登录
10.某校要从四名学生中选拔一名参加“风华小主播”大赛，将多轮选拔赛的成绩（单位：分）进行分析，得到每名学生的成绩平均数$\bar{x}$及方差$s^2$，如下表所示。如果要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参赛，那么应选择的学生是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
B
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
10.B
解析
【分析】
要选出成绩好且发挥稳定的学生，需结合平均数和方差两个统计量的意义判断：首先，平均数越大代表整体成绩越好，先通过比较四人的平均数筛选出成绩更优的学生；其次，方差越小代表成绩波动越小、发挥越稳定，再在成绩更优的学生中比较方差，选出方差最小的即为符合要求的学生。
【解析】
平均数反映一组数据的平均水平，方差反映一组数据的波动大小：方差越小，数据的稳定性越好。
1. 比较平均成绩：乙和丙的平均成绩$\bar{x}=9$，高于甲和丁的$\bar{x}=8$，说明乙、丙的成绩整体更好，首先排除甲、丁；
2. 比较乙和丙的方差：乙的方差$s^2=1$，小于丙的方差$s^2=1.2$，说明乙的成绩波动更小，发挥更稳定。
综上，乙符合成绩好且发挥稳定的要求。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义；方差的意义；统计量的选择
【点评】
本题考查统计量的实际应用，解题关键是明确平均数和方差分别代表的实际含义，结合题目的选拔要求依次筛选即可，解题时注意不要搞反方差和稳定性的对应关系。
【难度系数】
0.8
要选出成绩好且发挥稳定的学生，需结合平均数和方差两个统计量的意义判断：首先，平均数越大代表整体成绩越好，先通过比较四人的平均数筛选出成绩更优的学生；其次，方差越小代表成绩波动越小、发挥越稳定，再在成绩更优的学生中比较方差，选出方差最小的即为符合要求的学生。
【解析】
平均数反映一组数据的平均水平，方差反映一组数据的波动大小：方差越小，数据的稳定性越好。
1. 比较平均成绩：乙和丙的平均成绩$\bar{x}=9$，高于甲和丁的$\bar{x}=8$，说明乙、丙的成绩整体更好，首先排除甲、丁；
2. 比较乙和丙的方差：乙的方差$s^2=1$，小于丙的方差$s^2=1.2$，说明乙的成绩波动更小，发挥更稳定。
综上，乙符合成绩好且发挥稳定的要求。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义；方差的意义；统计量的选择
【点评】
本题考查统计量的实际应用，解题关键是明确平均数和方差分别代表的实际含义，结合题目的选拔要求依次筛选即可，解题时注意不要搞反方差和稳定性的对应关系。
【难度系数】
0.8
11.某班共有50名学生，平均身高为168 cm，其中30名男生的平均身高为172 cm，则20名女生的平均身高为
162
cm.答案
11.162
解析
【分析】
解题核心是利用“总数量=平均数×总份数”的数量关系。首先我们可以先通过全班平均身高算出全班总身高，再通过男生平均身高算出男生总身高，两者作差得到女生总身高，最后用女生总身高除以女生人数，即可求出女生的平均身高。
【解析】
1. 计算全班50名学生的总身高：
$总身高 = 平均身高 × 总人数 = 50 × 168 = 8400\ \mathrm{cm}$
2. 计算30名男生的总身高：
$男生总身高 = 30 × 172 = 5160\ \mathrm{cm}$
3. 计算20名女生的总身高：
$女生总身高 = 全班总身高 - 男生总身高 = 8400 - 5160 = 3240\ \mathrm{cm}$
4. 计算女生的平均身高：
$女生平均身高 = 女生总身高 ÷ 女生人数 = 3240 ÷ 20 = 162\ \mathrm{cm}$
【答案】
162
【知识点】
平均数的计算；总量与平均数的关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平均数公式的灵活运用，解题关键是明确总身高、平均身高、人数三者之间的数量关系，计算时注意数值运算的准确性即可。
【难度系数】
0.9
解题核心是利用“总数量=平均数×总份数”的数量关系。首先我们可以先通过全班平均身高算出全班总身高，再通过男生平均身高算出男生总身高，两者作差得到女生总身高，最后用女生总身高除以女生人数，即可求出女生的平均身高。
【解析】
1. 计算全班50名学生的总身高：
$总身高 = 平均身高 × 总人数 = 50 × 168 = 8400\ \mathrm{cm}$
2. 计算30名男生的总身高：
$男生总身高 = 30 × 172 = 5160\ \mathrm{cm}$
3. 计算20名女生的总身高：
$女生总身高 = 全班总身高 - 男生总身高 = 8400 - 5160 = 3240\ \mathrm{cm}$
4. 计算女生的平均身高：
$女生平均身高 = 女生总身高 ÷ 女生人数 = 3240 ÷ 20 = 162\ \mathrm{cm}$
【答案】
162
【知识点】
平均数的计算；总量与平均数的关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平均数公式的灵活运用，解题关键是明确总身高、平均身高、人数三者之间的数量关系，计算时注意数值运算的准确性即可。
【难度系数】
0.9
12.已知一组数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数是2，方差是$\frac{1}{3}$，求另一组数据$(3x_1 - 2),(3x_2 - 2),(3x_3 - 2),(3x_4 - 2),(3x_5 - 2)$的平均数及方差.
答案
12.平均数是4,方差是3.
解析
【分析】
解题时我们可以从平均数和方差的定义出发逐步推导，也可以利用数据线性变换的统计量变化规律快速求解：第一步先求新数据的平均数，根据原数据的平均数得到原数据总和，代入新数据的平均数公式计算即可；第二步求新数据的方差，先找到新数据与新平均数的差值，结合原方差的表达式化简就能得到结果，也可以直接记结论：若一组数据变为$ax+b$，则新平均数为$a×原平均数+b$，新方差为$a^2×原方差$，加减的常数$b$不影响方差大小。
【解析】
解：已知数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数$\overline{x}=2$，方差$s^2=\frac{1}{3}$。
1. 计算新数据的平均数：
原数据总和为$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5\overline{x}=5×2=10$
新数据的平均数$\overline{x}'=\frac{(3x_1-2)+(3x_2-2)+(3x_3-2)+(3x_4-2)+(3x_5-2)}{5}$
$=\frac{3(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)-2×5}{5}$
$=3×\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}-2$
$=3×2-2=4$
2. 计算新数据的方差：
原方差$s^2=\frac{1}{5}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2+(x_5-\overline{x})^2]=\frac{1}{3}$
新数据每个值与新平均数的差为：$(3x_i-2)-\overline{x}'=3x_i-2-4=3(x_i-\overline{x})$（$i=1,2,3,4,5$）
新方差$s'^2=\frac{1}{5}[(3x_1-2-\overline{x}')^2+(3x_2-2-\overline{x}')^2+(3x_3-2-\overline{x}')^2+(3x_4-2-\overline{x}')^2+(3x_5-2-\overline{x}')^2]$
$=\frac{1}{5}[9(x_1-\overline{x})^2+9(x_2-\overline{x})^2+9(x_3-\overline{x})^2+9(x_4-\overline{x})^2+9(x_5-\overline{x})^2]$
$=9×\frac{1}{5}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2+(x_5-\overline{x})^2]$
$=9×\frac{1}{3}=3$
【答案】
平均数是4，方差是3
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、数据变换的统计特征
【点评】
本题属于基础的统计量计算题，既可以通过定义逐步推导计算，也可以直接运用线性变换下的统计量变化规律快速求解，解题时要注意区分平均数和方差的变化规则，不要记错方差是乘系数的平方而非系数本身。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以从平均数和方差的定义出发逐步推导，也可以利用数据线性变换的统计量变化规律快速求解：第一步先求新数据的平均数，根据原数据的平均数得到原数据总和，代入新数据的平均数公式计算即可；第二步求新数据的方差，先找到新数据与新平均数的差值，结合原方差的表达式化简就能得到结果，也可以直接记结论：若一组数据变为$ax+b$，则新平均数为$a×原平均数+b$，新方差为$a^2×原方差$，加减的常数$b$不影响方差大小。
【解析】
解：已知数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数$\overline{x}=2$，方差$s^2=\frac{1}{3}$。
1. 计算新数据的平均数：
原数据总和为$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5\overline{x}=5×2=10$
新数据的平均数$\overline{x}'=\frac{(3x_1-2)+(3x_2-2)+(3x_3-2)+(3x_4-2)+(3x_5-2)}{5}$
$=\frac{3(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)-2×5}{5}$
$=3×\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}-2$
$=3×2-2=4$
2. 计算新数据的方差：
原方差$s^2=\frac{1}{5}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2+(x_5-\overline{x})^2]=\frac{1}{3}$
新数据每个值与新平均数的差为：$(3x_i-2)-\overline{x}'=3x_i-2-4=3(x_i-\overline{x})$（$i=1,2,3,4,5$）
新方差$s'^2=\frac{1}{5}[(3x_1-2-\overline{x}')^2+(3x_2-2-\overline{x}')^2+(3x_3-2-\overline{x}')^2+(3x_4-2-\overline{x}')^2+(3x_5-2-\overline{x}')^2]$
$=\frac{1}{5}[9(x_1-\overline{x})^2+9(x_2-\overline{x})^2+9(x_3-\overline{x})^2+9(x_4-\overline{x})^2+9(x_5-\overline{x})^2]$
$=9×\frac{1}{5}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2+(x_5-\overline{x})^2]$
$=9×\frac{1}{3}=3$
【答案】
平均数是4，方差是3
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、数据变换的统计特征
【点评】
本题属于基础的统计量计算题，既可以通过定义逐步推导计算，也可以直接运用线性变换下的统计量变化规律快速求解，解题时要注意区分平均数和方差的变化规则，不要记错方差是乘系数的平方而非系数本身。
【难度系数】
0.7
13.某校对三个年级的卫生检查结果(单位：分)如下：
(1)试计算各年级的卫生平均成绩，并说明哪个年级的卫生状况最好；
(2)若学校规定黑板、门窗、桌椅、地面这四项得分依次按15％，10％，35％，40％的比例计算各年级的卫生成绩，以此来评选卫生先进年级，则哪个年级当选？
(1)试计算各年级的卫生平均成绩，并说明哪个年级的卫生状况最好；
(2)若学校规定黑板、门窗、桌椅、地面这四项得分依次按15％，10％，35％，40％的比例计算各年级的卫生成绩，以此来评选卫生先进年级，则哪个年级当选？
答案
13.(1)都为90分,卫生状况都很好.
(2)九年级当选.
(2)九年级当选.
解析
【分析】
第(1)问求各年级卫生平均成绩属于算术平均数的计算，解题思路是：将每个年级四项卫生得分相加，再除以项数4，得到各年级平均成绩，比较成绩即可判断卫生状况。第(2)问是加权平均数的实际应用，解题思路是：将每个年级的四项得分分别乘以对应权重（15%、10%、35%、40%），再求和得到加权成绩，加权成绩最高的年级当选卫生先进年级。
【解析】
(1) 计算各年级算术平均成绩：
七年级平均成绩：$\frac{95+90+80+95}{4}=\frac{360}{4}=90$（分）
八年级平均成绩：$\frac{90+95+85+90}{4}=\frac{360}{4}=90$（分）
九年级平均成绩：$\frac{85+90+95+90}{4}=\frac{360}{4}=90$（分）
三个年级平均成绩均为90分，因此卫生状况都很好。
(2) 计算各年级加权卫生成绩：
七年级成绩：$95×15\% +90×10\% +80×35\% +95×40\% =14.25+9+28+38=89.25$（分）
八年级成绩：$90×15\% +95×10\% +85×35\% +90×40\% =13.5+9.5+29.75+36=88.75$（分）
九年级成绩：$85×15\% +90×10\% +95×35\% +90×40\% =12.75+9+33.25+36=91$（分）
因为$91＞89.25＞88.75$，九年级加权成绩最高，所以九年级当选。
【答案】
(1)三个年级卫生平均成绩都为90分，卫生状况都很好；(2)九年级当选。
【知识点】
算术平均数、加权平均数
【点评】
本题结合校园卫生评比的实际场景，考查平均数的计算与应用，重点区分算术平均数和加权平均数的适用场景，解题时需注意权重对最终结果的影响，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
第(1)问求各年级卫生平均成绩属于算术平均数的计算，解题思路是：将每个年级四项卫生得分相加，再除以项数4，得到各年级平均成绩，比较成绩即可判断卫生状况。第(2)问是加权平均数的实际应用，解题思路是：将每个年级的四项得分分别乘以对应权重（15%、10%、35%、40%），再求和得到加权成绩，加权成绩最高的年级当选卫生先进年级。
【解析】
(1) 计算各年级算术平均成绩：
七年级平均成绩：$\frac{95+90+80+95}{4}=\frac{360}{4}=90$（分）
八年级平均成绩：$\frac{90+95+85+90}{4}=\frac{360}{4}=90$（分）
九年级平均成绩：$\frac{85+90+95+90}{4}=\frac{360}{4}=90$（分）
三个年级平均成绩均为90分，因此卫生状况都很好。
(2) 计算各年级加权卫生成绩：
七年级成绩：$95×15\% +90×10\% +80×35\% +95×40\% =14.25+9+28+38=89.25$（分）
八年级成绩：$90×15\% +95×10\% +85×35\% +90×40\% =13.5+9.5+29.75+36=88.75$（分）
九年级成绩：$85×15\% +90×10\% +95×35\% +90×40\% =12.75+9+33.25+36=91$（分）
因为$91＞89.25＞88.75$，九年级加权成绩最高，所以九年级当选。
【答案】
(1)三个年级卫生平均成绩都为90分，卫生状况都很好；(2)九年级当选。
【知识点】
算术平均数、加权平均数
【点评】
本题结合校园卫生评比的实际场景，考查平均数的计算与应用，重点区分算术平均数和加权平均数的适用场景，解题时需注意权重对最终结果的影响，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
14.甲、乙两名队员在6次射击中命中的环数如下.
甲:8,8,7,8,10,7;乙:5,8,5,10,10,10.
(1)根据以上数据完成下表:
| | 平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 |
| 甲 | 8 |
| 8 |
| 乙 |
(2)教练根据这6次成绩,选择甲参加射击比赛.教练的理由是什么?
(3)如果乙再射击1次,命中8环,那么乙的射击成绩的方差
甲:8,8,7,8,10,7;乙:5,8,5,10,10,10.
(1)根据以上数据完成下表:
| | 平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 |
| 甲 | 8 |
| 8 | 1
|| 乙 |
8
| 10 | 9
| 5 |(2)教练根据这6次成绩,选择甲参加射击比赛.教练的理由是什么?
(3)如果乙再射击1次,命中8环,那么乙的射击成绩的方差
变小
(填“变大”“变小”或“不变”).答案
14.(1)8 1 8 9
(2)两人射击成绩的平均数相等,而甲的方差小,发挥比较稳定.(答案合理即可)
(3)变小
(2)两人射击成绩的平均数相等,而甲的方差小,发挥比较稳定.(答案合理即可)
(3)变小
解析
【分析】
(1) 计算表格中的统计量时，众数是一组数据中出现次数最多的数；平均数是所有数据之和除以数据的总个数；中位数是将数据从小到大排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数；方差按照公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$计算即可。
(2) 选择参赛选手时，首先对比两人的平均成绩，平均成绩相同的情况下，方差越小说明成绩波动越小、发挥越稳定，据此分析教练选甲的理由。
(3) 加入一个等于原平均数的新数据时，方差公式的分子总和不变，分母变大，因此方差会变小。
【解析】
(1) 甲的射击数据为8,8,7,8,10,7，其中8出现3次，出现次数最多，因此甲的众数为8；
甲的方差计算：$s_甲^2=\frac{1}{6}×[3×(8-8)^2+2×(7-8)^2+(10-8)^2]=\frac{1}{6}×(0+2+4)=1$；
乙的射击数据总和为$5+8+5+10+10+10=48$，则乙的平均数为$48÷6=8$；
将乙的数据从小到大排序为5,5,8,10,10,10，共6个数据，中位数为第3、4个数据的平均数，即$(8+10)÷2=9$。
(2) 由计算结果可知，甲、乙两人的平均成绩相同，说明两人的平均水平相当；甲的方差为1，远小于乙的方差5，说明甲的成绩波动更小，发挥更稳定，因此教练选择甲参加比赛。
(3) 乙原来的平均数为8，再射击命中8环后，新的平均数仍为8。原来的方差分子总和为$6×5=30$，加入新数据后分子总和为$30+(8-8)^2=30$，分母变为7，新方差为$\frac{30}{7}＜5$，因此方差变小。
【答案】
(1) 8；1；8；9
(2) 两人射击成绩的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定（答案合理即可）
(3) 变小
【知识点】
统计量的计算；方差的意义；方差的变化规律
【点评】
本题考查统计中常用统计量的计算与实际应用，掌握各统计量的含义和计算方法是解题的关键，需学会结合统计量的意义分析解决实际问题。
【难度系数】
0.7
(1) 计算表格中的统计量时，众数是一组数据中出现次数最多的数；平均数是所有数据之和除以数据的总个数；中位数是将数据从小到大排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数；方差按照公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$计算即可。
(2) 选择参赛选手时，首先对比两人的平均成绩，平均成绩相同的情况下，方差越小说明成绩波动越小、发挥越稳定，据此分析教练选甲的理由。
(3) 加入一个等于原平均数的新数据时，方差公式的分子总和不变，分母变大，因此方差会变小。
【解析】
(1) 甲的射击数据为8,8,7,8,10,7，其中8出现3次，出现次数最多，因此甲的众数为8；
甲的方差计算：$s_甲^2=\frac{1}{6}×[3×(8-8)^2+2×(7-8)^2+(10-8)^2]=\frac{1}{6}×(0+2+4)=1$；
乙的射击数据总和为$5+8+5+10+10+10=48$，则乙的平均数为$48÷6=8$；
将乙的数据从小到大排序为5,5,8,10,10,10，共6个数据，中位数为第3、4个数据的平均数，即$(8+10)÷2=9$。
(2) 由计算结果可知，甲、乙两人的平均成绩相同，说明两人的平均水平相当；甲的方差为1，远小于乙的方差5，说明甲的成绩波动更小，发挥更稳定，因此教练选择甲参加比赛。
(3) 乙原来的平均数为8，再射击命中8环后，新的平均数仍为8。原来的方差分子总和为$6×5=30$，加入新数据后分子总和为$30+(8-8)^2=30$，分母变为7，新方差为$\frac{30}{7}＜5$，因此方差变小。
【答案】
(1) 8；1；8；9
(2) 两人射击成绩的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定（答案合理即可）
(3) 变小
【知识点】
统计量的计算；方差的意义；方差的变化规律
【点评】
本题考查统计中常用统计量的计算与实际应用，掌握各统计量的含义和计算方法是解题的关键，需学会结合统计量的意义分析解决实际问题。
【难度系数】
0.7
