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7. 新考法 教材习题变式 某小区计划在一个长16 m，宽9 m的矩形场地ABCD上，修建若干条同样宽的小路，竖直的与AB平行，水平的与AD平行，其余部分种植草坪。已知草坪部分的总面积为112 m²，设小路宽x m。若x满足方程$x^2 -17x +16 =0$，则修建的示意图是（
C
）答案
7. C $\because x^2 -17x +16 =0$,即$(x - 1)(x - 16) = 0$,$\therefore x_1 =1$,$x_2 =16$. 又$\because$ 矩形场地ABCD的长为16 m,宽为9 m,$\therefore x=1$.
对于A,草坪部分的总面积为$(16 - 1) × (9 - 1 × 2) = 105(\mathrm{m}^2)$,$\because 105 ≠112$,$\therefore$ 选项A不符合题意;
对于B,草坪部分的总面积为$(16 - 1 × 3) × (9 - 1) = 104(\mathrm{m}^2)$,$\because 104 ≠112$,$\therefore$ 选项B不符合题意;
对于C,草坪部分的总面积为$(16 - 1 × 2) × (9 - 1) = 112(\mathrm{m}^2)$,$\therefore$ 选项C符合题意;
对于D,草坪部分的总面积为$(16 - 1 × 2) × (9 - 1 × 2) = 98(\mathrm{m}^2)$,$\because 98 ≠112$,$\therefore$ 选项D不符合题意.
对于A,草坪部分的总面积为$(16 - 1) × (9 - 1 × 2) = 105(\mathrm{m}^2)$,$\because 105 ≠112$,$\therefore$ 选项A不符合题意;
对于B,草坪部分的总面积为$(16 - 1 × 3) × (9 - 1) = 104(\mathrm{m}^2)$,$\because 104 ≠112$,$\therefore$ 选项B不符合题意;
对于C,草坪部分的总面积为$(16 - 1 × 2) × (9 - 1) = 112(\mathrm{m}^2)$,$\therefore$ 选项C符合题意;
对于D,草坪部分的总面积为$(16 - 1 × 2) × (9 - 1 × 2) = 98(\mathrm{m}^2)$,$\because 98 ≠112$,$\therefore$ 选项D不符合题意.
8. 一题多解 已知一个菱形的面积是24，它的两条对角线长的和为14，则该菱形的边长为
5
。答案
8. 5 通解 设该菱形的一条短一点的对角线长为x,则长一点的对角线长为$14 - x$. 根据题意,得$\frac{1}{2}x(14 - x) = 24$,解得$x_1 =6$,$x_2 =8$(不合题意,舍去),则两条对角线的长分别为6,8,$\therefore$ 该菱形的边长为$\sqrt{3^2 +4^2} =5$.
另解1 设该菱形的两条对角线的长分别为a,b. 根据题意,得$a + b =14$,$\frac{1}{2}ab =24$(即$ab=48$),则a,b是一元二次方程$x^2 -14x +48 =0$的两个根,解方程得$x_1 =6$,$x_2 =8$,则两条对角线的长分别为6,8,$\therefore$ 该菱形的边长为$\sqrt{3^2 +4^2} =5$.
另解2 设该菱形的两条对角线的长分别为a,b. 根据题意,得$a + b =14$,$\frac{1}{2}ab =24$(即$ab=48$),则该菱形的边长为$\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2} = \frac{\sqrt{(a + b)^2 - 2ab}}{2} = \frac{\sqrt{14^2 - 2 ×48}}{2} =5$.
另解1 设该菱形的两条对角线的长分别为a,b. 根据题意,得$a + b =14$,$\frac{1}{2}ab =24$(即$ab=48$),则a,b是一元二次方程$x^2 -14x +48 =0$的两个根,解方程得$x_1 =6$,$x_2 =8$,则两条对角线的长分别为6,8,$\therefore$ 该菱形的边长为$\sqrt{3^2 +4^2} =5$.
另解2 设该菱形的两条对角线的长分别为a,b. 根据题意,得$a + b =14$,$\frac{1}{2}ab =24$(即$ab=48$),则该菱形的边长为$\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2} = \frac{\sqrt{(a + b)^2 - 2ab}}{2} = \frac{\sqrt{14^2 - 2 ×48}}{2} =5$.
9. [2026扬州高邮期中]如图,若线段MN将边长为6,8,m(m＜8)的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分,则m=
2或6
。答案
9. 2或6 如图,延长NA,MB相交于点C,则$△ MNC$是直角三角形. 由题意,得$\frac{1}{2}(6 +8 +m) ×8 - m(8 - m) = \frac{1}{2}(6^2 +8^2 +m^2)$,整理,得$m^2 -8m +12 =0$,解得$m_1 =2$,$m_2 =6$,$\therefore m$的值为2或6.
10. [2026无锡江阴市周庄中学月考]如图,在某次劳动技能课程中,小张同学将一张长16 cm、宽12 cm的矩形纸板,剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后,剩余部分恰好制作成底面积为48 cm²的有盖的长方体工艺盒,则剪去的正方形的边长为
2
cm.答案
10. 2 设长方体的底面长为x cm、宽为y cm,则小正方形的边长为$\frac{12 - x}{2}$ cm. 根据题意,得$\begin{cases} 2 · \frac{12 - x}{2} + 2y =16 ① \\ xy =48 ② \end{cases}$,由①,得$x =2y -4$③,将③代入②,得$(2y -4)y =48$,整理,得$y^2 -2y -24 =0$,解得$y_1 =6$,$y_2 = -4$(不合题意,舍去),$\therefore x=8$,$\therefore$ 剪去的正方形的边长为$\frac{12 -8}{2} =2$(cm).
11. 新考向·数学文化 [2026泰州靖江月考]《周髀算经》中有一种几何方法可以用来求形如$x(x+6)=16$的方程的正数解，方法如下：如图，将四个长为$x+6$，宽为$x$的长方形纸片（每个长方形纸片的面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为$16×4 +36=100$，边长为10，故得$x(x+6)=16$的正数解为$x=\frac{10-6}{2}=2$. 小明用此方法解关于$x$的方程$x^2+mx-n=0$时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则$mn=$
5
.答案
11. 5 关于x的方程$x^2 +mx -n =0$化为$x(x +m) =n$,$\therefore$ 长方形的长为$x +m$,宽为x,面积为n,$\therefore$ 小正方形的边长是$x +m -x = \sqrt{4} =2$,长方形的面积为$\frac{14 -4}{4} = \frac{5}{2}$,故$m=2$,$n=\frac{5}{2}$,$\therefore mn =2 × \frac{5}{2} =5$.
12. [2025江阴南闸实验学校期中改编]某农场准备利用如图所示的直角墙角(两边足够长)和50 m长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场MNPQ(篱笆只围PQ,PN两边),并在PQ,PN两边上各开一个1 m宽的门.若在直角墙角内点A处有一水池,且与墙MQ,MN的距离分别是7 m,21 m,要将这个水池围在矩形养殖场内(含边界,不考虑水池的尺寸),则养殖场的面积能否为352 m²?若能,求出PQ的长;若不能,请说明理由.
答案
12. 解:假设养殖场的面积能为352 m²,$PQ=x$ m,
则$PN=50 -(x -1) +1 =(52 -x)$(m).
根据题意,得$x(52 -x) =352$,
解得$x_1 =8$,$x_2 =44$.
$\because A$处与墙MQ,MN的距离分别是7 m,21 m,
$\therefore \begin{cases} 52 -x ≥21 \\ x ≥7 \end{cases}$,解得$7 ≤x ≤31$,$\therefore x=8$,
$\therefore$ 养殖场的面积能为352 m²,此时$PQ=8$ m.
则$PN=50 -(x -1) +1 =(52 -x)$(m).
根据题意,得$x(52 -x) =352$,
解得$x_1 =8$,$x_2 =44$.
$\because A$处与墙MQ,MN的距离分别是7 m,21 m,
$\therefore \begin{cases} 52 -x ≥21 \\ x ≥7 \end{cases}$,解得$7 ≤x ≤31$,$\therefore x=8$,
$\therefore$ 养殖场的面积能为352 m²,此时$PQ=8$ m.
13. [2025扬州邗江区期中] 如图,用长为22 m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为14 m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在BC上用其他材料做了宽为1 m的两扇小门.设花圃的一边AB长为x m.
(1)另一边AD的长为
(2)若花圃的面积刚好为45 m²,求此时花圃的长与宽.
(3)建成花圃的面积可能为60 m²吗?请说明理由.
(1)另一边AD的长为
24-3x
m.(用含x的代数式表示)(2)若花圃的面积刚好为45 m²,求此时花圃的长与宽.
(3)建成花圃的面积可能为60 m²吗?请说明理由.
答案
13. 解:(1)$(24 - 3x)$
(2)根据题意,得$x(24 - 3x) =45$,
解得$x_1 =5$,$x_2 =3$.
当$x=5$时,$24 -3x =9 ＜14$,符合题意;
当$x=3$时,$24 -3x =15 ＞14$,不符合题意,舍去.
答:花圃的长为9 m,宽为5 m.
(3)建成花圃的面积不可能为60 m².理由如下:
令$x(24 -3x) =60$,化简整理得$x^2 -8x +20 =0$,
$\therefore a=1$,$b=-8$,$c=20$.
$\because b^2 -4ac =(-8)^2 -4 ×1 ×20 =-16 ＜0$,
$\therefore$ 原方程无实数根,
$\therefore$ 建成花圃的面积不可能为60 m².
(2)根据题意,得$x(24 - 3x) =45$,
解得$x_1 =5$,$x_2 =3$.
当$x=5$时,$24 -3x =9 ＜14$,符合题意;
当$x=3$时,$24 -3x =15 ＞14$,不符合题意,舍去.
答:花圃的长为9 m,宽为5 m.
(3)建成花圃的面积不可能为60 m².理由如下:
令$x(24 -3x) =60$,化简整理得$x^2 -8x +20 =0$,
$\therefore a=1$,$b=-8$,$c=20$.
$\because b^2 -4ac =(-8)^2 -4 ×1 ×20 =-16 ＜0$,
$\therefore$ 原方程无实数根,
$\therefore$ 建成花圃的面积不可能为60 m².
