1. $\tan 60^{\circ}$的值等于()
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2

C

$\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$，答案选C。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 13$,$BC = 5$,则$\sin A$的值是()

A.$\frac{5}{13}$
B.$\frac{12}{13}$
C.$\frac{5}{12}$
D.$\frac{13}{5}$

A

在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 13$，$BC = 5$。
根据正弦的定义，$\sin A=\frac{BC}{AB}$。
所以$\sin A=\frac{5}{13}$。
A

3. 如图,已知$45^{\circ} \lt \angle A \lt 90^{\circ}$,则下列各式成立的是()

A.$\sin A = \cos A$
B.$\sin A \gt \cos A$
C.$\sin A \gt \tan A$
D.$\sin A \lt \cos A$

B

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，则$\sin A=\frac{BC}{AB}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}$。
因为$45°\lt\angle A\lt90°$，所以$\angle A\gt45°$，则$\angle B=90°-\angle A\lt45°$，故$\angle A\gt\angle B$，所以$BC\gt AC$（大角对大边）。
因此，$\frac{BC}{AB}\gt\frac{AC}{AB}$，即$\sin A\gt\cos A$。
$\tan A=\frac{BC}{AC}\gt1$，而$\sin A\lt1$，所以$\sin A\lt\tan A$。
综上，成立的是选项B。
B

4. 如图,$AB$为斜坡,$D是斜坡AB$上一点,斜坡$AB的坡度为i$,坡角为$\alpha$,$AC \perp BM于点C$,下列式子中正确的有()
①$i = AC:AB$；②$i = (AC - DE):EC$；③$i = \tan \alpha = \frac{DE}{BE}$；④$AC = i \cdot BC$。

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

C

解：①斜坡坡度$i$为铅直高度与水平宽度的比，$AC$为铅直高度，$BC$为水平宽度，故$i = AC:BC$，①错误；
②$DE$为$D$点铅直高度，$BE$为$D$点水平宽度，$AC - DE$为$A$到$D$的铅直高度差，$EC = BC - BE$为水平宽度差，坡度是整体铅直与水平比，非差的比，②错误；
③坡角$\alpha$的正切值$\tan\alpha=\frac{AC}{BC}=i$，$DE\perp BM$，则$\tan\alpha=\frac{DE}{BE}$，故$i = \tan\alpha=\frac{DE}{BE}$，③正确；
④由$i = \frac{AC}{BC}$，得$AC = i\cdot BC$，④正确。
综上，正确的有③④，共2个。
答案：B

5. 菱形$OABC$在平面直角坐标系中的位置如图所示,$\angle AOC = 45^{\circ}$,$OC = \sqrt{2}$,则点$B$的坐标为()

A.$(\sqrt{2},1)$
B.$(1,\sqrt{2})$
C.$(\sqrt{2} + 1,1)$
D.$(1,\sqrt{2} + 1)$

C

解：过点$C$作$CD \perp x$轴于点$D$。
在$Rt\triangle OCD$中，$\angle AOC = 45°$，$OC = \sqrt{2}$，
$\therefore OD = OC \cdot \cos 45° = \sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$，
$CD = OC \cdot \sin 45° = \sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$，
$\therefore$点$C$坐标为$(1,1)$。
$\because$菱形$OABC$中，$OA = OC = \sqrt{2}$，
$\therefore$点$A$坐标为$(\sqrt{2},0)$。
$\because BC // OA$且$BC = OA = \sqrt{2}$，
$\therefore$点$B$横坐标为$1 + \sqrt{2}$，纵坐标为$1$，
$\therefore$点$B$坐标为$(\sqrt{2} + 1,1)$。
C

6. 如图,先锋村准备在坡角为$\alpha$的山坡上植树,要求相邻两棵树之间的水平距离为$5\mathrm{m}$,那么相邻两棵树的坡面距离为()

A.$5\cos \alpha$
B.$\frac{5}{\cos \alpha}$
C.$5\sin \alpha$
D.$\frac{5}{\sin \alpha}$

B

解：设相邻两棵树的坡面距离为$l$。
由题意知，水平距离为$5\,m$，坡角为$\alpha$。
在直角三角形中，$\cos\alpha=\frac{水平距离}{坡面距离}=\frac{5}{l}$。
解得$l=\frac{5}{\cos\alpha}$。
B