10. (★★)如图28.2 - 28,在港口$A处的正东方向有两个相距6km的观测点B$,$C$。一艘轮船从$A$处出发,沿北偏东$26^{\circ}方向航行至D$处,在$B$,$C处分别测得\angle ABD = 45^{\circ}$,$\angle C = 37^{\circ}$。求轮船航行的距离$AD$。(参考数据：$\sin26^{\circ}\approx0.44$,$\cos26^{\circ}\approx0.90$,$\tan26^{\circ}\approx0.49$,$\sin37^{\circ}\approx0.60$,$\cos37^{\circ}\approx0.80$,$\tan37^{\circ}\approx0.75$)

20km

设AD的距离为$ x $km，过点D作$ DH \perp AC $于点H，垂足为H。
步骤1：表示DH及相关线段
轮船沿北偏东$ 26° $方向航行，故$ \angle DAH = 90° - 26° = 64° $。在$ Rt\triangle DAH $中：
$ DH = AD \cdot \cos26° \approx x \cdot 0.90 = 0.9x $（$ DH $为D到AC的垂直距离，即高$ h $）；
$ AH = AD \cdot \sin26° \approx x \cdot 0.44 = 0.44x $（$ AH $为A到垂足H的距离）。
步骤2：利用$ \angle ABD = 45° $建立关系
在$ Rt\triangle DHB $中，$ \angle ABD = 45° $，则$ \tan45° = \frac{DH}{BH} = 1 $，故$ BH = DH = 0.9x $。
设$ AB = m $，因H在A、B之间，有$ BH = AB - AH $，即$ m - 0.44x = 0.9x $，解得$ m = 1.34x $。
步骤3：利用$ \angle C = 37° $建立关系
$ AC = AB + BC = m + 6 $（$ BC = 6 $km），则$ CH = AC - AH = (m + 6) - 0.44x $。
将$ m = 1.34x $代入得：$ CH = 1.34x + 6 - 0.44x = 0.9x + 6 $。
在$ Rt\triangle DHC $中，$ \angle C = 37° $，$ \tan37° = \frac{DH}{CH} \approx 0.75 $，故$ CH = \frac{DH}{0.75} = \frac{0.9x}{0.75} = 1.2x $。
步骤4：求解x
由$ CH = 0.9x + 6 $和$ CH = 1.2x $得：
$ 1.2x = 0.9x + 6 $
$ 0.3x = 6 $
$ x = 20 $

11. (★★)为保护商船的顺利通行,我海军某部奉命前往某国际海域执行护航任务。某天我军护航舰正在某小岛$A北偏西45^{\circ}并距该岛20海里的B$处待命,位于该岛正西方向$C$处的某商船遭到海盗袭击,船长发现在其北偏东$60^{\circ}$的方向上有我军护航舰(如图28.2 - 29),便发出紧急求救信号。我军护航舰接警后,立即沿$BC航线以60$海里/时的速度前去救援。我军护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置$C$处？(结果保留整数。参考数据：$\sqrt{2}\approx1.4$,$\sqrt{3}\approx1.7$)

过点B作BD⊥AC于点D。
在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AB=20海里，
∴BD=AB·sin45°=20×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=10$\sqrt{2}$海里，
AD=AB·cos45°=20×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=10$\sqrt{2}$海里。
由题意，∠BCD=30°（商船C北偏东60°得BC与水平方向夹角30°）。
在Rt△BDC中，∠BCD=30°，BD=10$\sqrt{2}$海里，
∴BC=$\frac{BD}{sin30°}$=$\frac{10\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$=20$\sqrt{2}$≈20×1.4=28海里。
时间t=$\frac{BC}{速度}$=$\frac{28}{60}$小时=28分钟。
答：28分钟。

12. (★★★)阅读材料：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,$\frac{a}{\sin A}= \frac{b}{\sin B}= \frac{c}{\sin C}$。利用上述结论可以求解如下题目：
在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C的对边分别为a$,$b$,$c$。若$\angle A = 45^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$a = 6$,求$b$。
解：在$\triangle ABC$中,$\because\frac{a}{\sin A}= \frac{b}{\sin B}$,$\therefore b = \frac{a\sin B}{\sin A}= \frac{6\sin30^{\circ}}{\sin45^{\circ}}=\frac{6×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{2}$。
理解应用：如图28.2 - 30,甲船以每小时$30\sqrt{2}$海里的速度向正北方向航行,当甲船位于$A_1$处时,乙船位于甲船的北偏西$105^{\circ}方向的B_1$处,且乙船从$B_1处按北偏东15^{\circ}$方向匀速直线航行,当甲船航行$20分钟到达A_2$时,乙船航行到甲船的北偏西$120^{\circ}方向的B_2$处,此时两船相距$10\sqrt{2}$海里。
(1) 判断$\triangle A_1A_2B_2$的形状,并给出证明；
(2) 求乙船每小时航行多少海里。

(1)等边三角形；(2)20√3。

(1) △A₁A₂B₂是等边三角形。证明：甲船航行20分钟（即1/3小时）的距离A₁A₂=30√2×(1/3)=10√2海里。由题意知A₂B₂=10√2海里。甲船向正北航行，B₂在A₂北偏西120°方向，故∠B₂A₂A₁=180°-120°=60°。在△A₁A₂B₂中，A₁A₂=A₂B₂=10√2海里，∠A₁A₂B₂=60°，
∴△A₁A₂B₂是等边三角形。
(2) 20√3海里。
解：由(1)知△A₁A₂B₂是等边三角形，
∴A₁B₂=A₁A₂=10√2海里，∠B₂A₁A₂=60°。
B₁在A₁北偏西105°方向，
∴∠B₁A₁A₂=105°，则∠B₁A₁B₂=105°-60°=45°。
乙船从B₁沿北偏东15°航行，B₁正北方向与A₁A₂平行，∠B₁A₁正北=105°，故B₁A₁与B₁正北夹角75°，则∠A₁B₁B₂=75°-15°=60°。
在△B₁A₁B₂中，由正弦定理：B₁B₂/sin45°=A₁B₂/sin60°，即B₁B₂=(10√2×√2/2)/(√3/2)=20√3/3海里。
乙船航行时间20分钟=1/3小时，速度=20√3/3÷(1/3)=20√3海里/小时。