7. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AB$的垂直平分线$MN$交$AC$于点$D$. 若$\angle C = 72^{\circ}$，求证：$\triangle BCD$为等腰三角形.

证明：
由于$AB = AC$，
根据等腰三角形的性质，等边对等角，
所以$\angle ABC = \angle C = 72°$。
根据三角形内角和为$180°$，
所以$\angle A = 180° - 2 × 72° = 36°$。
根据线段垂直平分线的性质，
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，
所以$AD = BD$，
所以$\angle ABD = \angle A = 36°$。
根据$\angle BDC$是$\triangle ABD$的外角，
所以$\angle BDC = \angle A + \angle ABD = 36° + 36° = 72°$。
由于$\angle BDC = \angle C = 72°$，
根据等角对等边，
所以$BC = BD$。
因此，$\triangle BCD$为等腰三角形。

8. 如图，$D$是$\triangle ABC$的边$BC$上的一点，$\angle B = 40^{\circ}$，$\angle ADC = 80^{\circ}$.
(1) 求证：$AD = BD$；
(2) 若$\angle BAC = 70^{\circ}$，判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由.

(1) 证明：
∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=80°，∠B=40°，
∴∠BAD=∠ADC - ∠B=80° - 40°=40°，
∴∠BAD=∠B，
∴AD=BD.
(2) △ABC是等腰三角形.
理由：
∵∠BAC=70°，∠B=40°，
∴∠C=180° - ∠BAC - ∠B=180° - 70° - 40°=70°，
∴∠BAC=∠C，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形.

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$D$，$E$，$F$分别在$AB$，$BC$，$AC$边上，且$BE = CF$，$BD = CE$.
(1) 求证：$\triangle DEF$是等腰三角形；
(2) 当$\angle A = 40^{\circ}$时，求$\angle DEF$的度数.

(1)
$\because AB = AC$，
$\therefore \angle B = \angle C$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CEF$中，
$\begin{cases}BD = CE \\\angle B = \angle C \\BE = CF\end{cases}$
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle CEF(SAS)$，
$\therefore DE = EF$，
$\therefore \triangle DEF$是等腰三角形。
(2)
$\because \triangle BDE \cong \triangle CEF$，
$\therefore \angle BDE = \angle CEF$，
$\because \angle A = 40^{\circ}$，$AB = AC$，
$\therefore \angle B = \angle C=\frac{1}{2}×(180^{\circ} - 40^{\circ}) = 70^{\circ}$，
$\because \angle BDE + \angle BED = 110^{\circ}$，
$\therefore \angle CEF + \angle BED = 110^{\circ}$，
$\therefore \angle DEF = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$。
综上，(1) 已证$\triangle DEF$是等腰三角形；(2) $\angle DEF$的度数为$70^{\circ}$。

10. 如图，已知点$A$，$B$的坐标分别为$(3,0)$和$(0,5)$，在坐标轴上确定一点$C$，使$\triangle ABC$是等腰三角形，则符合条件的点$C$共有().

A.4个
B.6个
C.8个
D.10个

C

已知点$A(3,0)$，$B(0,5)$，$AB=\sqrt{(3-0)^2+(0-5)^2}=\sqrt{34}$。点$C$在坐标轴上，分两种情况讨论：
情况一：点$C$在$x$轴上，设$C(c,0)$
1. $AB=AC$：$AC=|c-3|=\sqrt{34}$，解得$c=3\pm\sqrt{34}$，得2个点；
2. $AB=BC$：$BC=\sqrt{c^2+25}=\sqrt{34}$，$c^2=9$，$c=\pm3$，$c=3$与$A$重合舍去，得$c=-3$，1个点；
3. $AC=BC$：$|c-3|=\sqrt{c^2+25}$，解得$c=-\frac{8}{3}$，得1个点。
$x$轴上共$2+1+1=4$个点。
情况二：点$C$在$y$轴上，设$C(0,d)$
1. $AB=AC$：$AC=\sqrt{9+d^2}=\sqrt{34}$，$d^2=25$，$d=\pm5$，$d=5$与$B$重合舍去，得$d=-5$，1个点；
2. $AB=BC$：$BC=|d-5|=\sqrt{34}$，解得$d=5\pm\sqrt{34}$，得2个点；
3. $AC=BC$：$\sqrt{9+d^2}=|d-5|$，解得$d=\frac{8}{5}$，得1个点。
$y$轴上共$1+2+1=4$个点。
综上，符合条件的点$C$共$4+4=8$个。