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1. [2025广元中考]$\sqrt{4}$的相反数是（
A.-4
B.-2
C.2
D.4
B
）A.-4
B.-2
C.2
D.4
答案
∵$\sqrt{4}=2$,2的相反数是$-2$,$\therefore \sqrt{4}$的相反数是$-2$.
解析
【分析】
要解决这道题，分两步思考：第一步先明确算术平方根的定义，计算出$\sqrt{4}$的结果；第二步再根据相反数的概念，求出这个结果的相反数，就能得到最终答案，注意不要直接求4的相反数，避免出错。
【解析】
首先根据算术平方根的定义，正数的算术平方根是正数，可得$\sqrt{4}=2$；
再根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，可知2的相反数是$-2$，因此$\sqrt{4}$的相反数是$-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的化简；相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是部分同学会忽略先化简$\sqrt{4}$，直接求4的相反数误选A，做题时要注意审题，先化简再按要求计算。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，分两步思考：第一步先明确算术平方根的定义，计算出$\sqrt{4}$的结果；第二步再根据相反数的概念，求出这个结果的相反数，就能得到最终答案，注意不要直接求4的相反数，避免出错。
【解析】
首先根据算术平方根的定义，正数的算术平方根是正数，可得$\sqrt{4}=2$；
再根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，可知2的相反数是$-2$，因此$\sqrt{4}$的相反数是$-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的化简；相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是部分同学会忽略先化简$\sqrt{4}$，直接求4的相反数误选A，做题时要注意审题，先化简再按要求计算。
【难度系数】
0.9
2. [2025南京鼓楼区二模]如果实数a,b满足
$ab=1$
，那么a,b互为倒数。答案
$ab=1$
解析
【分析】
本题考查倒数的基本定义，解题时首先回忆倒数的核心概念：两个实数若互为倒数，它们的乘积为1，反过来，若两个非零实数的乘积为1，那么这两个数互为倒数。由于ab=1本身已经隐含a、b均不为0的条件，符合倒数存在的前提，因此直接根据定义写出对应的等式即可。
【解析】
根据倒数的定义可知：乘积为1的两个实数互为倒数。
ab=1的形式已经说明a≠0且b≠0，满足倒数存在的前提，因此当实数a、b满足ab=1时，a、b互为倒数。
【答案】
$ab=1$
【知识点】
1. 倒数的定义
2. 实数乘法运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对倒数定义的记忆与理解，只要熟练掌握基础概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查倒数的基本定义，解题时首先回忆倒数的核心概念：两个实数若互为倒数，它们的乘积为1，反过来，若两个非零实数的乘积为1，那么这两个数互为倒数。由于ab=1本身已经隐含a、b均不为0的条件，符合倒数存在的前提，因此直接根据定义写出对应的等式即可。
【解析】
根据倒数的定义可知：乘积为1的两个实数互为倒数。
ab=1的形式已经说明a≠0且b≠0，满足倒数存在的前提，因此当实数a、b满足ab=1时，a、b互为倒数。
【答案】
$ab=1$
【知识点】
1. 倒数的定义
2. 实数乘法运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对倒数定义的记忆与理解，只要熟练掌握基础概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. (1)$3 - \sqrt{11}$的相反数是
(2)$\sqrt{3} - 2$的绝对值是
$-3 + \sqrt{11}$
。(2)$\sqrt{3} - 2$的绝对值是
$2 - \sqrt{3}$
。答案
(1)$3 - \sqrt{11}$的相反数是$-(3 - \sqrt{11}) = -3 + \sqrt{11}$。(2)$\because 3 ＜ 4$,$\therefore \sqrt{3} ＜ \sqrt{4}$,即$\sqrt{3} ＜ 2$,$\therefore \sqrt{3} - 2 ＜ 0$,$\therefore |\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题考查实数的相关概念与化简，解题思路如下：
(1) 求一个数的相反数，根据相反数的定义：数a的相反数为-a，只需给原数整体添加负号，再化简即可。
(2) 求一个数的绝对值，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。首先需要判断$\sqrt{3}-2$的正负性，通过比较$\sqrt{3}$和2的大小即可判断，再根据性质化简绝对值。
【解析】
(1) 根据相反数的定义，$3-\sqrt{11}$的相反数为：
$-(3-\sqrt{11})=-3+\sqrt{11}=\sqrt{11}-3$
(2) 先判断$\sqrt{3}-2$的正负：
$\because 3＜4$，$\therefore \sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$\sqrt{3}＜2$，
$\therefore \sqrt{3}-2＜0$，
根据负数的绝对值等于它的相反数，可得：
$|\sqrt{3}-2|=-(\sqrt{3}-2)=2-\sqrt{3}$
【答案】
(1)$\sqrt{11}-3$；(2)$2-\sqrt{3}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；实数大小比较
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，重点考查对相反数、绝对值核心概念的理解应用，解题的关键是明确求绝对值时需先判断代数式的正负，再对应化简，是巩固实数基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题考查实数的相关概念与化简，解题思路如下：
(1) 求一个数的相反数，根据相反数的定义：数a的相反数为-a，只需给原数整体添加负号，再化简即可。
(2) 求一个数的绝对值，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。首先需要判断$\sqrt{3}-2$的正负性，通过比较$\sqrt{3}$和2的大小即可判断，再根据性质化简绝对值。
【解析】
(1) 根据相反数的定义，$3-\sqrt{11}$的相反数为：
$-(3-\sqrt{11})=-3+\sqrt{11}=\sqrt{11}-3$
(2) 先判断$\sqrt{3}-2$的正负：
$\because 3＜4$，$\therefore \sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$\sqrt{3}＜2$，
$\therefore \sqrt{3}-2＜0$，
根据负数的绝对值等于它的相反数，可得：
$|\sqrt{3}-2|=-(\sqrt{3}-2)=2-\sqrt{3}$
【答案】
(1)$\sqrt{11}-3$；(2)$2-\sqrt{3}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；实数大小比较
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，重点考查对相反数、绝对值核心概念的理解应用，解题的关键是明确求绝对值时需先判断代数式的正负，再对应化简，是巩固实数基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
4. [2025湖南中考]下列四个数中，最大的数是（
A.3.5
B.$\sqrt{2}$
C.0
D.-1
A
）A.3.5
B.$\sqrt{2}$
C.0
D.-1
答案
∵$1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$,$\therefore 3.5 ＞ \sqrt{2} ＞ 0 ＞ -1$,$\therefore$ 选项中的四个数中最大的数是3.5.
解析
【分析】
要找出四个数中最大的数，可按照实数比较大小的基本思路逐步推导：首先根据“正数＞0＞负数”的大小法则，先排除负数和0，缩小比较范围；再针对剩余的正数，对无理数$\sqrt{2}$通过平方的方法估算其大致取值范围，再和另一个正数3.5做比较，即可确定最大的数。
【解析】
解：首先估算$\sqrt{2}$的取值范围，
∵$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，
∴$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$，
结合实数大小比较规则：正数大于0，0大于负数，可得大小关系：
$3.5＞\sqrt{2}＞0＞-1$，
因此四个数中最大的数是3.5。
【答案】
A
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 无理数的估算
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题核心是熟练掌握实数大小比较的基本法则，同时能对常见无理数进行合理估算，属于基础易得分题。
【难度系数】
0.9
要找出四个数中最大的数，可按照实数比较大小的基本思路逐步推导：首先根据“正数＞0＞负数”的大小法则，先排除负数和0，缩小比较范围；再针对剩余的正数，对无理数$\sqrt{2}$通过平方的方法估算其大致取值范围，再和另一个正数3.5做比较，即可确定最大的数。
【解析】
解：首先估算$\sqrt{2}$的取值范围，
∵$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，
∴$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$，
结合实数大小比较规则：正数大于0，0大于负数，可得大小关系：
$3.5＞\sqrt{2}＞0＞-1$，
因此四个数中最大的数是3.5。
【答案】
A
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 无理数的估算
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题核心是熟练掌握实数大小比较的基本法则，同时能对常见无理数进行合理估算，属于基础易得分题。
【难度系数】
0.9
5. [2024扬州邗江区二模]已知$a=-3$，$b=-π$，$c=-\sqrt{3}$，则$a,b,c$的大小关系是（
A.$c ＜ a ＜ b$
B.$a ＜ c ＜ b$
C.$b ＜ a ＜ c$
D.$b ＜ c ＜ a$
C
）A.$c ＜ a ＜ b$
B.$a ＜ c ＜ b$
C.$b ＜ a ＜ c$
D.$b ＜ c ＜ a$
答案
$|-3|=3$,$|-π|=π$,$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}$. $\because π ＞ 3 ＞ \sqrt{3}$,$\therefore -π ＜ -3 ＜ -\sqrt{3}$,即$b ＜ a ＜ c$.
解析
【分析】
要比较三个负数的大小，根据负数比较大小的规则：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。因此解题思路为：第一步分别求出三个数的绝对值，第二步比较三个绝对值的大小，第三步根据负数比较大小的规则反向推出三个负数的大小关系，对应选项即可。
【解析】
首先计算三个数的绝对值：
$|-3|=3$，$|-π|=π$，$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}$
已知$π\approx3.14$，$\sqrt{3}\approx1.732$，因此可得大小关系：$π＞3＞\sqrt{3}$
根据负数比较大小的规则：绝对值越大的负数本身越小，因此可得：
$-π＜-3＜-\sqrt{3}$，即$b＜a＜c$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
负数比较大小规则；绝对值的性质；实数大小比较
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，核心考点为负数比较大小的规律，解题时需注意不能直接按照正数的大小关系推导负数的大小，要先通过绝对值的大小反向判断，熟练掌握常见无理数的近似值能帮助快速判断大小。
【难度系数】
0.8
要比较三个负数的大小，根据负数比较大小的规则：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。因此解题思路为：第一步分别求出三个数的绝对值，第二步比较三个绝对值的大小，第三步根据负数比较大小的规则反向推出三个负数的大小关系，对应选项即可。
【解析】
首先计算三个数的绝对值：
$|-3|=3$，$|-π|=π$，$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}$
已知$π\approx3.14$，$\sqrt{3}\approx1.732$，因此可得大小关系：$π＞3＞\sqrt{3}$
根据负数比较大小的规则：绝对值越大的负数本身越小，因此可得：
$-π＜-3＜-\sqrt{3}$，即$b＜a＜c$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
负数比较大小规则；绝对值的性质；实数大小比较
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，核心考点为负数比较大小的规律，解题时需注意不能直接按照正数的大小关系推导负数的大小，要先通过绝对值的大小反向判断，熟练掌握常见无理数的近似值能帮助快速判断大小。
【难度系数】
0.8
6. ▶一题多解 比较实数大小(填“＞”或“＜”)：
(1) $\sqrt{10}$
(2) $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(1) $\sqrt{10}$
＞
$3$；(2) $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
＜
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。答案
(1) $\because 3^2=9$,$10＞9$,$\therefore \sqrt{10}＞3$.
$\because 9 ＜ 10 ＜ 16$,$\therefore 3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$,$\therefore \sqrt{10} ＞ 3$.
(2) $\because (\frac{\sqrt{3}}{3})^2=\frac{1}{3}$,$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3} ＜ \frac{1}{2}$,$\therefore \frac{\sqrt{3}}{3} ＜ \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\because 9 ＜ 10 ＜ 16$,$\therefore 3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$,$\therefore \sqrt{10} ＞ 3$.
(2) $\because (\frac{\sqrt{3}}{3})^2=\frac{1}{3}$,$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3} ＜ \frac{1}{2}$,$\therefore \frac{\sqrt{3}}{3} ＜ \frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
比较含算术平方根的正实数大小，常用平方法：对于两个正数，平方后的值越大，原数越大，也可以通过估算无理数的取值范围比较大小。
(1) 比较$\sqrt{10}$和3，思路一：将两个数分别平方，去掉根号后比较平方结果的大小；思路二：估算$\sqrt{10}$位于哪两个相邻整数之间，再和3比较。
(2) 比较两个含根号的正分数，将两个数分别平方，消去根号后转化为普通分数的大小比较，再根据正数平方大则原数大的规律判断原数大小。
【解析】
(1) 方法1：
∵ $3^2=9$，$(\sqrt{10})^2=10$，$10＞9$，且$\sqrt{10}$和3均为正数，正数的平方越大，原数越大，
∴ $\sqrt{10}＞3$。
方法2：
∵ $9＜10＜16$，对三个正数同时开算术平方根得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，
∴ $\sqrt{10}＞3$。
(2)
∵ $\frac{\sqrt{3}}{3}＞0$，$\frac{\sqrt{2}}{2}＞0$，分别计算两个数的平方：
$(\frac{\sqrt{3}}{3})^2=\frac{(\sqrt{3})^2}{3^2}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{(\sqrt{2})^2}{2^2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∵ $\frac{1}{3}＜\frac{1}{2}$，正数的平方越小，原数越小，
∴ $\frac{\sqrt{3}}{3}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $＞$；(2) $＜$
【知识点】
1. 实数大小比较；2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题，平方法是比较含根号正实数大小的常用技巧，将无理数比较转化为有理数比较，降低了计算难度，需要熟练掌握该方法。
【难度系数】
0.8
比较含算术平方根的正实数大小，常用平方法：对于两个正数，平方后的值越大，原数越大，也可以通过估算无理数的取值范围比较大小。
(1) 比较$\sqrt{10}$和3，思路一：将两个数分别平方，去掉根号后比较平方结果的大小；思路二：估算$\sqrt{10}$位于哪两个相邻整数之间，再和3比较。
(2) 比较两个含根号的正分数，将两个数分别平方，消去根号后转化为普通分数的大小比较，再根据正数平方大则原数大的规律判断原数大小。
【解析】
(1) 方法1：
∵ $3^2=9$，$(\sqrt{10})^2=10$，$10＞9$，且$\sqrt{10}$和3均为正数，正数的平方越大，原数越大，
∴ $\sqrt{10}＞3$。
方法2：
∵ $9＜10＜16$，对三个正数同时开算术平方根得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，
∴ $\sqrt{10}＞3$。
(2)
∵ $\frac{\sqrt{3}}{3}＞0$，$\frac{\sqrt{2}}{2}＞0$，分别计算两个数的平方：
$(\frac{\sqrt{3}}{3})^2=\frac{(\sqrt{3})^2}{3^2}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{(\sqrt{2})^2}{2^2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∵ $\frac{1}{3}＜\frac{1}{2}$，正数的平方越小，原数越小，
∴ $\frac{\sqrt{3}}{3}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $＞$；(2) $＜$
【知识点】
1. 实数大小比较；2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题，平方法是比较含根号正实数大小的常用技巧，将无理数比较转化为有理数比较，降低了计算难度，需要熟练掌握该方法。
【难度系数】
0.8
7. 在数轴上表示出下列各数，并用“＜”把它们连接起来.
$\sqrt{7}, -|-2|, 0, \sqrt{\frac{1}{4}}, (-1)^2, \sqrt[3]{64}.$
$\sqrt{7}, -|-2|, 0, \sqrt{\frac{1}{4}}, (-1)^2, \sqrt[3]{64}.$
答案
解: $-|-2|=-2$,$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$,$(-1)^2=1$,$\sqrt[3]{64}=4$.
各数在数轴上的表示如图所示：
所以 $-|-2| ＜ 0 ＜ \sqrt{\frac{1}{4}} ＜ (-1)^2 ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt[3]{64}$.
解析
【分析】
解题时首先需要将题目中带绝对值、乘方、根号的数先化简为最简形式，再估算无理数$\sqrt{7}$的大致范围，之后将所有数对应标注到数轴上，根据“数轴上右侧的数始终大于左侧的数”的性质，按从左到右的顺序即可用“＜”完成大小排序。
【解析】
第一步：化简各数：
1. 计算$-|-2|$：先求绝对值$|-2|=2$，因此$-|-2|=-2$；
2. 计算$\sqrt{\frac{1}{4}}$：由算术平方根的定义，$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，因此$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$；
3. 计算$(-1)^2$：负数的偶次幂为正，因此$(-1)^2=1$；
4. 计算$\sqrt[3]{64}$：由立方根的定义，$4^3=64$，因此$\sqrt[3]{64}=4$；
5. 估算$\sqrt{7}$：因为$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜7＜9$，因此$2＜\sqrt{7}＜3$。
第二步：将各数对应标注在数轴上，各点位置依次为：$-2$在原点左侧2个单位处，$0$在原点，$\frac{1}{2}$在0和1中点处，$1$在原点右侧1个单位处，$\sqrt{7}$在2和3之间，$4$在原点右侧4个单位处。
第三步：根据数轴上右边的数大于左边的数的性质，将各数从小到大排列。
【答案】
解: $-|-2|=-2$,$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$,$(-1)^2=1$,$\sqrt[3]{64}=4$.
各数在数轴上的表示如图所示：
所以 $-|-2| ＜ 0 ＜ \sqrt{\frac{1}{4}} ＜ (-1)^2 ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt[3]{64}$.
【知识点】
实数化简、数轴的应用、实数大小比较
【点评】
本题是实数相关的基础题，解题关键是先准确化简各类形式的实数，再借助数轴的直观性完成大小比较，需要熟练掌握绝对值、乘方、平方根、立方根的基本运算规则。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要将题目中带绝对值、乘方、根号的数先化简为最简形式，再估算无理数$\sqrt{7}$的大致范围，之后将所有数对应标注到数轴上，根据“数轴上右侧的数始终大于左侧的数”的性质，按从左到右的顺序即可用“＜”完成大小排序。
【解析】
第一步：化简各数：
1. 计算$-|-2|$：先求绝对值$|-2|=2$，因此$-|-2|=-2$；
2. 计算$\sqrt{\frac{1}{4}}$：由算术平方根的定义，$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，因此$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$；
3. 计算$(-1)^2$：负数的偶次幂为正，因此$(-1)^2=1$；
4. 计算$\sqrt[3]{64}$：由立方根的定义，$4^3=64$，因此$\sqrt[3]{64}=4$；
5. 估算$\sqrt{7}$：因为$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜7＜9$，因此$2＜\sqrt{7}＜3$。
第二步：将各数对应标注在数轴上，各点位置依次为：$-2$在原点左侧2个单位处，$0$在原点，$\frac{1}{2}$在0和1中点处，$1$在原点右侧1个单位处，$\sqrt{7}$在2和3之间，$4$在原点右侧4个单位处。
第三步：根据数轴上右边的数大于左边的数的性质，将各数从小到大排列。
【答案】
解: $-|-2|=-2$,$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$,$(-1)^2=1$,$\sqrt[3]{64}=4$.
各数在数轴上的表示如图所示：
所以 $-|-2| ＜ 0 ＜ \sqrt{\frac{1}{4}} ＜ (-1)^2 ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt[3]{64}$.
【知识点】
实数化简、数轴的应用、实数大小比较
【点评】
本题是实数相关的基础题，解题关键是先准确化简各类形式的实数，再借助数轴的直观性完成大小比较，需要熟练掌握绝对值、乘方、平方根、立方根的基本运算规则。
【难度系数】
0.8
8. 一题多解 比较下列各组数的大小：
(1) $-\sqrt{3}$与$-1.5$；
(2) $-\sqrt{5} + 1$与$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
(1) $-\sqrt{3}$与$-1.5$；
(2) $-\sqrt{5} + 1$与$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
答案
解:(1) $(-\sqrt{3})^2=3$,$(-1.5)^2=2.25$.
$\because 3 ＞ 2.25$,$\therefore -\sqrt{3} ＜ -1.5$.
(2) $\because 2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$,
$\therefore -3 ＜ -\sqrt{5} ＜ -2$,
$\therefore -2 ＜ -\sqrt{5} + 1 ＜ -1$.
$\because 1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$,$\therefore -1 ＜ -\frac{\sqrt{2}}{2} ＜ -\frac{1}{2}$,
$\therefore -\sqrt{5} + 1 ＜ -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
另解 $-\sqrt{5} + 1 - (-1) = 2 - \sqrt{5}$.
$\because 2 = \sqrt{4} ＜ \sqrt{5}$,
$\therefore 2 - \sqrt{5} ＜ 0$,$\therefore -\sqrt{5} + 1 ＜ -1$.
$-\frac{\sqrt{2}}{2} - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$.
$\because 2 = \sqrt{4} ＞ \sqrt{2}$,
$\therefore \frac{2 - \sqrt{2}}{2} ＞ 0$,$\therefore -\frac{\sqrt{2}}{2} ＞ -1$.
$\therefore -\sqrt{5} + 1 ＜ -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\because 3 ＞ 2.25$,$\therefore -\sqrt{3} ＜ -1.5$.
(2) $\because 2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$,
$\therefore -3 ＜ -\sqrt{5} ＜ -2$,
$\therefore -2 ＜ -\sqrt{5} + 1 ＜ -1$.
$\because 1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$,$\therefore -1 ＜ -\frac{\sqrt{2}}{2} ＜ -\frac{1}{2}$,
$\therefore -\sqrt{5} + 1 ＜ -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
另解 $-\sqrt{5} + 1 - (-1) = 2 - \sqrt{5}$.
$\because 2 = \sqrt{4} ＜ \sqrt{5}$,
$\therefore 2 - \sqrt{5} ＜ 0$,$\therefore -\sqrt{5} + 1 ＜ -1$.
$-\frac{\sqrt{2}}{2} - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$.
$\because 2 = \sqrt{4} ＞ \sqrt{2}$,
$\therefore \frac{2 - \sqrt{2}}{2} ＞ 0$,$\therefore -\frac{\sqrt{2}}{2} ＞ -1$.
$\therefore -\sqrt{5} + 1 ＜ -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
(1) 两个负数比较大小，遵循“绝对值大的数反而小”的规则，因此可先比较二者绝对值的大小。由于两个数的绝对值都是正数，用平方法比较更简便：正数的平方越大，原数越大，对应负数就越小。
(2) 比较含无理数的数的大小，有两种常用思路：一是先估算各无理数的大致取值范围，进而推导得到两个待比较数的范围，通过范围直接判断大小；二是选取合适的中间量（如本题的-1），用作差法分别判断两个数和中间量的大小关系，间接比较两个数的大小。
【解析】
(1) 计算两个数的平方：
$(-\sqrt{3})^2=3$，$(-1.5)^2=2.25$
$\because 3 ＞ 2.25$，$\therefore \sqrt{3} ＞ 1.5$
根据负数比较大小的规则，可得$-\sqrt{3} ＜ -1.5$。
(2) 方法一：估算法
$\because 2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，不等式两边乘-1得$-3 ＜ -\sqrt{5} ＜ -2$，再加1得：
$-2 ＜ -\sqrt{5} + 1 ＜ -1$
$\because 1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$，不等式两边除以-2得$-1 ＜ -\frac{\sqrt{2}}{2} ＜ -\frac{1}{2}$
对比两个范围可得：$-\sqrt{5} + 1 ＜ -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
方法二：作差结合中间量法
计算$-\sqrt{5} + 1 - (-1) = 2 - \sqrt{5}$，$\because 2 = \sqrt{4} ＜ \sqrt{5}$，$\therefore 2 - \sqrt{5} ＜ 0$，即$-\sqrt{5} + 1 ＜ -1$；
计算$-\frac{\sqrt{2}}{2} - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$，$\because 2 = \sqrt{4} ＞ \sqrt{2}$，$\therefore 2-\sqrt{2}＞0$，即$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} ＞ 0$，$\therefore -\frac{\sqrt{2}}{2} ＞ -1$；
综上可得：$-\sqrt{5} + 1 ＜ -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $-\sqrt{3} ＜ -1.5$
(2) $-\sqrt{5} + 1 ＜ -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
实数大小比较，无理数估算，作差法比较大小
【点评】
本题考查实数大小比较的常用技巧，解题时要注意负数比较大小的特殊规则，平方法、估算法、中间量法、作差法都是比较实数大小的常用方法，可根据题目特征灵活选择。
【难度系数】
0.75
(1) 两个负数比较大小，遵循“绝对值大的数反而小”的规则，因此可先比较二者绝对值的大小。由于两个数的绝对值都是正数，用平方法比较更简便：正数的平方越大，原数越大，对应负数就越小。
(2) 比较含无理数的数的大小，有两种常用思路：一是先估算各无理数的大致取值范围，进而推导得到两个待比较数的范围，通过范围直接判断大小；二是选取合适的中间量（如本题的-1），用作差法分别判断两个数和中间量的大小关系，间接比较两个数的大小。
【解析】
(1) 计算两个数的平方：
$(-\sqrt{3})^2=3$，$(-1.5)^2=2.25$
$\because 3 ＞ 2.25$，$\therefore \sqrt{3} ＞ 1.5$
根据负数比较大小的规则，可得$-\sqrt{3} ＜ -1.5$。
(2) 方法一：估算法
$\because 2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，不等式两边乘-1得$-3 ＜ -\sqrt{5} ＜ -2$，再加1得：
$-2 ＜ -\sqrt{5} + 1 ＜ -1$
$\because 1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$，不等式两边除以-2得$-1 ＜ -\frac{\sqrt{2}}{2} ＜ -\frac{1}{2}$
对比两个范围可得：$-\sqrt{5} + 1 ＜ -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
方法二：作差结合中间量法
计算$-\sqrt{5} + 1 - (-1) = 2 - \sqrt{5}$，$\because 2 = \sqrt{4} ＜ \sqrt{5}$，$\therefore 2 - \sqrt{5} ＜ 0$，即$-\sqrt{5} + 1 ＜ -1$；
计算$-\frac{\sqrt{2}}{2} - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$，$\because 2 = \sqrt{4} ＞ \sqrt{2}$，$\therefore 2-\sqrt{2}＞0$，即$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} ＞ 0$，$\therefore -\frac{\sqrt{2}}{2} ＞ -1$；
综上可得：$-\sqrt{5} + 1 ＜ -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $-\sqrt{3} ＜ -1.5$
(2) $-\sqrt{5} + 1 ＜ -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
实数大小比较，无理数估算，作差法比较大小
【点评】
本题考查实数大小比较的常用技巧，解题时要注意负数比较大小的特殊规则，平方法、估算法、中间量法、作差法都是比较实数大小的常用方法，可根据题目特征灵活选择。
【难度系数】
0.75
9. 新趋势·条件开放 若$\sqrt{5} + a$的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值：
$-\sqrt{5}$(答案不唯一)
。答案
$-\sqrt{5}$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题思路：首先明确√5是无理数，题目要求√5与a的和为有理数，有理数不含无理部分，因此需要a能够抵消√5的无理部分。思考时可抓住“两个无理数相加若结果为有理数，那么这两个无理数的无理部分互为相反数”的规律，最简单的就是取a为√5的相反数，此时相加结果为0，0是有理数，符合要求，也可在相反数基础上加任意有理数得到更多符合条件的a。
【解析】
∵√5是无理数，要使√5 + a的结果为有理数，需抵消√5的无理部分
∴a可以表示为“任意有理数 - √5”的形式
当取有理数部分为0时，a = -√5，此时√5 + a = √5 + (-√5) = 0，0是有理数，满足条件。
（注：也可取值如1-√5、2-√5等，均符合要求）
【答案】
$-\sqrt{5}$(答案不唯一)
【知识点】
无理数的定义；实数加减运算；有理数的定义
【点评】
本题是条件开放类题目，答案不唯一，核心考查对有理数、无理数概念的辨析及实数运算的灵活应用，只要构造的a能抵消算式中的无理部分即可，出题形式灵活，侧重基础概念的理解。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先明确√5是无理数，题目要求√5与a的和为有理数，有理数不含无理部分，因此需要a能够抵消√5的无理部分。思考时可抓住“两个无理数相加若结果为有理数，那么这两个无理数的无理部分互为相反数”的规律，最简单的就是取a为√5的相反数，此时相加结果为0，0是有理数，符合要求，也可在相反数基础上加任意有理数得到更多符合条件的a。
【解析】
∵√5是无理数，要使√5 + a的结果为有理数，需抵消√5的无理部分
∴a可以表示为“任意有理数 - √5”的形式
当取有理数部分为0时，a = -√5，此时√5 + a = √5 + (-√5) = 0，0是有理数，满足条件。
（注：也可取值如1-√5、2-√5等，均符合要求）
【答案】
$-\sqrt{5}$(答案不唯一)
【知识点】
无理数的定义；实数加减运算；有理数的定义
【点评】
本题是条件开放类题目，答案不唯一，核心考查对有理数、无理数概念的辨析及实数运算的灵活应用，只要构造的a能抵消算式中的无理部分即可，出题形式灵活，侧重基础概念的理解。
【难度系数】
0.9
10. 计算:
(1) $\sqrt{25} - ( \frac{1}{2} )^{-2} + (\sqrt{5} - 1)^0$；
(2) $\sqrt{(-3)^2} + (\sqrt{2})^2 - \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$；
(3) $( \frac{1}{2} )^0 + (-2)^3 × \frac{1}{8} - \sqrt[3]{27} × \sqrt{\frac{1}{9}}$；
(4) $(π - 3.14)^0 + |1 - \sqrt{2}| - \sqrt[3]{-64}$。
(1) $\sqrt{25} - ( \frac{1}{2} )^{-2} + (\sqrt{5} - 1)^0$；
(2) $\sqrt{(-3)^2} + (\sqrt{2})^2 - \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$；
(3) $( \frac{1}{2} )^0 + (-2)^3 × \frac{1}{8} - \sqrt[3]{27} × \sqrt{\frac{1}{9}}$；
(4) $(π - 3.14)^0 + |1 - \sqrt{2}| - \sqrt[3]{-64}$。
答案
解:(1) $\sqrt{25} - (\frac{1}{2})^{-2} + (\sqrt{5} - 1)^0 = 5 - 4 + 1 = 2$.
(2) $\sqrt{(-3)^2} + (\sqrt{2})^2 - \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = 3 + 2 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$.
(3) $(\frac{1}{2})^0 + (-2)^3 × \frac{1}{8} - \sqrt[3]{27} × \sqrt{\frac{1}{9}} = 1 + (-8) × \frac{1}{8} - 3 × \frac{1}{3} = 1 - 1 - 1 = -1$.
(4) $(π - 3.14)^0 + |1 - \sqrt{2}| - \sqrt[3]{-64} = 1 + \sqrt{2} - 1 - (-4) = 1 + \sqrt{2} - 1 + 4 = 4 + \sqrt{2}$.
(2) $\sqrt{(-3)^2} + (\sqrt{2})^2 - \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = 3 + 2 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$.
(3) $(\frac{1}{2})^0 + (-2)^3 × \frac{1}{8} - \sqrt[3]{27} × \sqrt{\frac{1}{9}} = 1 + (-8) × \frac{1}{8} - 3 × \frac{1}{3} = 1 - 1 - 1 = -1$.
(4) $(π - 3.14)^0 + |1 - \sqrt{2}| - \sqrt[3]{-64} = 1 + \sqrt{2} - 1 - (-4) = 1 + \sqrt{2} - 1 + 4 = 4 + \sqrt{2}$.
解析
【分析】
这是一组实数混合运算题，解题时先明确运算顺序：先算乘方、开方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再算乘除，最后算加减。每道小题先分别化简每个运算项：①算术平方根结果为非负数，立方根的符号与被开方数一致；②非零数的零次幂等于1；③负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；④正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，再按顺序合并计算即可。
【解析】
(1) 先分别计算各部分：
$\sqrt{25}=5$，$(\frac{1}{2})^{-2}=2^2=4$，$\sqrt{5}-1≠0$，故$(\sqrt{5}-1)^0=1$
原式$=5 - 4 + 1 = 2$
(2) 先分别计算各部分：
$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，$(\sqrt{2})^2=2$，$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$
原式$=3 + 2 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$
(3) 先分别计算各部分：
$(\frac{1}{2})^0=1$，$(-2)^3=-8$，$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$
原式$=1 + (-8) × \frac{1}{8} - 3 × \frac{1}{3} = 1 - 1 - 1 = -1$
(4) 先分别计算各部分：
$π-3.14≠0$，故$(π - 3.14)^0=1$，$\sqrt{2}＞1$，故$|1 - \sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，$\sqrt[3]{-64}=-4$
原式$=1 + (\sqrt{2} - 1) - (-4) = 1 + \sqrt{2} - 1 + 4 = 4 + \sqrt{2}$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{\dfrac{9}{2}}$；(3) $\boxed{-1}$；(4) $\boxed{4+\sqrt{2}}$
【知识点】
实数混合运算，零（负）指数幂运算，开方与绝对值化简
【点评】
本题属于实数运算的基础常考题，核心考查各类运算法则的掌握与应用，解题时需注意易错点：零指数幂的底数不能为0，负整数指数幂的运算规则，算术平方根的非负性，负数的立方根仍为负数，绝对值化简时先判断内部的正负性，准确化简各运算项后再按顺序计算即可。
【难度系数】
0.75
这是一组实数混合运算题，解题时先明确运算顺序：先算乘方、开方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再算乘除，最后算加减。每道小题先分别化简每个运算项：①算术平方根结果为非负数，立方根的符号与被开方数一致；②非零数的零次幂等于1；③负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；④正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，再按顺序合并计算即可。
【解析】
(1) 先分别计算各部分：
$\sqrt{25}=5$，$(\frac{1}{2})^{-2}=2^2=4$，$\sqrt{5}-1≠0$，故$(\sqrt{5}-1)^0=1$
原式$=5 - 4 + 1 = 2$
(2) 先分别计算各部分：
$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，$(\sqrt{2})^2=2$，$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$
原式$=3 + 2 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$
(3) 先分别计算各部分：
$(\frac{1}{2})^0=1$，$(-2)^3=-8$，$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$
原式$=1 + (-8) × \frac{1}{8} - 3 × \frac{1}{3} = 1 - 1 - 1 = -1$
(4) 先分别计算各部分：
$π-3.14≠0$，故$(π - 3.14)^0=1$，$\sqrt{2}＞1$，故$|1 - \sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，$\sqrt[3]{-64}=-4$
原式$=1 + (\sqrt{2} - 1) - (-4) = 1 + \sqrt{2} - 1 + 4 = 4 + \sqrt{2}$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{\dfrac{9}{2}}$；(3) $\boxed{-1}$；(4) $\boxed{4+\sqrt{2}}$
【知识点】
实数混合运算，零（负）指数幂运算，开方与绝对值化简
【点评】
本题属于实数运算的基础常考题，核心考查各类运算法则的掌握与应用，解题时需注意易错点：零指数幂的底数不能为0，负整数指数幂的运算规则，算术平方根的非负性，负数的立方根仍为负数，绝对值化简时先判断内部的正负性，准确化简各运算项后再按顺序计算即可。
【难度系数】
0.75
