10. 如图,两个村庄A,B在河的同侧,A,B两村到河的距离分别为AC= 1km,BD= 3km,且CD= 3km.现要在河边CD上建造一水厂,向A,B两村送自来水.铺设水管的工程费用为每千米20000元,请你在CD上选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用W.

解：延长​ AC ​到点​ M，​使​ CM=AC，​连接​ BM ​交​ CD ​于点​ P​
点​ P ​就是所选择的位置
在直角三角形​BMN ​中，​BN=3+1=4，​​MN=3​
∴$​MB=\sqrt {MN^2+BN^2}=5(​$千米​)​
∴​ ​最短路线​ AP+BP=MB=5​
最省的铺设管道的费用为​ W=5×20000=100000(​元​)​
答：最省的铺设管道的费用是​ 10 ​万元。

11. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 4,BC= 3,点P是边AB上一点,连接CP,将△ACP沿CP翻折得到△QCP.若PQ⊥AB,垂足为P,求BP的长.

解：过点​C​作​CH⊥AB​于点​H​
由翻折的性质可知​∠AP C=∠QP C​
∵​PQ⊥P A，​∴​∠APQ=90°​
∴​∠AP C=∠QP C=135°​
∴​∠BP C+∠QP B=135°​
∵​∠QP B=90°，​∴​∠BP C=45°​
∵​CH⊥AB，​∴​∠PHC=90°​
∴​∠HCP=∠BP C=45°，​∴​CH=PH​
在​Rt △ABC​中，$​AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {4^2+3^2}=5​$
∵$​S_{△ABC}=\frac 12\ \mathrm {A}B·CH=\frac 12\ \mathrm {A}C·BC​$
∴$​CH=\frac {12}5，$$​​BH=\sqrt {BC^2-CH^2}=\frac 95​$
∴$​P B=PH+BH=\frac {12}5+\frac 95=\frac {21}5​$