6. 如图,△ABC是边长为2的等边三角形,将△ABC沿直线BC向右平移,使点B与点C重合,得到△DCE,连接BD,交AC于点F.
(1)猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论；
(2)求线段BD的长.

解：​(1)AC⊥BD，​证明如下：
∵​△ABC​是等边三角形，∴​AB=BC=2，​​∠ABC=∠ACB=60°​
∵​ DCE​由​△ABC​平移得到的
∴​DC=AB=BC=CE=DE=2，​​∠DCE=∠ABC=∠ACB=60°​
∴$​∠CBD=∠CDB=\frac 12∠DCE=30°​$
∴​∠BF C=180°-∠CBD-∠ACB=90°，​∴​AC⊥BD​
​(2)​∵​∠ACB=∠E=60°，​∴​AC//DE​
∵​BD⊥AC，​∴​BD⊥DE，​∴​∠BDE=90°​
∵​BE=BC+CE=4，​​DE=2，​∴$​BD=\sqrt {BE^2-DE^2}=2\sqrt 3​$

7. 如图,在边长为2的等边三角形ABC中,分别以点A,C为圆心,m为半径作弧,两弧交于点D,连接BD.若BD的长为2√{3},则m的值为______.

​ 2​或$​2\sqrt 7​$

8. 我们把对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,若AB= 5,CD= 6,则$AD^2+BC^2= $_________.

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9. 如图,P是等边三角形ABC内一点,且PA= 6,PB= 8,PC= 10,若将△PAC绕点A按逆时针方向旋转后,得到△P'AB.求：
(1)PP'的长度；
(2)∠APB的度数.

解：​(1)​∵​∆P AC​绕点​A​逆时针旋转得到​∆P'AB​
∴​AP'=AP=6，​​∠P'AP=∠BAC=60°​
∴​∆P'AP ​是等边三角形
∴​PP'=AP=6​
​(2)​∵​P'B=P C=10，​​P'P=6，​​P B=8​
∴$​P'P^2 + P B^2=6^2 + 8^2=100=P'B^2​$
∴​∠P'P B=90°​
∴​∠AP B=∠APP' + ∠P'P B=60° + 90°=150°​