6. 如图,王华在晚上由路灯$A$走向路灯$B$,当他走到点$P$时,发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯$A$的底部;当他向前再步行$12\ \mathrm{m}$到达点$Q$时,发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯$B$的底部.已知王华的身高是$1.6\ \mathrm{m}$,两个路灯的高度都是$9.6\ \mathrm{m}$,且$AP=QB=x\ \mathrm{m}$.
(1) 求两个路灯之间的距离;
(2) 当王华走到路灯$B$时,他在路灯$A$下的影长是多少?

解：(1) 设$AP=QB=x\ \mathrm{m}$，则$AB=AP+PQ+QB=(2x+12)\ \mathrm{m}$。
因为王华身高$PM //$路灯$A$的高度$BN$，
所以$△ APM ∽ △ ABN$，
则$\frac{PM}{BN}=\frac{AP}{AB}$，即$\frac{1.6}{9.6}=\frac{x}{2x+12}$。
化简得$\frac{1}{6}=\frac{x}{2x+12}$，
解得$6x=2x+12$，
$4x=12$，
$x=3$。
所以$AB=2×3+12=18\ \mathrm{m}$。
(2) 设王华走到路灯$B$时，在路灯$A$下的影长为$y\ \mathrm{m}$。
此时王华身高$BF //$路灯$A$的高度$AN$，
所以$△ BCF ∽ △ ACN$，
则$\frac{BF}{AN}=\frac{BC}{AC}$，即$\frac{1.6}{9.6}=\frac{y}{18+y}$。
化简得$\frac{1}{6}=\frac{y}{18+y}$，
解得$6y=18+y$，
$5y=18$，
$y=3.6$。
答：(1) 两个路灯之间的距离为$\boldsymbol{18\ \mathrm{m}}$；
(2) 当王华走到路灯$B$时，他在路灯$A$下的影长是$\boldsymbol{3.6\ \mathrm{m}}$。

7. 如图,在$△ ABC$中,$D$是边$AB$的中点,点$E$在边$AC$上,$DE$、$BC$的延长线交于点$F$.
求证:$\dfrac{BF}{CF}=\dfrac{AE}{EC}$.

证明：
过点$ C $作$ CG // AB $，交$ DF $于点$ G $。
1. 因为$ CG // AB $，所以$ △ FCG ∽ △ FBD $，
得$ \dfrac{BF}{CF}=\dfrac{BD}{CG} $。
2. 因为$ CG // AD $，所以$ △ ADE ∽ △ CGE $，
得$ \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AD}{CG} $。
3. 因为$ D $是$ AB $的中点，所以$ AD=BD $，
因此$ \dfrac{BD}{CG}=\dfrac{AD}{CG} $，
所以$ \dfrac{BF}{CF}=\dfrac{AE}{EC} $。

8. 一个小风筝与一个大风筝形状相同,它们的形状如图所示,其中对角线$AC ⊥ BD$.已知它们的对应边之比为$1:3$,小风筝两条对角线的长分别为$12\ \mathrm{cm}$和$14\ \mathrm{cm}$.
(1) 小风筝的面积是多少?
(2) 用小木棍在大风筝内装一个连接对角顶点的十字交叉形支撑架,至少用多长小木棍?
(3) 大风筝要用彩色纸覆盖,而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸裁剪下来的,那么从四个角裁剪下来的彩色纸面积是多少?

解：
(1) 因为对角线$AC ⊥ BD$，所以小风筝的面积为：
$\frac{1}{2} × 12 × 14 = 84(\mathrm{cm}^2)$
答：小风筝的面积是$84\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 由于小风筝与大风筝形状相同，对应边之比为$1:3$，故它们的对角线之比为$1:3$。
大风筝的两条对角线长分别为：$12 × 3 = 36(\mathrm{cm})$，$14 × 3 = 42(\mathrm{cm})$
十字交叉形支撑架的总长度为：$36 + 42 = 78(\mathrm{cm})$
答：至少用$78\ \mathrm{cm}$长的小木棍。
(3) 覆盖大风筝的矩形的长为$36\ \mathrm{cm}$，宽为$42\ \mathrm{cm}$，矩形面积为：
$36 × 42 = 1512(\mathrm{cm}^2)$
大风筝的面积为：$\frac{1}{2} × 36 × 42 = 756(\mathrm{cm}^2)$
裁剪下来的彩色纸面积为：$1512 - 756 = 756(\mathrm{cm}^2)$
答：从四个角裁剪下来的彩色纸面积是$756\ \mathrm{cm}^2$。