8. 如图所示,已知线段 $ AB $,阅读下列语句,分别画出相应的图形.
(1) 在 $ AB $ 所在的直线外取一点 $ D $;
(2) 连接 $ BD $;
(3) 画射线 $ DA $.

(1) 在 $ AB $ 所在的直线外取一点 $ D $;
(2) 连接 $ BD $;
(3) 画射线 $ DA $.
答案
9. 如图所示,如果直线 $ l $ 上依次有 $ 3 $ 个点 $ A $,$ B $,$ C $,那么
(1) 在直线 $ l $ 上共有多少条射线?多少条线段?
(2) 在直线 $ l $ 上增加一个点,共增加了多少条射线?多少条线段?
(3) 若在直线 $ l $ 上增加到 $ n $ 个点,则共有多少条射线?多少条线段?

(1) 在直线 $ l $ 上共有多少条射线?多少条线段?
(2) 在直线 $ l $ 上增加一个点,共增加了多少条射线?多少条线段?
(3) 若在直线 $ l $ 上增加到 $ n $ 个点,则共有多少条射线?多少条线段?
答案
(1)6条射线,3条线段 (2)2条射线,3条线段 (3)2n条射线,$\frac{1}{2}n(n-1)$条线段
解析
(1)
直线$l$上的每个点都可以向两个方向形成射线,共有3个点,所以射线数为$3 × 2 = 6$条。
线段由两个点确定,从3个点中任选两个的组合数为$C_{3}^{2} = \frac{3 × 2}{2 × 1} = 3$,所以线段数为3条。
(2)
增加一个点后,每个点仍然可以向两个方向形成射线,共有4个点,所以射线数为$4 × 2 = 8$条,增加了$8 - 6 = 2$条射线。
线段数由组合数$C_{4}^{2} = \frac{4 × 3}{2 × 1} = 6$确定,所以线段数为6条,增加了$6 - 3 = 3$条线段。
(3)
当直线$l$上有$n$个点时,每个点都可以向两个方向形成射线,所以射线数为$2n$条。
线段数由组合数$C_{n}^{2} = \frac{n(n - 1)}{2}$确定。
答案:
(1) 6条射线,3条线段。
(2) 2条射线,3条线段。
(3) $2n$条射线,$\frac{n(n - 1)}{2}$条线段。
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