20. (本题满分 8 分)在“重走建军路,致敬新四军”红色研学活动中,学校建议同学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动.
A. 新四军纪念馆(主馆区);
B. 新四军重建军部旧址(泰山庙);
C. 新四军重建军部纪念塔(大铜马).
小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站.
(1) 小明选择基地$A$的概率为;
(2) 用画树状图或列表的方法,求小明和小丽选择相同基地的概率.

20.（1）$\frac{1}{3}$ （2）画树状图如下：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由上可得，一共有9种等可能性，其中小明和小丽选择相同基地的可能性有3种，$\therefore$ 小明和小丽选择相同基地的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.

21. (本题满分 8 分)已知:如图,点$A$,$B$,$C$,$D$在同一条直线上,$AE// BF$,$AE = BF$.若,则$AB = CD$.
请从①$CE// DF$;②$CE = DF$;③$∠ E = ∠ F$这 3 个选项中选择一个作为条件(写序号),使结论成立,并说明理由.

21. 选择①，$\because AE// BF$，$\therefore ∠ A=∠ FBD$.$\because CE// DF$，$\therefore ∠ ACE=∠ D$，在$△ AEC$和$△ BFD$中，$\begin{cases} ∠ ACE=∠ D\\ ∠ A=∠ FBD\\ AE=BF \end{cases}$，$\therefore △ AEC≌ △ BFD(\mathrm{AAS})$，$\therefore AC=BD$，$\therefore AB=CD$；选择③，$\because AE// BF$，$\therefore ∠ A=∠ FBD$，在$△ AEC$和$△ BFD$中，$\begin{cases} ∠ A=∠ FBD\\ AE=BF\\ ∠ E=∠ F \end{cases}$，$\therefore △ AEC≌ △ BFD(\mathrm{ASA})$，$\therefore AC=BD$，$\therefore AB=CD$.

选择①，
证明：$\because AE// BF$，
$\therefore ∠ A=∠ FBD$，
$\because CE// DF$，
$\therefore ∠ ACE=∠ D$，
在$△ AEC$和$△ BFD$中，
$\{\begin{array}{l} ∠ ACE=∠ D\\ ∠ A=∠ FBD\\ AE=BF\end{array} $，
$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AC=BD$，
$\therefore AC-BC=BD-BC$，即$AB=CD$；
选择③，
证明：$\because AE// BF$，
$\therefore ∠ A=∠ FBD$，
在$△ AEC$和$△ BFD$中，
$\{\begin{array}{l} ∠ A=∠ FBD\\ AE=BF\\ ∠ E=∠ F\end{array} $，
$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AC=BD$，
$\therefore AC-BC=BD-BC$，即$AB=CD$。

22. (本题满分 10 分)小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像,并把矩形直尺放在上面,如图.请根据图中信息,求:
(1) 反比例函数表达式;
(2) 点$C$坐标.

22.（1）根据图像信息，点A的坐标为$(-3,2)$，$\because$ 反比例函数图像上过点A，设反比例函数关系式为$y=\frac{k}{x}$，$\therefore k=-6$，$\therefore$ 反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$； （2）直线OA的解析式为$y=-\frac{2}{3}x$，由图像可知，直线OA向上平移三个单位得到直线BC的解析式为$y=-\frac{2}{3}x+3$，联立方程组$\begin{cases} y=-\frac{2}{3}x+3\\ y=-\frac{6}{x} \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=-\frac{3}{2}\\ y=4 \end{cases}$，$\begin{cases} x=6\\ y=-1 \end{cases}$（舍去），$\therefore C(-\frac{3}{2},4)$.

(1) 由图可知点$A$的坐标为$(-3,2)$，设反比例函数表达式为$y = \frac{k}{x}$，将$A(-3,2)$代入得$2 = \frac{k}{-3}$，解得$k=-6$，故反比例函数表达式为$y = -\frac{6}{x}$。
(2) 设直线$OA$的解析式为$y = mx$，将$A(-3,2)$代入得$2=-3m$，解得$m=-\frac{2}{3}$，所以直线$OA$的解析式为$y = -\frac{2}{3}x$。由图可知直线$BC$是直线$OA$向上平移$3$个单位得到的，因此直线$BC$的解析式为$y = -\frac{2}{3}x + 3$。联立方程组$\begin{cases}y=-\frac{2}{3}x + 3\\y=-\frac{6}{x}\end{cases}$，消去$y$得$-\frac{2}{3}x + 3=-\frac{6}{x}$，两边同乘$3x$（$x≠0$）得$-2x^2 + 9x=-18$，整理得$2x^2 - 9x - 18 = 0$，解得$x_1=6$，$x_2=-\frac{3}{2}$。因为点$C$在第二象限，所以$x=-\frac{3}{2}$，代入$y = -\frac{6}{x}$得$y = 4$，故点$C$的坐标为$(-\frac{3}{2},4)$。

23. (本题满分 10 分)如图,点$C$在以$AB$为直径的$\odot O$上,过点$C$作$\odot O$的切线$l$,过点$A$作$AD⊥ l$,垂足为点$D$,连接$AC$,$BC$.
(1) 求证:$△ ABC∽△ ACD$;
(2) 若$AC = 5$,$CD = 4$,求$\odot O$的半径.

23.（1）如图，连接OC，$\because l$是$\odot O$的切线，$\therefore OC⊥ l$.$\because AD⊥ l$，$\therefore OC// AD$，$\therefore ∠ CAD=∠ ACO=∠ CAB$.$\because ∠ D=∠ ACB=90^{\circ}$，$\therefore △ ABC∽ △ ACD$； （2）$\because AC=5$，$CD=4$，$∠ ADC=90^{\circ}$，$\therefore AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=3$.$\because △ ABC∽ △ ACD$，$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，$\therefore \frac{AB}{5}=\frac{5}{3}$，$\therefore AB=\frac{25}{3}$，$\therefore$ 半径为$\frac{25}{6}$.