4. 如图6，在正方形ABCD中，E是AD上任意一点，CF $ \bot $ BE于点F，AG $ \bot $ BE于点G.求证：AG=BF.

4. 提示:证$△ ABG≌△ BCF$.

5. 如图7-1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE.
(1) 求证： $ B E=D E. $
(2) 如图7-2，过点E作 $ EF\bot DE $，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
$ \textcircled{1} $求证：矩形DEFG是正方形；
$ \textcircled{2} $若正方形ABCD的边长为9，CG= $ 3 \sqrt{2} $ ，求正方形DEFG的边长.

5. (1)$\because$在正方形$ABCD$中,$\therefore AB=AD$,$∠ BAE=∠ DAE=45°$,$AE=AE$,$\therefore△ ABE≌△ ADE(\mathrm{SAS})$,$\therefore BE=DE$.
(2)①如图1,作$EP⊥ CD$于点$P$,$EQ⊥ BC$于点$Q$,$\because$在正方形$ABCD$中,$\therefore∠ DCA=∠ BCA=45°$,$\therefore△ ECP$和$△ ECQ$均为等腰直角三角形,由勾股定理可得$EQ=EP$. $\because∠ QEF+∠ FEC=45°$,$∠ PED+∠ FEC=45°$,$\therefore∠ QEF=∠ PED$,$\therefore△ EQF≌△ EPD(\mathrm{ASA})$,$\therefore EF=ED$,$\therefore$矩形$DEFG$是正方形.
②如图2,$\because$在正方形$ABCD$,正方形$DEFG$中,$\therefore AD=CD$,$ED=GD$. $\because∠ ADE+∠ EDC=90°$,$∠ CDG+∠ EDC=90°$,$\therefore∠ ADE=∠ CDG$,$\therefore△ ADE≌△ CDG(\mathrm{SAS})$,$\therefore AE=CG=3\sqrt{2}$. 过点$E$作$EM⊥ AD$于$M$,则$△ AEM$是等腰直角三角形,根据勾股定理得$AM=EM=3$,$\therefore DM=AD - AM=9 - 3=6$,$\therefore DE=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=3\sqrt{5}$,即正方形$DEFG$的边长为$3\sqrt{5}$.