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答案
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方 边长 正方形的面积之和 边长 正方形的面积 三角形三条边的长度$a,b,c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 6,8,10;5,12,13;7,24,25等
1. 若一直角三角形的两直角边长分别为 $6$ 和 $8$,则它斜边上的高的长为
$\frac{24}{5}$
。答案
$\frac{24}{5}$
解析
根据勾股定理，斜边长为 $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。
设斜边上的高为 $h$，直角三角形面积为 $\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$，也等于 $\frac{1}{2} × 10 × h$。
则 $\frac{1}{2} × 10 × h = 24$，解得 $h = \frac{24}{5}$。
$\frac{24}{5}$
设斜边上的高为 $h$，直角三角形面积为 $\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$，也等于 $\frac{1}{2} × 10 × h$。
则 $\frac{1}{2} × 10 × h = 24$，解得 $h = \frac{24}{5}$。
$\frac{24}{5}$
2. 如图,在长方形 $ABCD$ 中,$AB = 4$,$BC = 7$,$\angle BAD$ 的平分线 $AE$ 交 $BC$ 于点 $E$,$EF \perp DE$ 交 $AB$ 于点 $F$,则 $EF$ 的长为
5
。答案
5
解析
解：
∵四边形$ABCD$是长方形，
∴$AB=CD=4$，$AD=BC=7$，$\angle B=\angle C=\angle BAD=90°$。
∵$AE$平分$\angle BAD$，
∴$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAD=45°$，
∴$\triangle ABE$是等腰直角三角形，
∴$BE=AB=4$，
∴$EC=BC-BE=7-4=3$。
设$BF=x$，则$AF=AB-BF=4-x$。
∵$EF\perp DE$，
∴$\angle FED=90°$，
∴$\angle BEF+\angle CED=90°$。
∵$\angle C=90°$，
∴$\angle CED+\angle CDE=90°$，
∴$\angle BEF=\angle CDE$。
又
∵$\angle B=\angle C=90°$，
∴$\triangle BEF\sim\triangle CDE$，
∴$\frac{BF}{CE}=\frac{BE}{CD}$，即$\frac{x}{3}=\frac{4}{4}$，
解得$x=3$，即$BF=3$。
在$Rt\triangle BEF$中，$EF=\sqrt{BE^2+BF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
答案：5
∵四边形$ABCD$是长方形，
∴$AB=CD=4$，$AD=BC=7$，$\angle B=\angle C=\angle BAD=90°$。
∵$AE$平分$\angle BAD$，
∴$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAD=45°$，
∴$\triangle ABE$是等腰直角三角形，
∴$BE=AB=4$，
∴$EC=BC-BE=7-4=3$。
设$BF=x$，则$AF=AB-BF=4-x$。
∵$EF\perp DE$，
∴$\angle FED=90°$，
∴$\angle BEF+\angle CED=90°$。
∵$\angle C=90°$，
∴$\angle CED+\angle CDE=90°$，
∴$\angle BEF=\angle CDE$。
又
∵$\angle B=\angle C=90°$，
∴$\triangle BEF\sim\triangle CDE$，
∴$\frac{BF}{CE}=\frac{BE}{CD}$，即$\frac{x}{3}=\frac{4}{4}$，
解得$x=3$，即$BF=3$。
在$Rt\triangle BEF$中，$EF=\sqrt{BE^2+BF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
答案：5
3. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle A = 90^{\circ}$,点 $P$ 为 $AC$ 的中点,$PD \perp BC$,点 $D$ 为垂足。若 $BC = 9$,$DC = 3$,求 $AB^{2}$ 的值。
答案
解:连接BP,
则$BP^{2}-BD^{2}=PD^{2}=PC^{2}-DC^{2}$,
所以$BP^{2}-PC^{2}=BD^{2}-DC^{2}=27$。
因为点P为AC的中点，
所以$AP=PC$。
在$\triangle ABP$中,$AB^{2}=BP^{2}-AP^{2}=BP^{2}-PC^{2}=27$。
则$BP^{2}-BD^{2}=PD^{2}=PC^{2}-DC^{2}$,
所以$BP^{2}-PC^{2}=BD^{2}-DC^{2}=27$。
因为点P为AC的中点，
所以$AP=PC$。
在$\triangle ABP$中,$AB^{2}=BP^{2}-AP^{2}=BP^{2}-PC^{2}=27$。
4. 如图,在同一平面内,直线 $l$ 同侧有三个正方形 $A$,$B$,$C$。若 $A$,$C$ 的面积分别为 $9$ 和 $4$,则阴影部分的总面积为
6
。答案
6
解析
设正方形$A$的边长为$a$，正方形$C$的边长为$c$，正方形$B$的边长为$b$。
因为正方形$A$的面积为$9$，所以$a^2 = 9$，解得$a = 3$。
因为正方形$C$的面积为$4$，所以$c^2 = 4$，解得$c = 2$。
由图形可知，阴影部分为两个直角三角形，且这两个直角三角形的直角边分别为$a$、$b$和$b$、$c$（此处需根据图形中三角形与正方形的位置关系得出，假设阴影三角形的直角边分别与相邻正方形的边对应）。
通过几何关系可证这两个直角三角形全等（具体证明过程略，初中阶段可根据图形直观或简单全等判定得出），每个三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$和$\frac{1}{2}bc$，但根据正方形$B$的边长$b$与$a$、$c$的关系（如勾股定理$b^2 = a^2 + c^2$，但阴影面积计算实际与$b$无关），阴影部分总面积为$ac = 3×2 = 6$。
6
因为正方形$A$的面积为$9$，所以$a^2 = 9$，解得$a = 3$。
因为正方形$C$的面积为$4$，所以$c^2 = 4$，解得$c = 2$。
由图形可知，阴影部分为两个直角三角形，且这两个直角三角形的直角边分别为$a$、$b$和$b$、$c$（此处需根据图形中三角形与正方形的位置关系得出，假设阴影三角形的直角边分别与相邻正方形的边对应）。
通过几何关系可证这两个直角三角形全等（具体证明过程略，初中阶段可根据图形直观或简单全等判定得出），每个三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$和$\frac{1}{2}bc$，但根据正方形$B$的边长$b$与$a$、$c$的关系（如勾股定理$b^2 = a^2 + c^2$，但阴影面积计算实际与$b$无关），阴影部分总面积为$ac = 3×2 = 6$。
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