登录
1. 下列四组图形中，一定相似的是 (
A.正方形与矩形
B.正方形与菱形
C.菱形与菱形
D.正五边形与正五边形
D
)A.正方形与矩形
B.正方形与菱形
C.菱形与菱形
D.正五边形与正五边形
答案
1. D
2. 如图，若 $ AB // CD // EF $，则下列结论中，与 $ \frac{AD}{AF} $ 相等的是 (
A.$ \frac{AB}{EF} $
B.$ \frac{CD}{EF} $
C.$ \frac{BO}{OE} $
D.$ \frac{BC}{BE} $
D
)A.$ \frac{AB}{EF} $
B.$ \frac{CD}{EF} $
C.$ \frac{BO}{OE} $
D.$ \frac{BC}{BE} $
答案
2. D
解析
解：
∵$AB // CD // EF$，
∴由平行线分线段成比例定理得：$\frac{AD}{AF} = \frac{BC}{BE}$。
D
∵$AB // CD // EF$，
∴由平行线分线段成比例定理得：$\frac{AD}{AF} = \frac{BC}{BE}$。
D
3. (2023·恩施)如图，在 $ △ ABC $ 中，$ DE // BC $ 分别交 $ AC $，$ AB $ 于点 $ D $，$ E $，$ EF // AC $ 交 $ BC $ 于点 $ F $，$ \frac{AE}{BE} = \frac{2}{5} $，$ BF = 8 $，则 $ DE $ 的长为 (
A.$ \frac{16}{5} $
B.$ \frac{16}{7} $
C.2
D.3
A
)A.$ \frac{16}{5} $
B.$ \frac{16}{7} $
C.2
D.3
答案
3. A
解析
证明：
∵ $ DE // BC $，$ EF // AC $，
∴ 四边形 $ EFCD $ 是平行四边形，
∴ $ DE = FC $。
∵ $ EF // AC $，
∴ $ \frac{BF}{FC} = \frac{BE}{AE} $。
∵ $ \frac{AE}{BE} = \frac{2}{5} $，
∴ $ \frac{BE}{AE} = \frac{5}{2} $，即 $ \frac{BF}{FC} = \frac{5}{2} $。
∵ $ BF = 8 $，
∴ $ \frac{8}{FC} = \frac{5}{2} $，解得 $ FC = \frac{16}{5} $。
∵ $ DE = FC $，
∴ $ DE = \frac{16}{5} $。
答案：A. $ \frac{16}{5} $
∵ $ DE // BC $，$ EF // AC $，
∴ 四边形 $ EFCD $ 是平行四边形，
∴ $ DE = FC $。
∵ $ EF // AC $，
∴ $ \frac{BF}{FC} = \frac{BE}{AE} $。
∵ $ \frac{AE}{BE} = \frac{2}{5} $，
∴ $ \frac{BE}{AE} = \frac{5}{2} $，即 $ \frac{BF}{FC} = \frac{5}{2} $。
∵ $ BF = 8 $，
∴ $ \frac{8}{FC} = \frac{5}{2} $，解得 $ FC = \frac{16}{5} $。
∵ $ DE = FC $，
∴ $ DE = \frac{16}{5} $。
答案：A. $ \frac{16}{5} $
4. 如图，点 $ P $ 在 $ △ ABC $ 的边 $ AC $ 上，要判断 $ △ ABP ∼ △ ACB $，添加一个条件，不正确的是 (
A.$ ∠ ABP = ∠ C $
B.$ ∠ APB = ∠ ABC $
C.$ \frac{AP}{AB} = \frac{AB}{AC} $
D.$ \frac{AB}{BP} = \frac{AC}{CB} $
D
)A.$ ∠ ABP = ∠ C $
B.$ ∠ APB = ∠ ABC $
C.$ \frac{AP}{AB} = \frac{AB}{AC} $
D.$ \frac{AB}{BP} = \frac{AC}{CB} $
答案
4. D
解析
要判断$△ ABP ∼ △ ACB$，已知$∠ A = ∠ A$（公共角）。
A. 若$∠ ABP = ∠ C$，则两角对应相等，$△ ABP ∼ △ ACB$，正确；
B. 若$∠ APB = ∠ ABC$，则两角对应相等，$△ ABP ∼ △ ACB$，正确；
C. 若$\frac{AP}{AB} = \frac{AB}{AC}$，则两边对应成比例且夹角相等，$△ ABP ∼ △ ACB$，正确；
D. $\frac{AB}{BP} = \frac{AC}{CB}$，无法判定$△ ABP ∼ △ ACB$，不正确。
答案：D
A. 若$∠ ABP = ∠ C$，则两角对应相等，$△ ABP ∼ △ ACB$，正确；
B. 若$∠ APB = ∠ ABC$，则两角对应相等，$△ ABP ∼ △ ACB$，正确；
C. 若$\frac{AP}{AB} = \frac{AB}{AC}$，则两边对应成比例且夹角相等，$△ ABP ∼ △ ACB$，正确；
D. $\frac{AB}{BP} = \frac{AC}{CB}$，无法判定$△ ABP ∼ △ ACB$，不正确。
答案：D
5. (2023·雅安)如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ F $ 是 $ AD $ 上一点，$ CF $ 交 $ BD $ 于点 $ E $，$ CF $ 的延长线交 $ BA $ 的延长线于点 $ G $，$ EF = 1 $，$ EC = 3 $，则 $ GF $ 的长为 (
A.4
B.6
C.8
D.10
C
)A.4
B.6
C.8
D.10
答案
5. C
解析
证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AD // BC$，$AB = CD$。
第一步：证 $△ GAF ∼ △ GBC$
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ GFA = ∠ GCB$，$∠ GAF = ∠ GBC$，
∴ $△ GAF ∼ △ GBC$，
∴ $\frac{GF}{GC} = \frac{AF}{BC}$。
第二步：证 $△ DEF ∼ △ BEC$
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ FDE = ∠ CBE$，$∠ DFE = ∠ BCE$，
∴ $△ DEF ∼ △ BEC$，
∴ $\frac{DF}{BC} = \frac{EF}{EC} = \frac{1}{3}$，
设 $DF = k$，则 $BC = 3k$，
∵ $AD = BC = 3k$，
∴ $AF = AD - DF = 3k - k = 2k$，
∴ $\frac{AF}{BC} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3}$。
第三步：求 $GF$
由 $\frac{GF}{GC} = \frac{2}{3}$，且 $GC = GF + EF + EC = GF + 1 + 3 = GF + 4$，
∴ $\frac{GF}{GF + 4} = \frac{2}{3}$，
解得 $GF = 8$。
答案：$\boxed{C}$
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AD // BC$，$AB = CD$。
第一步：证 $△ GAF ∼ △ GBC$
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ GFA = ∠ GCB$，$∠ GAF = ∠ GBC$，
∴ $△ GAF ∼ △ GBC$，
∴ $\frac{GF}{GC} = \frac{AF}{BC}$。
第二步：证 $△ DEF ∼ △ BEC$
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ FDE = ∠ CBE$，$∠ DFE = ∠ BCE$，
∴ $△ DEF ∼ △ BEC$，
∴ $\frac{DF}{BC} = \frac{EF}{EC} = \frac{1}{3}$，
设 $DF = k$，则 $BC = 3k$，
∵ $AD = BC = 3k$，
∴ $AF = AD - DF = 3k - k = 2k$，
∴ $\frac{AF}{BC} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3}$。
第三步：求 $GF$
由 $\frac{GF}{GC} = \frac{2}{3}$，且 $GC = GF + EF + EC = GF + 1 + 3 = GF + 4$，
∴ $\frac{GF}{GF + 4} = \frac{2}{3}$，
解得 $GF = 8$。
答案：$\boxed{C}$
6. 如图是由 8 个小正方形组成的网格，则在 $ △ ABD $，$ △ ACD $，$ △ EBD $，$ △ EAF $ 中，与 $ △ ABC $ 相似的有 (
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
B
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
6. B
解析
设小正方形边长为1。
$△ABC$中，$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=1$，$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
$△ABD$中，$AB=\sqrt{2}$，$BD=2$，$AD=\sqrt{5}$，三边比$\sqrt{2}:2:\sqrt{5}$，与$△ABC$不同，不相似。
$△ACD$中，$AC=\sqrt{5}$，$CD=1$，$AD=\sqrt{5}$，三边比$\sqrt{5}:1:\sqrt{5}$，与$△ABC$不同，不相似。
$△EBD$中，$EB=2\sqrt{2}$，$BD=2$，$ED=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，三边比$2\sqrt{2}:2:2\sqrt{5}=\sqrt{2}:1:\sqrt{5}$，与$△ABC$三边比$\sqrt{2}:1:\sqrt{5}$相同，相似。
$△EAF$中，$EA=\sqrt{2}$，$AF=1$，$EF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，三边比$\sqrt{2}:1:\sqrt{5}$，与$△ABC$相同，相似。
综上，与$△ABC$相似的有2个。
B
$△ABC$中，$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=1$，$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
$△ABD$中，$AB=\sqrt{2}$，$BD=2$，$AD=\sqrt{5}$，三边比$\sqrt{2}:2:\sqrt{5}$，与$△ABC$不同，不相似。
$△ACD$中，$AC=\sqrt{5}$，$CD=1$，$AD=\sqrt{5}$，三边比$\sqrt{5}:1:\sqrt{5}$，与$△ABC$不同，不相似。
$△EBD$中，$EB=2\sqrt{2}$，$BD=2$，$ED=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，三边比$2\sqrt{2}:2:2\sqrt{5}=\sqrt{2}:1:\sqrt{5}$，与$△ABC$三边比$\sqrt{2}:1:\sqrt{5}$相同，相似。
$△EAF$中，$EA=\sqrt{2}$，$AF=1$，$EF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，三边比$\sqrt{2}:1:\sqrt{5}$，与$△ABC$相同，相似。
综上，与$△ABC$相似的有2个。
B
7. 甲、乙两地的实际距离为 $ 250 \mathrm{ km} $，如果画在比例尺为 $ 1:5000000 $ 的地图上，那么甲、乙两地的图上距离是
5
$ \mathrm{cm} $。答案
7. 5
解析
250km=25000000cm，图上距离=实际距离×比例尺=25000000×$\frac{1}{5000000}$=5cm
8. 如图，直线 $ l_1 $，$ l_2 $，$ ··· $，$ l_6 $ 是一组等距离的平行线，过直线 $ l_1 $ 上的点 $ A $ 作两条射线，分别与直线 $ l_3 $，$ l_6 $ 相交于点 $ B $，$ E $，$ C $，$ F $。若 $ BC = 2 $，则 $ EF $ 的长是
5
。答案
8. 5
解析
解：设相邻两条平行线间的距离为$d$，则点$A$到$l_3$的距离为$2d$，到$l_6$的距离为$5d$。
由平行线分线段成比例定理得：$\frac{BC}{EF}=\frac{2d}{5d}=\frac{2}{5}$。
因为$BC = 2$，所以$\frac{2}{EF}=\frac{2}{5}$，解得$EF = 5$。
5
由平行线分线段成比例定理得：$\frac{BC}{EF}=\frac{2d}{5d}=\frac{2}{5}$。
因为$BC = 2$，所以$\frac{2}{EF}=\frac{2}{5}$，解得$EF = 5$。
5
