1. 如图，B 是线段 AC 的中点，AD//BE，BD//CE. 求证：△ABD≌△BCE.

证明：
因为$B$是线段$AC$的中点，所以$AB = BC$。
因为$AD// BE$，所以$\angle A=\angle EBC$。
因为$BD// CE$，所以$\angle ABD = \angle C$。
在$\triangle ABD$和$\triangle BCE$中：
$\begin{cases}\angle A=\angle EBC\\AB = BC\\\angle ABD = \angle C\end{cases}$
所以$\triangle ABD\cong\triangle BCE(ASA)$。

2. 如图，AB = AD，BC = DC，点 E 在 AC 上. 求证：
(1)AC 平分∠BAD；
(2)BE = DE.

(1)证明：在$\triangle ABC$和$\triangle ADC$中，
$\begin{cases}AB = AD \\BC = DC \\AC = AC\end{cases}$
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle ADC(SSS)$，
$\therefore \angle BAC = \angle DAC$，
即$AC$平分$\angle BAD$。
(2)由（1）知$\angle BAE = \angle DAE$，
在$\triangle ABE$和$\triangle ADE$中，
$\begin{cases}AB = AD \\\angle BAE = \angle DAE \\AE = AE\end{cases}$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle ADE(SAS)$，
$\therefore BE = DE$。

3. 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C = ∠F = 90°，点 A，E，B，D 在同一条直线上，BC，EF 交于点 M，AC = DF，AB = DE，ME = MB. 求证：
(1)∠CBA = ∠FED；
(2)AM = DM.

(1) 在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∵∠C=∠F=90°，AC=DF，AB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠CBA=∠FED．
(2) ∵ME=MB，
∴∠MEB=∠MBE（等边对等角）．
由(1)知∠CBA=∠FED，即∠MBE=∠MEB，
∴∠MBA=∠MED．
在△AMB和△DME中，
∵∠AMB=∠DME（对顶角相等），MB=ME，∠MBA=∠MED，
∴△AMB≌△DME（ASA），
∴AM=DM．

4. 如图，∠A = ∠B，AE = BE，点 D 在边 AC 上，∠1 = ∠2，AE 和 BD 相交于点 O. 求证：△AEC≌△BED.

证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AEB=∠2+∠AEB（等式的性质），
即∠BED=∠AEC。
在△AEC和△BED中，
∠A=∠B（已知），
AE=BE（已知），
∠AEC=∠BED（已证），
∴△AEC≌△BED（ASA）。