【典例1】若两个关于$x$的方程$x^2 + x + a = 0$与$x^2 + ax + 1 = 0$只有一个公共的实数根，则$a$的值为（）

A.1
B.2
C.−1
D.−2

解:设两方程的公共根为b，
则有$b^2 + b + a = 0$①，
$b^2 + ab + 1 = 0$②，
①−②得:(1−a)b + a−1 = 0，
即(1−a)(b−1)=0，
因为只有一个公共根，
故a≠1,b=1，
将b=1代入方程得，
1+1+a=0，
解得a=−2.

变式.已知关于x的方程$x^2+px+q=0$和$x^2+qx+p=0$有且仅有一个公共根，则p与q的关系是()

A.$p-q=0$
B.$p+q=0$
C.$p+q+1=0$且$p≠q$
D.$p+q+1=0$或$p≠q$

解:$(p-q)x = p-q$，
$\therefore p≠q,x=1$,代入得$1 + p + q = 0$.

【典例2】已知$abc≠0$，下列方程①$ax^2+bx+c=0$；②$bx^2+cx+a=0$；③$cx^2+ax+b=0$恰有一个公共解.
(1)给出$a,b,c$满足的条件；
(2)求出①,②,③的解.

解:(1)$\begin{cases} ax^2+bx+c=0,① \\ bx^2+cx+a=0,② \\ cx^2+ax+b=0,③ \end{cases}$
①+②+③，
$(a+b+c)(x^2+x+1)=0$，
$\therefore x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}＞0$，
$\therefore a+b+c=0$；
(2)三个方程的公共解为$x=1$，
①$1× x_1=\frac{c}{a},x_1=\frac{c}{a}$,①的解为1与$\frac{c}{a}$；
②$1× x_2=\frac{a}{b},x_2=\frac{a}{b}$,②的解为1与$\frac{a}{b}$；
③$1× x_3=\frac{b}{c},x_3=\frac{b}{c}$,③的解为1与$\frac{b}{c}$.

变式.已知关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0$和$cx^2+ax+b=0$有一个公共根，
则$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$的值为________.

解:由典例2知$a+b+c=0$，
$\therefore b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c$，
$\therefore 原式=-3$.