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11. [2024德州中考]实数$a,b$在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（
A.$|a|＞|b|$
B.$a+b＜0$
C.$a+2＞b+2$
D.$|a-1|＞|b-1|$
D
）A.$|a|＞|b|$
B.$a+b＜0$
C.$a+2＞b+2$
D.$|a-1|＞|b-1|$
答案
由题中数轴,得$-1 ＜ a ＜ 0$,$1 ＜ b ＜ 2$,$\therefore |a| ＜ |b|$,$a + b ＞ 0$,$|a - 1| ＞ |b - 1|$,选项A,B不正确,选项D正确.$\because a ＜ b$,$\therefore a + 2 ＜ b + 2$,选项C不正确.
解析
【分析】
解题时首先观察数轴，确定实数a、b的取值范围：$-1＜a＜0$，$1＜b＜2$，再结合绝对值的几何意义（数轴上点到对应点的距离）、不等式的基本性质、有理数加法法则逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
由数轴可得：$-1 ＜ a ＜ 0$，$1 ＜ b ＜ 2$。
1. 分析选项A：$|a|$表示a到原点的距离，可得$0＜|a|＜1$；$|b|$表示b到原点的距离，可得$1＜|b|＜2$，因此$|a|＜|b|$，A错误。
2. 分析选项B：因为$a＞-1$，$b＞1$，所以$a+b ＞ -1 +1 =0$，B错误。
3. 分析选项C：根据不等式的性质，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，已知$a ＜ b$，所以$a+2 ＜ b+2$，C错误。
4. 分析选项D：$|a-1|$表示a到1的距离，由$a＜0$可得$|a-1|=1-a＞1$；$|b-1|$表示b到1的距离，由$b＜2$可得$|b-1|=b-1＜1$，因此$|a-1|＞|b-1|$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；不等式的性质
【点评】
本题是实数与数轴结合的基础题型，解题核心是先通过数轴明确未知实数的取值范围，再结合相关性质逐一判断选项，侧重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴，确定实数a、b的取值范围：$-1＜a＜0$，$1＜b＜2$，再结合绝对值的几何意义（数轴上点到对应点的距离）、不等式的基本性质、有理数加法法则逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
由数轴可得：$-1 ＜ a ＜ 0$，$1 ＜ b ＜ 2$。
1. 分析选项A：$|a|$表示a到原点的距离，可得$0＜|a|＜1$；$|b|$表示b到原点的距离，可得$1＜|b|＜2$，因此$|a|＜|b|$，A错误。
2. 分析选项B：因为$a＞-1$，$b＞1$，所以$a+b ＞ -1 +1 =0$，B错误。
3. 分析选项C：根据不等式的性质，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，已知$a ＜ b$，所以$a+2 ＜ b+2$，C错误。
4. 分析选项D：$|a-1|$表示a到1的距离，由$a＜0$可得$|a-1|=1-a＞1$；$|b-1|$表示b到1的距离，由$b＜2$可得$|b-1|=b-1＜1$，因此$|a-1|＞|b-1|$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；不等式的性质
【点评】
本题是实数与数轴结合的基础题型，解题核心是先通过数轴明确未知实数的取值范围，再结合相关性质逐一判断选项，侧重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
12.已知$a=5+\sqrt{5},b=3+\sqrt{10},c=\sqrt{30}$，用“＜”表示$a,b,c$的大小关系为
$c ＜ b ＜ a$
。答案
$c ＜ b ＜ a$ $\because 4 ＜ 5 ＜ 9$,$\therefore 2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$,$\therefore 7 ＜ 5 + \sqrt{5} ＜ 8$,即$7 ＜ a ＜ 8$.$\because 9 ＜ 10 ＜ 16$,$\therefore 3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$,$\therefore 6 ＜ 3 + \sqrt{10} ＜ 7$,即$6 ＜ b ＜ 7$.$\because 25 ＜ 30 ＜ 36$,$\therefore 5 ＜ \sqrt{30} ＜ 6$,即$5 ＜ c ＜ 6$.$\therefore a,b,c$的大小关系为$c ＜ b ＜ a$.
解析
【分析】
要比较含有无理数的三个实数a、b、c的大小，可先利用“夹逼法”估算出每个式子中无理数的取值范围，再分别计算出a、b、c的取值区间，最后根据区间的上下限即可判断三者的大小关系。
【解析】
① 求a的取值范围：
∵$4＜5＜9$，
∴$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
不等式两边同时加5，得$5+2＜5+\sqrt{5}＜5+3$，
∴$7＜a＜8$。
② 求b的取值范围：
∵$9＜10＜16$，
∴$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，
不等式两边同时加3，得$3+3＜3+\sqrt{10}＜3+4$，
∴$6＜b＜7$。
③ 求c的取值范围：
∵$25＜30＜36$，
∴$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，
∴$5＜c＜6$。
结合三个取值范围可得$5＜c＜6＜b＜7＜a＜8$，因此三者大小关系为$c＜b＜a$。
【答案】
$c＜b＜a$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 实数大小比较
【点评】
本题属于实数大小比较的基础题型，核心考查用夹逼法估算无理数范围的方法，只要掌握无理数估算的技巧，确定三个数的取值区间，就能快速得出大小关系，解题思路简单直接。
【难度系数】
0.8
要比较含有无理数的三个实数a、b、c的大小，可先利用“夹逼法”估算出每个式子中无理数的取值范围，再分别计算出a、b、c的取值区间，最后根据区间的上下限即可判断三者的大小关系。
【解析】
① 求a的取值范围：
∵$4＜5＜9$，
∴$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
不等式两边同时加5，得$5+2＜5+\sqrt{5}＜5+3$，
∴$7＜a＜8$。
② 求b的取值范围：
∵$9＜10＜16$，
∴$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，
不等式两边同时加3，得$3+3＜3+\sqrt{10}＜3+4$，
∴$6＜b＜7$。
③ 求c的取值范围：
∵$25＜30＜36$，
∴$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，
∴$5＜c＜6$。
结合三个取值范围可得$5＜c＜6＜b＜7＜a＜8$，因此三者大小关系为$c＜b＜a$。
【答案】
$c＜b＜a$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 实数大小比较
【点评】
本题属于实数大小比较的基础题型，核心考查用夹逼法估算无理数范围的方法，只要掌握无理数估算的技巧，确定三个数的取值区间，就能快速得出大小关系，解题思路简单直接。
【难度系数】
0.8
13.【阅读】将一个无理数利用平方法去根号可以构造一个整系数方程.例如:若已知无理数$a=\sqrt{2}+1$,则$a-1=\sqrt{2},\therefore (a-1)^2=(\sqrt{2})^2,$$\therefore a^2 -2a +1=2$,即$a^2 -2a -1=0$.
【问题】已知$a=\sqrt{5}-1$,构造一个关于$a$的整系数方程:
【问题】已知$a=\sqrt{5}-1$,构造一个关于$a$的整系数方程:
$a^2 + 2a -4=0$
.答案
$a^2 + 2a -4=0$ $\because a = \sqrt{5} - 1$,$\therefore a + 1 = \sqrt{5}$,$\therefore (a + 1)^2 = (\sqrt{5})^2$,$\therefore a^2 + 2a + 1 = 5$,$\therefore a^2 + 2a - 4 = 0$.
解析
【分析】
本题属于材料阅读类题型，可仿照示例的思路解题：首先把带根号的无理部分单独分离到等式的一侧，其余项移到另一侧，再对等式两边同时平方去掉根号，最后整理为左边是含a的多项式、右边为0的整系数方程即可。
【解析】
已知$a = \sqrt{5} - 1$，
移项使根号单独在右侧，得$a + 1 = \sqrt{5}$，
两边同时平方去根号，得$(a + 1)^2 = (\sqrt{5})^2$，
根据完全平方公式展开左边，得$a^2 + 2a + 1 = 5$，
移项合并整理为整系数方程，得$a^2 + 2a - 4 = 0$。
【答案】
$a^2 + 2a - 4 = 0$
【知识点】
平方法去根号、完全平方公式、整式化简
【点评】
本题考查对材料方法的模仿应用能力，解题核心是先分离带根号的项再平方消根号，只要读懂材料给出的构造方法就能顺利求解，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
本题属于材料阅读类题型，可仿照示例的思路解题：首先把带根号的无理部分单独分离到等式的一侧，其余项移到另一侧，再对等式两边同时平方去掉根号，最后整理为左边是含a的多项式、右边为0的整系数方程即可。
【解析】
已知$a = \sqrt{5} - 1$，
移项使根号单独在右侧，得$a + 1 = \sqrt{5}$，
两边同时平方去根号，得$(a + 1)^2 = (\sqrt{5})^2$，
根据完全平方公式展开左边，得$a^2 + 2a + 1 = 5$，
移项合并整理为整系数方程，得$a^2 + 2a - 4 = 0$。
【答案】
$a^2 + 2a - 4 = 0$
【知识点】
平方法去根号、完全平方公式、整式化简
【点评】
本题考查对材料方法的模仿应用能力，解题核心是先分离带根号的项再平方消根号，只要读懂材料给出的构造方法就能顺利求解，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
14. 一只蚂蚁从点A出发，沿数轴向左爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为$\sqrt{3}$，设点B所表示的数为m.
(1)求$|m+1| + |m-1|$的值；
(2)在数轴上还有C,D两点分别表示实数c，d，且满足$\sqrt{c+3} + |d-9| = 0$，求cd的立方根.
(1)求$|m+1| + |m-1|$的值；
(2)在数轴上还有C,D两点分别表示实数c，d，且满足$\sqrt{c+3} + |d-9| = 0$，求cd的立方根.
答案
解:(1)由题意,知$m = \sqrt{3} - 2$,
$\therefore |m + 1| + |m - 1| = |\sqrt{3} - 2 + 1| + |\sqrt{3} - 2 - 1| = |\sqrt{3} - 1| + |\sqrt{3} - 3| = \sqrt{3} - 1 + 3 - \sqrt{3} = 2$.
(2)$\because \sqrt{c + 3} \ge 0$,$|d - 9| \ge 0$,$\sqrt{c + 3} + |d - 9| = 0$,
$\therefore c = -3$,$d = 9$,
$\therefore \sqrt[3]{cd} = \sqrt[3]{(-3) × 9} = -3$,
$\therefore cd$的立方根为$-3$.
$\therefore |m + 1| + |m - 1| = |\sqrt{3} - 2 + 1| + |\sqrt{3} - 2 - 1| = |\sqrt{3} - 1| + |\sqrt{3} - 3| = \sqrt{3} - 1 + 3 - \sqrt{3} = 2$.
(2)$\because \sqrt{c + 3} \ge 0$,$|d - 9| \ge 0$,$\sqrt{c + 3} + |d - 9| = 0$,
$\therefore c = -3$,$d = 9$,
$\therefore \sqrt[3]{cd} = \sqrt[3]{(-3) × 9} = -3$,
$\therefore cd$的立方根为$-3$.
解析
【分析】
(1) 先根据数轴上点向左平移数值减小的规律求出点B对应的数m；再判断两个绝对值内代数式的正负性，依据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并化简即可得到结果。
(2) 算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此可求出c、d的值，再代入计算cd的立方根即可。
【解析】
(1) 由题意得，蚂蚁向左爬2个单位，因此点B表示的数$m = \sqrt{3} - 2$，代入式子可得：
$\begin{aligned}|m + 1| + |m - 1|&= |\sqrt{3} - 2 + 1| + |\sqrt{3} - 2 - 1|\\&= |\sqrt{3} - 1| + |\sqrt{3} - 3|\end{aligned}$
$\because \sqrt{3}\approx1.732$，$\therefore \sqrt{3}-1＞0$，$\sqrt{3}-3＜0$，根据绝对值性质去符号得：
原式$= \sqrt{3} - 1 + 3 - \sqrt{3} = 2$。
(2) $\because \sqrt{c + 3} \ge 0$，$|d - 9| \ge 0$，且$\sqrt{c + 3} + |d - 9| = 0$，
$\therefore \sqrt{c + 3}=0$，$|d - 9|=0$，
解得$c=-3$，$d=9$，
$\therefore cd = (-3)×9=-27$，$\sqrt[3]{cd}=\sqrt[3]{-27}=-3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{-3}$
【知识点】
数轴点的平移、绝对值化简、非负数的性质
【点评】
本题属于实数运算的基础综合题，难度不大，解题核心是牢记数轴平移规则、绝对值去符号的判断方法以及非负性的应用条件，计算时注意符号问题，避免失误。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据数轴上点向左平移数值减小的规律求出点B对应的数m；再判断两个绝对值内代数式的正负性，依据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并化简即可得到结果。
(2) 算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此可求出c、d的值，再代入计算cd的立方根即可。
【解析】
(1) 由题意得，蚂蚁向左爬2个单位，因此点B表示的数$m = \sqrt{3} - 2$，代入式子可得：
$\begin{aligned}|m + 1| + |m - 1|&= |\sqrt{3} - 2 + 1| + |\sqrt{3} - 2 - 1|\\&= |\sqrt{3} - 1| + |\sqrt{3} - 3|\end{aligned}$
$\because \sqrt{3}\approx1.732$，$\therefore \sqrt{3}-1＞0$，$\sqrt{3}-3＜0$，根据绝对值性质去符号得：
原式$= \sqrt{3} - 1 + 3 - \sqrt{3} = 2$。
(2) $\because \sqrt{c + 3} \ge 0$，$|d - 9| \ge 0$，且$\sqrt{c + 3} + |d - 9| = 0$，
$\therefore \sqrt{c + 3}=0$，$|d - 9|=0$，
解得$c=-3$，$d=9$，
$\therefore cd = (-3)×9=-27$，$\sqrt[3]{cd}=\sqrt[3]{-27}=-3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{-3}$
【知识点】
数轴点的平移、绝对值化简、非负数的性质
【点评】
本题属于实数运算的基础综合题，难度不大，解题核心是牢记数轴平移规则、绝对值去符号的判断方法以及非负性的应用条件，计算时注意符号问题，避免失误。
【难度系数】
0.7
15. [2026 深圳同心实验学校月考] 我们知道，$\sqrt{2}$是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即$\sqrt{2}$的整数部分是1，小数部分是$\sqrt{2} -1$. 请回答以下问题：
(1) $\sqrt{10}$的小数部分是________，$5 - \sqrt{13}$的小数部分是________；
(2) 若$a$是$\sqrt{90}$的整数部分，$b$是$\sqrt{3}$的小数部分，求$a + b - \sqrt{3} + 1$的平方根；
(3) 若$7 + \sqrt{5} = x + y$，其中$x$是整数，且$0 ＜ y ＜ 1$，求$x - y + \sqrt{5}$的值.
(1) $\sqrt{10}$的小数部分是________，$5 - \sqrt{13}$的小数部分是________；
(2) 若$a$是$\sqrt{90}$的整数部分，$b$是$\sqrt{3}$的小数部分，求$a + b - \sqrt{3} + 1$的平方根；
(3) 若$7 + \sqrt{5} = x + y$，其中$x$是整数，且$0 ＜ y ＜ 1$，求$x - y + \sqrt{5}$的值.
答案
解:(1) $\sqrt{10} - 3$ $4 - \sqrt{13}$
$\because 3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$,$\therefore \sqrt{10}$的整数部分是3,小数部分为$\sqrt{10} - 3$.
$\because 3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$,$\therefore -4 ＜ -\sqrt{13} ＜ -3$,$\therefore 1 ＜ 5 - \sqrt{13} ＜ 2$,$\therefore 5 - \sqrt{13}$的整数部分是1,小数部分为$5 - \sqrt{13} - 1 = 4 - \sqrt{13}$.
(2)$\because \sqrt{81} ＜ \sqrt{90} ＜ \sqrt{100}$,即$9 ＜ \sqrt{90} ＜ 10$,$\therefore \sqrt{90}$的整数部分$a = 9$.
$\because 1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$,$\therefore \sqrt{3}$的整数部分为1,$\sqrt{3}$的小数部分$b = \sqrt{3} - 1$,$\therefore a + b - \sqrt{3} + 1 = 9 + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} + 1 = 9$,$\therefore a + b - \sqrt{3} + 1$的平方根$\pm \sqrt{9} = \pm 3$.
(3)$\because 2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$,$\therefore 9 ＜ 7 + \sqrt{5} ＜ 10$.又$\because 7 + \sqrt{5} = x + y$,其中$x$是整数,且$0 ＜ y ＜ 1$,$\therefore x = 9$,$y = 7 + \sqrt{5} - 9 = \sqrt{5} - 2$,$\therefore x - y + \sqrt{5} = 9 - \sqrt{5} + 2 + \sqrt{5} = 11$.
$\because 3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$,$\therefore \sqrt{10}$的整数部分是3,小数部分为$\sqrt{10} - 3$.
$\because 3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$,$\therefore -4 ＜ -\sqrt{13} ＜ -3$,$\therefore 1 ＜ 5 - \sqrt{13} ＜ 2$,$\therefore 5 - \sqrt{13}$的整数部分是1,小数部分为$5 - \sqrt{13} - 1 = 4 - \sqrt{13}$.
(2)$\because \sqrt{81} ＜ \sqrt{90} ＜ \sqrt{100}$,即$9 ＜ \sqrt{90} ＜ 10$,$\therefore \sqrt{90}$的整数部分$a = 9$.
$\because 1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$,$\therefore \sqrt{3}$的整数部分为1,$\sqrt{3}$的小数部分$b = \sqrt{3} - 1$,$\therefore a + b - \sqrt{3} + 1 = 9 + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} + 1 = 9$,$\therefore a + b - \sqrt{3} + 1$的平方根$\pm \sqrt{9} = \pm 3$.
(3)$\because 2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$,$\therefore 9 ＜ 7 + \sqrt{5} ＜ 10$.又$\because 7 + \sqrt{5} = x + y$,其中$x$是整数,且$0 ＜ y ＜ 1$,$\therefore x = 9$,$y = 7 + \sqrt{5} - 9 = \sqrt{5} - 2$,$\therefore x - y + \sqrt{5} = 9 - \sqrt{5} + 2 + \sqrt{5} = 11$.
解析
【分析】
解决这类问题的核心思路是先通过平方数估算出无理数介于哪两个相邻整数之间，从而确定其整数部分，再用“原数-整数部分”得到小数部分，再结合题目要求进行后续运算：
1. 第(1)问：先分别估算$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$的范围，前者直接减整数部分得小数部分；后者先推导$5-\sqrt{13}$的范围，确定其整数部分后再计算小数部分；
2. 第(2)问：先分别估算$\sqrt{90}$、$\sqrt{3}$的范围，得到$a$和$b$的值，代入代数式化简后再求平方根，注意平方根有正负两个结果；
3. 第(3)问：先估算$\sqrt{5}$的范围，推导$7+\sqrt{5}$的范围，结合$x$是整数、$0＜y＜1$确定$x$和$y$的值，代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 估算$\sqrt{10}$的范围：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，$9＜10＜16$，$\therefore 3＜\sqrt{10}＜4$，$\sqrt{10}$的整数部分是3，小数部分为$\sqrt{10}-3$；
估算$\sqrt{13}$的范围：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，$9＜13＜16$，$\therefore 3＜\sqrt{13}＜4$，不等式两边乘$-1$得$-4＜-\sqrt{13}＜-3$，两边加5得$1＜5-\sqrt{13}＜2$，则$5-\sqrt{13}$的整数部分是1，小数部分为$5-\sqrt{13}-1=4-\sqrt{13}$。
(2) 估算$\sqrt{90}$的范围：$\because \sqrt{81}＜\sqrt{90}＜\sqrt{100}$，即$9＜\sqrt{90}＜10$，$\therefore \sqrt{90}$的整数部分$a=9$；
估算$\sqrt{3}$的范围：$\because 1＜\sqrt{3}＜2$，$\therefore \sqrt{3}$的小数部分$b=\sqrt{3}-1$；
代入代数式得：$a + b - \sqrt{3} + 1=9+\sqrt{3}-1-\sqrt{3}+1=9$，因此$a + b - \sqrt{3} + 1$的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$。
(3) 估算$\sqrt{5}$的范围：$\because 2＜\sqrt{5}＜3$，$\therefore 9＜7+\sqrt{5}＜10$；
$\because 7+\sqrt{5}=x+y$，$x$是整数且$0＜y＜1$，$\therefore x=9$，$y=7+\sqrt{5}-9=\sqrt{5}-2$；
代入式子得：$x - y + \sqrt{5}=9-(\sqrt{5}-2)+\sqrt{5}=9-\sqrt{5}+2+\sqrt{5}=11$。
【答案】
(1) $\sqrt{10}-3$；$4-\sqrt{13}$
(2) $\pm3$
(3) $11$
【知识点】
无理数的估算；实数的运算；平方根的定义
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，解题关键是先通过相邻平方数确定无理数的整数范围，进而得到其整数部分和小数部分，再结合实数运算规则求解，注意求平方根时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7
解决这类问题的核心思路是先通过平方数估算出无理数介于哪两个相邻整数之间，从而确定其整数部分，再用“原数-整数部分”得到小数部分，再结合题目要求进行后续运算：
1. 第(1)问：先分别估算$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$的范围，前者直接减整数部分得小数部分；后者先推导$5-\sqrt{13}$的范围，确定其整数部分后再计算小数部分；
2. 第(2)问：先分别估算$\sqrt{90}$、$\sqrt{3}$的范围，得到$a$和$b$的值，代入代数式化简后再求平方根，注意平方根有正负两个结果；
3. 第(3)问：先估算$\sqrt{5}$的范围，推导$7+\sqrt{5}$的范围，结合$x$是整数、$0＜y＜1$确定$x$和$y$的值，代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 估算$\sqrt{10}$的范围：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，$9＜10＜16$，$\therefore 3＜\sqrt{10}＜4$，$\sqrt{10}$的整数部分是3，小数部分为$\sqrt{10}-3$；
估算$\sqrt{13}$的范围：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，$9＜13＜16$，$\therefore 3＜\sqrt{13}＜4$，不等式两边乘$-1$得$-4＜-\sqrt{13}＜-3$，两边加5得$1＜5-\sqrt{13}＜2$，则$5-\sqrt{13}$的整数部分是1，小数部分为$5-\sqrt{13}-1=4-\sqrt{13}$。
(2) 估算$\sqrt{90}$的范围：$\because \sqrt{81}＜\sqrt{90}＜\sqrt{100}$，即$9＜\sqrt{90}＜10$，$\therefore \sqrt{90}$的整数部分$a=9$；
估算$\sqrt{3}$的范围：$\because 1＜\sqrt{3}＜2$，$\therefore \sqrt{3}$的小数部分$b=\sqrt{3}-1$；
代入代数式得：$a + b - \sqrt{3} + 1=9+\sqrt{3}-1-\sqrt{3}+1=9$，因此$a + b - \sqrt{3} + 1$的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$。
(3) 估算$\sqrt{5}$的范围：$\because 2＜\sqrt{5}＜3$，$\therefore 9＜7+\sqrt{5}＜10$；
$\because 7+\sqrt{5}=x+y$，$x$是整数且$0＜y＜1$，$\therefore x=9$，$y=7+\sqrt{5}-9=\sqrt{5}-2$；
代入式子得：$x - y + \sqrt{5}=9-(\sqrt{5}-2)+\sqrt{5}=9-\sqrt{5}+2+\sqrt{5}=11$。
【答案】
(1) $\sqrt{10}-3$；$4-\sqrt{13}$
(2) $\pm3$
(3) $11$
【知识点】
无理数的估算；实数的运算；平方根的定义
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，解题关键是先通过相邻平方数确定无理数的整数范围，进而得到其整数部分和小数部分，再结合实数运算规则求解，注意求平方根时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7
1. [2026南京理工大学附中月考]如图，已知数轴上的点A,O,B,C,D分别表示数-2,0,1,2,3，则表示数$4-\sqrt{13}$的点P应落在线段（
A.AO上
B.OB上
C.BC上
D.CD上
B
）A.AO上
B.OB上
C.BC上
D.CD上
答案
$\because 9 ＜ 13 ＜ 16$,$\therefore 3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$,$\therefore -4 ＜ -\sqrt{13} ＜ -3$,$\therefore 0 ＜ 4 - \sqrt{13} ＜ 1$,$\therefore$ 表示数$4 - \sqrt{13}$的点P应落在线段OB上.
解析
【分析】
要判断数$4-\sqrt{13}$对应的点落在哪条线段上，首先需要估算出$4-\sqrt{13}$的取值范围。第一步先找与13相邻的两个完全平方数，用夹逼法确定$\sqrt{13}$的范围，再利用不等式的性质对不等式变形，得到$4-\sqrt{13}$的范围，最后对照数轴上各线段对应的数值范围，就能确定点P的位置。
【解析】
因为$9 ＜ 13 ＜ 16$，所以$\sqrt{9} ＜ \sqrt{13} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$，
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-4 ＜ -\sqrt{13} ＜ -3$，
不等式两边同时加4，可得$4-4 ＜ 4-\sqrt{13} ＜ 4-3$，即$0 ＜ 4 - \sqrt{13} ＜ 1$，
数轴上OB段对应的是0到1之间的数，因此表示数$4 - \sqrt{13}$的点P应落在线段OB上。
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算，实数与数轴，不等式的性质
【点评】
本题解题核心是掌握无理数的夹逼估算方法，先确定无理数的整数范围，再结合不等式的性质推导出所求实数的取值范围，即可对应数轴上的位置，属于实数相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
要判断数$4-\sqrt{13}$对应的点落在哪条线段上，首先需要估算出$4-\sqrt{13}$的取值范围。第一步先找与13相邻的两个完全平方数，用夹逼法确定$\sqrt{13}$的范围，再利用不等式的性质对不等式变形，得到$4-\sqrt{13}$的范围，最后对照数轴上各线段对应的数值范围，就能确定点P的位置。
【解析】
因为$9 ＜ 13 ＜ 16$，所以$\sqrt{9} ＜ \sqrt{13} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$，
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-4 ＜ -\sqrt{13} ＜ -3$，
不等式两边同时加4，可得$4-4 ＜ 4-\sqrt{13} ＜ 4-3$，即$0 ＜ 4 - \sqrt{13} ＜ 1$，
数轴上OB段对应的是0到1之间的数，因此表示数$4 - \sqrt{13}$的点P应落在线段OB上。
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算，实数与数轴，不等式的性质
【点评】
本题解题核心是掌握无理数的夹逼估算方法，先确定无理数的整数范围，再结合不等式的性质推导出所求实数的取值范围，即可对应数轴上的位置，属于实数相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
2. [2026无锡惠山区期中]在如图所示的数轴上，A是线段BC的中点，A,B两点表示的实数分别是$\sqrt{3}$和-1，则线段BC的长为
3. 如图，数轴上点A,B,C所表示的实数分别是
$2\sqrt{3} + 2$
.3. 如图，数轴上点A,B,C所表示的实数分别是
答案
$2\sqrt{3} + 2$ $\because A,B$两点表示的实数分别是$\sqrt{3}$和$-1$,$\therefore AB = \sqrt{3} - (-1) = \sqrt{3} + 1$.$\because A$是线段$BC$的中点,$\therefore BC = 2AB = 2 × (\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} + 2$.
解析
【分析】
要计算线段BC的长，已知A是BC的中点，根据中点的性质可知BC=2AB，因此只需要先求出AB的长度即可。数轴上两点之间的距离等于右边点表示的数减去左边点表示的数，已知A点表示$\sqrt{3}$，B点表示-1，代入即可算出AB的长，再乘2就能得到BC的长度。
【解析】
首先计算线段AB的长度：
∵数轴上A、B两点表示的实数分别是$\sqrt{3}$和-1，
∴$AB = \sqrt{3} - (-1) = \sqrt{3} + 1$。
又
∵A是线段BC的中点，
∴$BC = 2AB$，
将AB的长度代入得：$BC = 2 × (\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} + 2$。
【答案】
$2\sqrt{3}+2$
【知识点】
数轴上两点距离计算；线段中点的性质
【点评】
本题是数轴与线段性质结合的基础题型，解题关键是掌握数轴上两点距离的计算方法，以及线段中点将线段分为两条等长线段的性质，计算过程注意去括号的符号规则即可。
【难度系数】
0.8
要计算线段BC的长，已知A是BC的中点，根据中点的性质可知BC=2AB，因此只需要先求出AB的长度即可。数轴上两点之间的距离等于右边点表示的数减去左边点表示的数，已知A点表示$\sqrt{3}$，B点表示-1，代入即可算出AB的长，再乘2就能得到BC的长度。
【解析】
首先计算线段AB的长度：
∵数轴上A、B两点表示的实数分别是$\sqrt{3}$和-1，
∴$AB = \sqrt{3} - (-1) = \sqrt{3} + 1$。
又
∵A是线段BC的中点，
∴$BC = 2AB$，
将AB的长度代入得：$BC = 2 × (\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} + 2$。
【答案】
$2\sqrt{3}+2$
【知识点】
数轴上两点距离计算；线段中点的性质
【点评】
本题是数轴与线段性质结合的基础题型，解题关键是掌握数轴上两点距离的计算方法，以及线段中点将线段分为两条等长线段的性质，计算过程注意去括号的符号规则即可。
【难度系数】
0.8
a,b,c.其中a是4的一个平方根,b是-27的立方根,c是$1 - 3\sqrt{2}$的相反数.
(1)填空:$a=$
(2)先化简,再求值:$\sqrt{c^2} + |a - b| - ( \sqrt[3]{a - c} )^3$.
(1)填空:$a=$
$-2$
,$b=$$-3$
,$c=$$3\sqrt{2} - 1$
.(2)先化简,再求值:$\sqrt{c^2} + |a - b| - ( \sqrt[3]{a - c} )^3$.
答案
解:(1) $-2$ $-3$ $3\sqrt{2} - 1$
(2)由题意可得,$c ＞ 0$,$a - b ＞ 0$,
$\therefore \sqrt{c^2} + |a - b| - (\sqrt[3]{a - c})^3 = c + a - b - (a - c) = c + a - b - a + c = 2c - b$.
$\because b = -3$,$c = 3\sqrt{2} - 1$,
$\therefore$ 原式$= 2 × (3\sqrt{2} - 1) - (-3) = 6\sqrt{2} - 2 + 3 = 6\sqrt{2} + 1$.
(2)由题意可得,$c ＞ 0$,$a - b ＞ 0$,
$\therefore \sqrt{c^2} + |a - b| - (\sqrt[3]{a - c})^3 = c + a - b - (a - c) = c + a - b - a + c = 2c - b$.
$\because b = -3$,$c = 3\sqrt{2} - 1$,
$\therefore$ 原式$= 2 × (3\sqrt{2} - 1) - (-3) = 6\sqrt{2} - 2 + 3 = 6\sqrt{2} + 1$.
解析
【分析】
(1) 求解各字母的值时，先结合对应概念分析：4的平方根为±2，根据数轴可知a对应的点在原点左侧，a为负数，故a取-2；-27的立方根唯一，直接计算可得b的值；根据相反数的定义，求$1 - 3\sqrt{2}$的相反数即可得到c，且c对应的点在原点右侧，结果为正，符合数轴特征。
(2) 化简求值时，先回忆实数运算的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，正数的绝对值是它本身，$(\sqrt[3]{x})^3=x$。先判断$c$、$a-b$的正负，再去根号和绝对值，化简后代入数值计算即可。
【解析】
(1) 因为a是4的平方根，且a在数轴原点左侧，$a＜0$，所以$a=-\sqrt{4}=-2$；
因为b是-27的立方根，所以$b=\sqrt[3]{-27}=-3$；
因为c是$1 - 3\sqrt{2}$的相反数，所以$c=-(1 - 3\sqrt{2})=3\sqrt{2}-1$。
(2) 由题意可得，$c=3\sqrt{2}-1＞0$，$a-b=-2-(-3)=1＞0$，
根据根式和绝对值的性质：
$\sqrt{c^2} + |a - b| - ( \sqrt[3]{a - c} )^3$
$=c + (a - b) - (a - c)$
$=c + a - b - a + c$
$=2c - b$
将$b=-3$，$c=3\sqrt{2}-1$代入得：
原式$=2×(3\sqrt{2}-1) - (-3)=6\sqrt{2}-2+3=6\sqrt{2}+1$
【答案】
(1) $-2$，$-3$，$3\sqrt{2}-1$
(2) $6\sqrt{2}+1$
【知识点】
平方根与立方根，相反数的定义，实数的运算
【点评】
本题综合考查了实数的基础概念和运算，解题的关键是结合数轴和相关定义确定各字母的取值，再根据二次根式、绝对值、立方根的性质化简代数式，注重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7
(1) 求解各字母的值时，先结合对应概念分析：4的平方根为±2，根据数轴可知a对应的点在原点左侧，a为负数，故a取-2；-27的立方根唯一，直接计算可得b的值；根据相反数的定义，求$1 - 3\sqrt{2}$的相反数即可得到c，且c对应的点在原点右侧，结果为正，符合数轴特征。
(2) 化简求值时，先回忆实数运算的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，正数的绝对值是它本身，$(\sqrt[3]{x})^3=x$。先判断$c$、$a-b$的正负，再去根号和绝对值，化简后代入数值计算即可。
【解析】
(1) 因为a是4的平方根，且a在数轴原点左侧，$a＜0$，所以$a=-\sqrt{4}=-2$；
因为b是-27的立方根，所以$b=\sqrt[3]{-27}=-3$；
因为c是$1 - 3\sqrt{2}$的相反数，所以$c=-(1 - 3\sqrt{2})=3\sqrt{2}-1$。
(2) 由题意可得，$c=3\sqrt{2}-1＞0$，$a-b=-2-(-3)=1＞0$，
根据根式和绝对值的性质：
$\sqrt{c^2} + |a - b| - ( \sqrt[3]{a - c} )^3$
$=c + (a - b) - (a - c)$
$=c + a - b - a + c$
$=2c - b$
将$b=-3$，$c=3\sqrt{2}-1$代入得：
原式$=2×(3\sqrt{2}-1) - (-3)=6\sqrt{2}-2+3=6\sqrt{2}+1$
【答案】
(1) $-2$，$-3$，$3\sqrt{2}-1$
(2) $6\sqrt{2}+1$
【知识点】
平方根与立方根，相反数的定义，实数的运算
【点评】
本题综合考查了实数的基础概念和运算，解题的关键是结合数轴和相关定义确定各字母的取值，再根据二次根式、绝对值、立方根的性质化简代数式，注重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7
