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4. 如图，C是AB的中点，CD = BE，CD//BE。求证：∠D = ∠E。
答案
证明：
∵ C是AB的中点，
∴ AC = BC。
∵ CD//BE，
∴ ∠ACD = ∠B。
在△ACD和△CBE中，
AC = CB，
∠ACD = ∠B，
CD = BE，
∴ △ACD ≌ △CBE（SAS）。
∴ ∠D = ∠E。
∵ C是AB的中点，
∴ AC = BC。
∵ CD//BE，
∴ ∠ACD = ∠B。
在△ACD和△CBE中，
AC = CB，
∠ACD = ∠B，
CD = BE，
∴ △ACD ≌ △CBE（SAS）。
∴ ∠D = ∠E。
5. （2024曲靖期中）如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB于点E，AB = CD，AE = CE。求证：∠B = ∠D。
答案
证明：
∵ CD⊥AB于点E，
∴ ∠AE C=∠CEB=∠AED=90°。
在△AEC中，AE=CE，∠AEC=90°，
∴ ∠CAE=∠ACE=45°。
∵ AB=CD，AE=CE，
∴ AB - AE = CD - CE，即 BE=DE。
在△CEB和△AED中，
CE=AE，
∠CEB=∠AED，
BE=DE，
∴ △CEB≌△AED（SAS）。
∴ ∠B=∠D。
∵ CD⊥AB于点E，
∴ ∠AE C=∠CEB=∠AED=90°。
在△AEC中，AE=CE，∠AEC=90°，
∴ ∠CAE=∠ACE=45°。
∵ AB=CD，AE=CE，
∴ AB - AE = CD - CE，即 BE=DE。
在△CEB和△AED中，
CE=AE，
∠CEB=∠AED，
BE=DE，
∴ △CEB≌△AED（SAS）。
∴ ∠B=∠D。
6. 要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图的卡钳，O为卡钳两柄的交点，且有OA = OB = OC = OD。如果圆形工件恰好通过卡钳AB，那么此工件的外径必是CD之长，其中的判定依据是。
答案
SAS
解析
在△AOB和△COD中，
OA = OC，
OB = OD，
由于对顶角相等，所以∠AOB = ∠COD。
根据边角边（SAS）全等判定，△AOB ≌ △COD。
因此，AB = CD。
OA = OC，
OB = OD，
由于对顶角相等，所以∠AOB = ∠COD。
根据边角边（SAS）全等判定，△AOB ≌ △COD。
因此，AB = CD。
7. “倍长中线法”是解决几何问题的重要方法。所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法：如图，AD是△ABC的中线，延长AD到点E，使DE = AD，连接BE，构造出△BED和△CAD。求证：△BED ≌ △CAD。
答案
证明：
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，
所以$BD = CD$。
因为$\angle ADC = \angle BDE$（对顶角相等），
在$\triangle BED$和$\triangle CAD$中，
$\begin{cases}BD = CD \\\angle BDE = \angle CDA\\DE = DA\end{cases}$
所以$\triangle BED \cong \triangle CAD(SAS)$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，
所以$BD = CD$。
因为$\angle ADC = \angle BDE$（对顶角相等），
在$\triangle BED$和$\triangle CAD$中，
$\begin{cases}BD = CD \\\angle BDE = \angle CDA\\DE = DA\end{cases}$
所以$\triangle BED \cong \triangle CAD(SAS)$。
8. 如图，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE，B，D，E三点共线，∠1 = 25°，∠2 = 30°，则∠3等于()。
A.60°
B.55°
C.50°
D.无法计算
A.60°
B.55°
C.50°
D.无法计算
答案
B
解析
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
AB=AC（已知），
∠BAD=∠CAE（已证），
AD=AE（已知），
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
∴∠ABD=∠ACE=∠2=30°（全等三角形对应角相等）。
在△ABD中，∠1=25°，∠ABD=30°，
∴∠ADB=180°-∠1-∠ABD=180°-25°-30°=125°。
∵B，D，E三点共线，
∴∠ADB+∠ADE=180°（邻补角定义），
∴∠ADE=180°-∠ADB=180°-125°=55°。
∵AD=AE，
∴△ADE为等腰三角形，∠ADE=∠AED=55°，即∠3=55°。
9. (易错题)如图，CA平分∠DCB，CB = CD，DA的延长线交BC于点E。若∠EAC = 49°，则∠BAE的度数为。
答案
【解析】：
∵CA平分∠DCB，
∴∠DCA=∠BCA。在△DCA和△BCA中，CD=CB，∠DCA=∠BCA，CA=CA，
∴△DCA≌△BCA(SAS)。
∴∠DAC=∠BAC。设∠BAE=y，∠EAC=49°，则∠BAC=∠BAE+∠EAC=y+49°，故∠DAC=∠BAC=y+49°。
∵DA延长线交BC于E，
∴E、A、D共线，∠EAD=180°。
∴∠DAC+∠EAC=180°，即(y+49°)+49°=180°，解得y=82°。
【答案】：82°
∵CA平分∠DCB，
∴∠DCA=∠BCA。在△DCA和△BCA中，CD=CB，∠DCA=∠BCA，CA=CA，
∴△DCA≌△BCA(SAS)。
∴∠DAC=∠BAC。设∠BAE=y，∠EAC=49°，则∠BAC=∠BAE+∠EAC=y+49°，故∠DAC=∠BAC=y+49°。
∵DA延长线交BC于E，
∴E、A、D共线，∠EAD=180°。
∴∠DAC+∠EAC=180°，即(y+49°)+49°=180°，解得y=82°。
【答案】：82°
10. (2024大理期中)如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1。若∠1 = 18°，则∠2的度数为。
答案
72
解析
在3×3方格中，构造含∠1和∠2的直角三角形。设∠1所在直角三角形两直角边为1和3，∠2所在直角三角形两直角边也为1和3，可证两直角三角形全等（SAS）。全等直角三角形的两锐角互余，故∠1+∠2=90°。已知∠1=18°，则∠2=90°-18°=72°。
