项结合多边形内角和公式验证是否满足两个判定条件，最终锁定正确答案。
【解析】
正多边形的定义为：各边相等，且各内角也相等的多边形，两个条件需同时满足才属于正多边形。我们逐个分析选项：
A. 各边都相等的多边形内角不一定相等，例如菱形各边长度相等，但内角不全相等，不属于正多边形，排除；
B. 有一个角为$120°$的等边多边形，其余内角不一定都为$120°$，例如有一个内角为$120°$的菱形（属于等边四边形），其余三个内角为$60°$、$120°$、$60°$，内角不全相等，不属于正多边形，排除；
C. 各角都相等的四边形边长不一定全相等，例如矩形四个内角都是$90°$，但长和宽不一定相等，不属于正多边形，排除；
D. 每个角都是$108°$的等边多边形，首先满足边相等的条件，同时所有内角均为$108°$也满足角相等的条件。我们也可通过内角和公式验证：设该多边形边数为$n$，根据多边形内角和公式有$(n-2)×180°=108°× n$，解得$n=5$，即该图形为正五边形，属于正多边形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1.正多边形的判定
2.多边形内角和计算
【点评】
本题是正多边形判定的基础题，解题关键是牢记正多边形的两个必备判定条件，不要漏记其中任意一个，平时可以多积累菱形、矩形这类仅满足其中一个条件的反例，能帮助快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确正多边形的判定核心：必须同时满足“各条边长度相等”、“各个内角度数相等”两个条件，二者缺一不可。解题时可以先逐个排查选项，对错误选项通过举反例的方式快速排除，对疑似正确的选项结合多边形内角和公式验证是否满足两个判定条件，最终锁定正确答案。
【解析】
正多边形的定义为：各边相等，且各内角也相等的多边形，两个条件需同时满足才属于正多边形。我们逐个分析选项：
A. 各边都相等的多边形内角不一定相等，例如菱形各边长度相等，但内角不全相等，不属于正多边形，排除；
B. 有一个角为$120°$的等边多边形，其余内角不一定都为$120°$，例如有一个内角为$120°$的菱形（属于等边四边形），其余三个内角为$60°$、$120°$、$60°$，内角不全相等，不属于正多边形，排除；
C. 各角都相等的四边形边长不一定全相等，例如矩形四个内角都是$90°$，但长和宽不一定相等，不属于正多边形，排除；
D. 每个角都是$108°$的等边多边形，首先满足边相等的条件，同时所有内角均为$108°$也满足角相等的条件。我们也可通过内角和公式验证：设该多边形边数为$n$，根据多边形内角和公式有$(n-2)×180°=108°× n$，解得$n=5$，即该图形为正五边形，属于正多边形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1.正多边形的判定
2.多边形内角和计算
【点评】
本题是正多边形判定的基础题，解题关键是牢记正多边形的两个必备判定条件，不要漏记其中任意一个，平时可以多积累菱形、矩形这类仅满足其中一个条件的反例，能帮助快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
2.若一个正多边形的每一个内角都等于$144°$，则这个正多边形的边数是
10
。答案
2.10
解析
【分析】
要计算正多边形的边数，有两种常见思路：一是利用多边形外角和恒为360°的性质，先根据内角与相邻外角互补求出单个外角的度数，再用外角和除以单个外角的度数得到边数，这种方法更简便；二是利用正多边形内角和公式列方程求解，正n边形的内角和为(n-2)×180°，每个内角的度数等于内角和除以边数，据此列方程可解出n的值。
【解析】
方法一（利用外角和求解）：
∵正多边形的每个内角与相邻外角互补，
∴该正多边形每个外角的度数为：$180°-144°=36°$
∵任意多边形的外角和均为$360°$，且正多边形每个外角相等，
∴该正多边形的边数为：$360°÷36°=10$
方法二（利用内角和公式列方程求解）：
设该正多边形的边数为n，根据正多边形内角和公式可得：
$\frac{(n-2) × 180°}{n} = 144°$
去分母得：$(n-2) × 180 = 144n$
展开得：$180n - 360 = 144n$
移项合并同类项得：$36n = 360$
解得：$n=10$
【答案】
10
【知识点】
正多边形的性质；多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】
本题属于正多边形相关的基础计算题，优先利用多边形外角和为固定值360°的性质解题，可简化计算步骤，减少运算量。
【难度系数】
0.8
要计算正多边形的边数，有两种常见思路：一是利用多边形外角和恒为360°的性质，先根据内角与相邻外角互补求出单个外角的度数，再用外角和除以单个外角的度数得到边数，这种方法更简便；二是利用正多边形内角和公式列方程求解，正n边形的内角和为(n-2)×180°，每个内角的度数等于内角和除以边数，据此列方程可解出n的值。
【解析】
方法一（利用外角和求解）：
∵正多边形的每个内角与相邻外角互补，
∴该正多边形每个外角的度数为：$180°-144°=36°$
∵任意多边形的外角和均为$360°$，且正多边形每个外角相等，
∴该正多边形的边数为：$360°÷36°=10$
方法二（利用内角和公式列方程求解）：
设该正多边形的边数为n，根据正多边形内角和公式可得：
$\frac{(n-2) × 180°}{n} = 144°$
去分母得：$(n-2) × 180 = 144n$
展开得：$180n - 360 = 144n$
移项合并同类项得：$36n = 360$
解得：$n=10$
【答案】
10
【知识点】
正多边形的性质；多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】
本题属于正多边形相关的基础计算题，优先利用多边形外角和为固定值360°的性质解题，可简化计算步骤，减少运算量。
【难度系数】
0.8
3. 下列正多边形中,通过直尺和圆规不能作出的是 （
A.正三角形
B.正四边形
C.正六边形
D.正七边形
D
）A.正三角形
B.正四边形
C.正六边形
D.正七边形
答案
3.D
解析
【分析】
要判断哪种正多边形不能用直尺和圆规作出，首先明确尺规作正多边形的核心原理：正n边形的各个顶点都在同一个外接圆上，作正n边形本质就是将圆周n等分，若能通过尺规操作将圆周分成n等份，就能作出对应的正n边形。接下来我们逐个分析每个选项对应的正多边形是否可通过尺规等分圆周得到即可。
【解析】
尺规作正多边形的本质是将圆周n等分，我们逐一判断：
A. 正三角形：正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，也可先作正六边形后间隔取点得到正三角形，可通过尺规作出；
B. 正四边形：作圆的两条互相垂直的直径，即可将圆周四等分，顺次连接四个分点就得到正四边形，可通过尺规作出；
C. 正六边形：正六边形的边长等于其外接圆的半径，用圆规以半径长在圆周上依次截取，就能得到6个等分点，顺次连接得到正六边形，可通过尺规作出；
D. 正七边形：正七边形的中心角为$\frac{360°}{7}$，该角度无法通过尺规作图得到，也无法用尺规将圆周7等分，因此不能通过直尺和圆规作出。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆、尺规作图、圆周等分
【点评】
本题考查尺规作正多边形的基本原理，属于基础概念考查题，解题的关键是理解尺规作正多边形的本质是等分圆周，牢记常见可尺规作出的正多边形即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断哪种正多边形不能用直尺和圆规作出，首先明确尺规作正多边形的核心原理：正n边形的各个顶点都在同一个外接圆上，作正n边形本质就是将圆周n等分，若能通过尺规操作将圆周分成n等份，就能作出对应的正n边形。接下来我们逐个分析每个选项对应的正多边形是否可通过尺规等分圆周得到即可。
【解析】
尺规作正多边形的本质是将圆周n等分，我们逐一判断：
A. 正三角形：正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，也可先作正六边形后间隔取点得到正三角形，可通过尺规作出；
B. 正四边形：作圆的两条互相垂直的直径，即可将圆周四等分，顺次连接四个分点就得到正四边形，可通过尺规作出；
C. 正六边形：正六边形的边长等于其外接圆的半径，用圆规以半径长在圆周上依次截取，就能得到6个等分点，顺次连接得到正六边形，可通过尺规作出；
D. 正七边形：正七边形的中心角为$\frac{360°}{7}$，该角度无法通过尺规作图得到，也无法用尺规将圆周7等分，因此不能通过直尺和圆规作出。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆、尺规作图、圆周等分
【点评】
本题考查尺规作正多边形的基本原理，属于基础概念考查题，解题的关键是理解尺规作正多边形的本质是等分圆周，牢记常见可尺规作出的正多边形即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.如图,已知$\odot O$和$\odot O$上的一点A.
(1)作$\odot O$的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)的作图中,点E在$\overset{\frown}{AD}$上,求证:DE是$\odot O$内接正十二边形的一边.
(1)作$\odot O$的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)的作图中,点E在$\overset{\frown}{AD}$上,求证:DE是$\odot O$内接正十二边形的一边.
答案
(1) 作图步骤：
1. 连接OA，作过点A的直径AC；
2. 作直径BD⊥AC，顺次连接A、B、C、D，所得四边形ABCD即为$\odot O$的内接正方形；
3. 分别以点A、C为圆心，OA长为半径作弧，与$\odot O$分别交于E、H、F、G四点，顺次连接A、E、F、C、G、H，所得六边形AEFCGH即为$\odot O$的内接正六边形。
---
(2) 证明：
连接OA、OD、OE。
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接正方形，
∴ $∠ AOD = \frac{360°}{4} = 90°$。
∵ 六边形AEFCGH是$\odot O$的内接正六边形，
∴ $∠ AOE = \frac{360°}{6} = 60°$。
∴ $∠ DOE = ∠ AOD - ∠ AOE = 90° - 60° = 30°$。
∵ $\odot O$内接正十二边形的中心角为 $\frac{360°}{12} = 30°$，
∴ $∠ DOE$与$\odot O$内接正十二边形的中心角相等，
∴ DE是$\odot O$内接正十二边形的一边。
1. 连接OA，作过点A的直径AC；
2. 作直径BD⊥AC，顺次连接A、B、C、D，所得四边形ABCD即为$\odot O$的内接正方形；
3. 分别以点A、C为圆心，OA长为半径作弧，与$\odot O$分别交于E、H、F、G四点，顺次连接A、E、F、C、G、H，所得六边形AEFCGH即为$\odot O$的内接正六边形。
---
(2) 证明：
连接OA、OD、OE。
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接正方形，
∴ $∠ AOD = \frac{360°}{4} = 90°$。
∵ 六边形AEFCGH是$\odot O$的内接正六边形，
∴ $∠ AOE = \frac{360°}{6} = 60°$。
∴ $∠ DOE = ∠ AOD - ∠ AOE = 90° - 60° = 30°$。
∵ $\odot O$内接正十二边形的中心角为 $\frac{360°}{12} = 30°$，
∴ $∠ DOE$与$\odot O$内接正十二边形的中心角相等，
∴ DE是$\odot O$内接正十二边形的一边。
解析
【分析】
(1) 作图思路：作圆内接正方形的核心是将圆周四等分，正方形的中心角为$90°$，因此只需作出两条互相垂直的直径即可得到四个等分点，顺次连接得到正方形；作圆内接正六边形的核心是将圆周六等分，正六边形的中心角为$60°$，且正六边形边长等于圆的半径，因此以直径端点为圆心、半径长为半径截圆弧即可得到六个等分点，顺次连接得到正六边形。
(2) 证明思路：正多边形的边与它对应的中心角一一对应，要证明$DE$是$\odot O$内接正十二边形的一边，只需证明$DE$对应的中心角$∠ DOE$等于正十二边形的中心角$30°$。我们可以先分别求出正方形的中心角$∠ AOD$和正六边形的中心角$∠ AOE$，通过作差得到$∠ DOE$的度数，验证其与正十二边形中心角相等即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 连接$OA$，作过点$A$的直径$AC$；
② 作直径$BD⊥ AC$，顺次连接$A、B、C、D$，所得四边形$ABCD$即为$\odot O$的内接正方形；
③ 分别以点$A、C$为圆心，$OA$长为半径作弧，与$\odot O$分别交于$E、H、F、G$四点，顺次连接$A、E、F、C、G、H$，所得六边形$AEFCGH$即为$\odot O$的内接正六边形。
(2) 证明：
连接$OA、OD、OE$。
∵ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形，
∴ $∠ AOD = \frac{360°}{4} = 90°$。
∵ 六边形$AEFCGH$是$\odot O$的内接正六边形，
∴ $∠ AOE = \frac{360°}{6} = 60°$。
∴ $∠ DOE = ∠ AOD - ∠ AOE = 90° - 60° = 30°$。
∵ $\odot O$内接正十二边形的中心角为 $\frac{360°}{12} = 30°$，
∴ $∠ DOE$与$\odot O$内接正十二边形的中心角相等，
∴ $DE$是$\odot O$内接正十二边形的一边。
【答案】
(1) 作图见上述步骤；
(2) $DE$是$\odot O$内接正十二边形的一边，证明成立。
【知识点】
正多边形与圆的关系；尺规作图；正多边形中心角计算
【点评】
本题是正多边形与圆章节的基础典型题，既考查了正多边形的尺规作图方法，又考查了正多边形中心角与边数的对应关系，解题逻辑清晰，侧重基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7
(1) 作图思路：作圆内接正方形的核心是将圆周四等分，正方形的中心角为$90°$，因此只需作出两条互相垂直的直径即可得到四个等分点，顺次连接得到正方形；作圆内接正六边形的核心是将圆周六等分，正六边形的中心角为$60°$，且正六边形边长等于圆的半径，因此以直径端点为圆心、半径长为半径截圆弧即可得到六个等分点，顺次连接得到正六边形。
(2) 证明思路：正多边形的边与它对应的中心角一一对应，要证明$DE$是$\odot O$内接正十二边形的一边，只需证明$DE$对应的中心角$∠ DOE$等于正十二边形的中心角$30°$。我们可以先分别求出正方形的中心角$∠ AOD$和正六边形的中心角$∠ AOE$，通过作差得到$∠ DOE$的度数，验证其与正十二边形中心角相等即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 连接$OA$，作过点$A$的直径$AC$；
② 作直径$BD⊥ AC$，顺次连接$A、B、C、D$，所得四边形$ABCD$即为$\odot O$的内接正方形；
③ 分别以点$A、C$为圆心，$OA$长为半径作弧，与$\odot O$分别交于$E、H、F、G$四点，顺次连接$A、E、F、C、G、H$，所得六边形$AEFCGH$即为$\odot O$的内接正六边形。
(2) 证明：
连接$OA、OD、OE$。
∵ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形，
∴ $∠ AOD = \frac{360°}{4} = 90°$。
∵ 六边形$AEFCGH$是$\odot O$的内接正六边形，
∴ $∠ AOE = \frac{360°}{6} = 60°$。
∴ $∠ DOE = ∠ AOD - ∠ AOE = 90° - 60° = 30°$。
∵ $\odot O$内接正十二边形的中心角为 $\frac{360°}{12} = 30°$，
∴ $∠ DOE$与$\odot O$内接正十二边形的中心角相等，
∴ $DE$是$\odot O$内接正十二边形的一边。
【答案】
(1) 作图见上述步骤；
(2) $DE$是$\odot O$内接正十二边形的一边，证明成立。
【知识点】
正多边形与圆的关系；尺规作图；正多边形中心角计算
【点评】
本题是正多边形与圆章节的基础典型题，既考查了正多边形的尺规作图方法，又考查了正多边形中心角与边数的对应关系，解题逻辑清晰，侧重基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7
5. 如图是一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角$∠ ACB = 15°$，算出这个正多边形的边数是（
A.9
B.10
C.11
D.12
D
）A.9
B.10
C.11
D.12
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先结合正多边形的性质，明确正多边形各边相等，可得AB=BC，因此△ABC是等腰三角形；再根据等腰三角形两底角相等的性质，计算出正多边形的内角度数；最后利用正多边形内角和与边数的关系列方程求解即可。
【解析】
∵该图形是正多边形，
∴它的各边长相等，即AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，∠BAC=∠ACB=15°，
∴正多边形的内角∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-15°×2=150°。
设这个正多边形的边数为n，根据正多边形内角公式可得：
$\frac{(n-2)×180°}{n}=150°$
去分母得：$(n-2)×180=150n$
展开得：$180n-360=150n$
移项合并得：$30n=360$
解得：$n=12$
【答案】
D
【知识点】
1.正多边形的性质；2.等腰三角形的性质；3.正多边形内角计算
【点评】
本题是正多边形相关的基础题型，解题的核心是先通过等腰三角形的角度计算得到正多边形的内角度数，再结合内角公式求解边数，掌握基础公式和性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合正多边形的性质，明确正多边形各边相等，可得AB=BC，因此△ABC是等腰三角形；再根据等腰三角形两底角相等的性质，计算出正多边形的内角度数；最后利用正多边形内角和与边数的关系列方程求解即可。
【解析】
∵该图形是正多边形，
∴它的各边长相等，即AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，∠BAC=∠ACB=15°，
∴正多边形的内角∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-15°×2=150°。
设这个正多边形的边数为n，根据正多边形内角公式可得：
$\frac{(n-2)×180°}{n}=150°$
去分母得：$(n-2)×180=150n$
展开得：$180n-360=150n$
移项合并得：$30n=360$
解得：$n=12$
【答案】
D
【知识点】
1.正多边形的性质；2.等腰三角形的性质；3.正多边形内角计算
【点评】
本题是正多边形相关的基础题型，解题的核心是先通过等腰三角形的角度计算得到正多边形的内角度数，再结合内角公式求解边数，掌握基础公式和性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
6.如图，A，B，C是$\odot O$上顺次三点，若AC，AB，BC分别是$\odot O$内接正三角形、正方形、正n边形的一边，则n=
第6题图 第7题图
12
。第6题图 第7题图
答案
6.12
解析
【分析】
解题时首先回忆圆内接正多边形的性质：圆内接正n边形的中心角（即每条边对应的圆心角）为$\frac{360°}{n}$。我们可以先分别求出AC、AB作为正三角形、正方形的边时对应的圆心角，两个圆心角的差就是BC边对应的圆心角，也就是正n边形的中心角，最后代入中心角公式即可求出n的值。
【解析】
连接OA、OB、OC：
1. 因为AC是$\odot O$内接正三角形的一边，所以AC对应的圆心角$∠ AOC=\frac{360°}{3}=120°$；
2. 因为AB是$\odot O$内接正方形的一边，所以AB对应的圆心角$∠ AOB=\frac{360°}{4}=90°$；
3. 由于A、B、C是圆上顺次三点，因此BC对应的圆心角$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=120°-90°=30°$；
4. 又因为BC是$\odot O$内接正n边形的一边，所以$∠ BOC=\frac{360°}{n}$，代入得：$30°=\frac{360°}{n}$，解得$n=\frac{360°}{30°}=12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 圆内接正多边形性质
2. 正多边形中心角计算
【点评】
本题考查正多边形与圆的相关知识，核心是掌握正多边形中心角与边数的关系，通过计算对应弧的圆心角即可求解，属于基础题型，熟练掌握公式就能快速得到答案。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆内接正多边形的性质：圆内接正n边形的中心角（即每条边对应的圆心角）为$\frac{360°}{n}$。我们可以先分别求出AC、AB作为正三角形、正方形的边时对应的圆心角，两个圆心角的差就是BC边对应的圆心角，也就是正n边形的中心角，最后代入中心角公式即可求出n的值。
【解析】
连接OA、OB、OC：
1. 因为AC是$\odot O$内接正三角形的一边，所以AC对应的圆心角$∠ AOC=\frac{360°}{3}=120°$；
2. 因为AB是$\odot O$内接正方形的一边，所以AB对应的圆心角$∠ AOB=\frac{360°}{4}=90°$；
3. 由于A、B、C是圆上顺次三点，因此BC对应的圆心角$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=120°-90°=30°$；
4. 又因为BC是$\odot O$内接正n边形的一边，所以$∠ BOC=\frac{360°}{n}$，代入得：$30°=\frac{360°}{n}$，解得$n=\frac{360°}{30°}=12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 圆内接正多边形性质
2. 正多边形中心角计算
【点评】
本题考查正多边形与圆的相关知识，核心是掌握正多边形中心角与边数的关系，通过计算对应弧的圆心角即可求解，属于基础题型，熟练掌握公式就能快速得到答案。
【难度系数】
0.7
7. [2025·合肥庐江一模]如图,在扇形OAC中,点B,D在$\overset{\frown}{AC}$上,AB,BC是$\odot O$的内接正八边形的边,AD是$\odot O$的内接正六边形的边,BC与AD交于点P,则$∠ APB =$
37.5
°答案
7.37.5
解析
【分析】
要求∠APB的度数，可利用三角形内角和定理求解：先结合正多边形与圆的关系求出对应弧的度数，再根据圆周角定理算出△ABP中∠BAP和∠ABP的度数，最后用180°减去两个内角的和即可得到∠APB的度数。
【解析】
1. 计算各段弧的度数：
正八边形的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，因为AB、BC是⊙O内接正八边形的边，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=45°$，则$\overset{\frown}{AC}=45°+45°=90°$，优弧$\overset{\frown}{AC}=360°-90°=270°$。
正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因为AD是⊙O内接正六边形的边，所以$\overset{\frown}{AD}=60°$，因此$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{AB}=60°-45°=15°$。
2. 根据圆周角定理求内角：
∠BAP是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，因此$∠ BAP=\frac{1}{2}×15°=7.5°$。
∠ABP是优弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，因此$∠ ABP=\frac{1}{2}×270°=135°$。
3. 计算∠APB：
在△ABP中，由三角形内角和为180°得：
$∠ APB=180°-7.5°-135°=37.5°$
【答案】
37.5
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是熟练掌握正多边形中心角的计算方法，明确圆周角和所对弧的度数关系，易错点是容易混淆圆周角对应的弧是优弧还是劣弧。
【难度系数】
0.65
要求∠APB的度数，可利用三角形内角和定理求解：先结合正多边形与圆的关系求出对应弧的度数，再根据圆周角定理算出△ABP中∠BAP和∠ABP的度数，最后用180°减去两个内角的和即可得到∠APB的度数。
【解析】
1. 计算各段弧的度数：
正八边形的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，因为AB、BC是⊙O内接正八边形的边，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=45°$，则$\overset{\frown}{AC}=45°+45°=90°$，优弧$\overset{\frown}{AC}=360°-90°=270°$。
正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因为AD是⊙O内接正六边形的边，所以$\overset{\frown}{AD}=60°$，因此$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{AB}=60°-45°=15°$。
2. 根据圆周角定理求内角：
∠BAP是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，因此$∠ BAP=\frac{1}{2}×15°=7.5°$。
∠ABP是优弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，因此$∠ ABP=\frac{1}{2}×270°=135°$。
3. 计算∠APB：
在△ABP中，由三角形内角和为180°得：
$∠ APB=180°-7.5°-135°=37.5°$
【答案】
37.5
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是熟练掌握正多边形中心角的计算方法，明确圆周角和所对弧的度数关系，易错点是容易混淆圆周角对应的弧是优弧还是劣弧。
【难度系数】
0.65
8. [2026·合肥肥东校级一模]如图,六边形ABCDEF是$\odot O$的内接正六边形,设正六边形ABCDEF的面积为$S_1$,$△ ACE$的面积为$S_2$,则$\frac{S_1}{S_2}=$
2
.答案
8.2
解析
【分析】
首先回忆圆内接正六边形的性质：正六边形的边长等于外接圆半径，每个内角为120°，可分割为6个全等的等边三角形。要求两个面积的比值，可先设正六边形的边长为a，分别计算正六边形面积$S_1$和$△ ACE$的面积$S_2$；也可以通过分割图形，观察正六边形由$△ ACE$和另外三个全等的小三角形组成，证明这三个小三角形的面积和等于$S_2$，即可得到比值。
【解析】
设正六边形ABCDEF的边长为a，
1. 计算$S_1$：正六边形可以分割为6个边长为a的全等等边三角形，单个等边三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，因此$S_1=6×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
2. 计算AC的长度：在$△ ABC$中，$AB=BC=a$，正六边形内角$∠ ABC=120°$，过B作$BG⊥ AC$于点G，根据等腰三角形三线合一，$∠ ABG=60°$，则$AG=AB·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，因此$AC=2AG=\sqrt{3}a$。
3. 由正六边形的对称性可知，$AC=CE=EA$，即$△ ACE$是边长为$\sqrt{3}a$的等边三角形，因此$S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{3}a)^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$。
4. 计算比值：$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2}=2$。
【答案】
2
【知识点】
正多边形与圆的性质，等边三角形面积计算，等腰三角形性质
【点评】
本题解题关键是利用正六边形的对称性和边长、内角特征，找到两个图形边长的数量关系，通过面积公式计算即可得到结果，也可以通过图形分割的方法快速判断面积关系。
【难度系数】
0.7
首先回忆圆内接正六边形的性质：正六边形的边长等于外接圆半径，每个内角为120°，可分割为6个全等的等边三角形。要求两个面积的比值，可先设正六边形的边长为a，分别计算正六边形面积$S_1$和$△ ACE$的面积$S_2$；也可以通过分割图形，观察正六边形由$△ ACE$和另外三个全等的小三角形组成，证明这三个小三角形的面积和等于$S_2$，即可得到比值。
【解析】
设正六边形ABCDEF的边长为a，
1. 计算$S_1$：正六边形可以分割为6个边长为a的全等等边三角形，单个等边三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，因此$S_1=6×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
2. 计算AC的长度：在$△ ABC$中，$AB=BC=a$，正六边形内角$∠ ABC=120°$，过B作$BG⊥ AC$于点G，根据等腰三角形三线合一，$∠ ABG=60°$，则$AG=AB·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，因此$AC=2AG=\sqrt{3}a$。
3. 由正六边形的对称性可知，$AC=CE=EA$，即$△ ACE$是边长为$\sqrt{3}a$的等边三角形，因此$S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{3}a)^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$。
4. 计算比值：$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2}=2$。
【答案】
2
【知识点】
正多边形与圆的性质，等边三角形面积计算，等腰三角形性质
【点评】
本题解题关键是利用正六边形的对称性和边长、内角特征，找到两个图形边长的数量关系，通过面积公式计算即可得到结果，也可以通过图形分割的方法快速判断面积关系。
【难度系数】
0.7
