7. 【数学应用】如图①,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,求这只蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程。

(一)理解问题、拟订计划
小林根据题意将圆柱表面展开成平面图形,设计了两条路线。
路线1：如图②,路线1的路程$s_1$即线段AB的长度；
路线2：如图③,路线2的路程$s_2$即线段AB的长度。
(二)实施计划
(1)小林说：“由图可知$,s_1 ＜ s_2,$所以蚂蚁沿路线1爬行时,路程最短。”
小亮却不同意小林的说法,并举两个例子：
①当圆柱的高h= 5,底面半径r= 1时$,s_1= $$,s_2= $,所以选择路线路程最短；
②当圆柱的高h= 1,底面半径r= 5时$,s_1= $$,s_2= $,所以选择路线路程最短。
(2)请你帮小亮和小林算一算,当圆柱的高h和底面半径r满足什么关系时$s_1= s_2。$

(三)回顾反思
(3)直接写出当圆柱的高h和底面半径r满足什么关系时,选择路线1路程最短；满足什么关系时,选择路线2路程最短。

解:
(1)①$\sqrt{25+\pi^{2}}$ 7 1
分析:当圆柱的高$h=5$,底面半径$r=1$时,
$s_{1}=\sqrt{5^{2}+\left(\frac{2\pi×1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{25+\pi^{2}}$,
$s_{2}=5+1×2=7$。
因为$25+\pi^{2}＜7^{2}$,
所以$s_{1}＜s_{2}$,
所以选择路线1路程最短。
②$\sqrt{1+25\pi^{2}}$ 11 2
分析:当圆柱的高$h=1$,底面半径$r=5$时,
$s_{1}=\sqrt{1^{2}+\left(\frac{2\pi×5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1+25\pi^{2}}$,
$s_{2}=1+5×2=11$。
因为$1+25\pi^{2}＞11^{2}$,
所以$s_{1}＞s_{2}$,
所以选择路线2路程最短。
(2)由题意得$s_{1}=\sqrt{h^{2}+\left(\frac{2\pi× r}{2}\right)^{2}}=\sqrt{h^{2}+\pi^{2}r^{2}}$,$s_{2}=h+2r$。
当$h^{2}+\pi^{2}r^{2}=(h+2r)^{2}$时,$s_{1}=s_{2}$,
解得$h=\frac{\pi^{2}r-4r}{4}$,
所以当$h=\frac{\pi^{2}r-4r}{4}$时,$s_{1}=s_{2}$。
(3)由
(2)得,当$h＞\frac{\pi^{2}r-4r}{4}$时,$s_{1}＜s_{2}$,
此时选择路线1路程最短;
当$h＜\frac{\pi^{2}r-4r}{4}$时,$s_{1}＞s_{2}$,
此时选择路线2路程最短。