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1 在一个等腰锐角三角形中，若它腰上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的底角等于（
A.15°
B.30°
C.60°
D.75°
D
）。A.15°
B.30°
C.60°
D.75°
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先明确题干限制条件为等腰锐角三角形，先画示意图辅助分析：①先利用“直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半”的逆定理，由腰上的高等于腰长的一半求出顶角的度数；②再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角度数；③注意排除钝角等腰三角形的情况，避免误选。
【解析】
设等腰锐角△ABC中，AB=AC（AB、AC为腰），过B作BD⊥AC于D，BD为腰AC上的高。
由题意得：$BD = \frac{1}{2} AC$，
∵ $AB=AC$，
∴ $BD = \frac{1}{2} AB$，
在Rt△ABD中，$∠ ADB=90°$，$BD=\frac{1}{2} AB$，
∴ $∠ BAC = 30°$（直角三角形中，若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为30°），
∵ △ABC是等腰三角形，AB=AC，
∴ 底角$∠ ABC=∠ ACB = (180° - ∠ BAC)÷2 = (180° - 30°)÷2 = 75°$。
若为钝角等腰三角形，腰上的高在三角形外部，此时顶角为150°，底角为15°，不符合题干“锐角三角形”的要求，故舍去。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题易因忽略题干中“锐角三角形”的限定条件，误将钝角等腰三角形的情况纳入计算错选A，解题时需注意审题，结合三角形的分类筛选符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题干限制条件为等腰锐角三角形，先画示意图辅助分析：①先利用“直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半”的逆定理，由腰上的高等于腰长的一半求出顶角的度数；②再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角度数；③注意排除钝角等腰三角形的情况，避免误选。
【解析】
设等腰锐角△ABC中，AB=AC（AB、AC为腰），过B作BD⊥AC于D，BD为腰AC上的高。
由题意得：$BD = \frac{1}{2} AC$，
∵ $AB=AC$，
∴ $BD = \frac{1}{2} AB$，
在Rt△ABD中，$∠ ADB=90°$，$BD=\frac{1}{2} AB$，
∴ $∠ BAC = 30°$（直角三角形中，若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为30°），
∵ △ABC是等腰三角形，AB=AC，
∴ 底角$∠ ABC=∠ ACB = (180° - ∠ BAC)÷2 = (180° - 30°)÷2 = 75°$。
若为钝角等腰三角形，腰上的高在三角形外部，此时顶角为150°，底角为15°，不符合题干“锐角三角形”的要求，故舍去。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题易因忽略题干中“锐角三角形”的限定条件，误将钝角等腰三角形的情况纳入计算错选A，解题时需注意审题，结合三角形的分类筛选符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
② 等腰三角形底边长为10厘米，周长为36厘米，则底角的余弦等于(
A.$\frac{5}{13}$
B.$\frac{12}{13}$
C.$\frac{10}{13}$
D.$\frac{5}{12}$
A
)。A.$\frac{5}{13}$
B.$\frac{12}{13}$
C.$\frac{10}{13}$
D.$\frac{5}{12}$
答案
2.A
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：第一步，利用等腰三角形两腰相等的性质，结合已知周长和底边长，先算出腰的长度；第二步，要计算底角的余弦值，需将底角置于直角三角形中研究，因此过等腰三角形的顶角顶点作底边上的高，结合等腰三角形三线合一的性质，可得到底边一半的长度；第三步，在包含底角的直角三角形中，明确底角的邻边和斜边，根据余弦的定义（邻边比斜边）即可算出结果。
【解析】
1. 计算腰长：已知等腰三角形周长为36厘米，底边长为10厘米，两腰长度相等，因此腰长为 $\frac{36-10}{2}=13$ 厘米。
2. 构造直角三角形：过等腰三角形的顶角顶点作底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，高将底边平均分为两段，每段长度为 $\frac{10}{2}=5$ 厘米。
3. 计算底角的余弦值：在高分割得到的直角三角形中，底角的邻边长为5厘米，斜边长为腰长13厘米，根据余弦的定义 $\cosα=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}$，可得底角的余弦值为 $\frac{5}{13}$。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质、余弦的定义、三线合一
【点评】
本题是等腰三角形与锐角三角函数结合的基础题，解题关键是通过作高构造直角三角形，结合等腰三角形的性质简化计算，只要掌握余弦的定义和等腰三角形的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路可分三步梳理：第一步，利用等腰三角形两腰相等的性质，结合已知周长和底边长，先算出腰的长度；第二步，要计算底角的余弦值，需将底角置于直角三角形中研究，因此过等腰三角形的顶角顶点作底边上的高，结合等腰三角形三线合一的性质，可得到底边一半的长度；第三步，在包含底角的直角三角形中，明确底角的邻边和斜边，根据余弦的定义（邻边比斜边）即可算出结果。
【解析】
1. 计算腰长：已知等腰三角形周长为36厘米，底边长为10厘米，两腰长度相等，因此腰长为 $\frac{36-10}{2}=13$ 厘米。
2. 构造直角三角形：过等腰三角形的顶角顶点作底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，高将底边平均分为两段，每段长度为 $\frac{10}{2}=5$ 厘米。
3. 计算底角的余弦值：在高分割得到的直角三角形中，底角的邻边长为5厘米，斜边长为腰长13厘米，根据余弦的定义 $\cosα=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}$，可得底角的余弦值为 $\frac{5}{13}$。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质、余弦的定义、三线合一
【点评】
本题是等腰三角形与锐角三角函数结合的基础题，解题关键是通过作高构造直角三角形，结合等腰三角形的性质简化计算，只要掌握余弦的定义和等腰三角形的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
3 如图,已知正方形ABCD的边长为2,如果将线段BD绕着点B旋转后,点D落在CB的延长线上的点$D'$处,那么$\tan∠ BAD'$等于(
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$2\sqrt{2}$
B
)。A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
3.B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用正方形的性质，得到正方形的边长、内角为直角的特征，计算出对角线BD的长度，同时确定AB与CB所在直线垂直，即△ABD'为直角三角形；2. 根据旋转的性质，旋转前后线段长度不变，得到BD'与BD长度相等；3. 最后在直角三角形ABD'中，根据正切的定义，即锐角的正切值等于对边与邻边的比值，代入对应边长计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB=AD=2，∠BAD=∠ABC=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∵线段BD绕点B旋转得到BD'，点D落在CB延长线的D'处，
∴$BD'=BD=2\sqrt{2}$，且∠ABD'=90°，即△ABD'为直角三角形，
根据正切的定义：
$\tan∠BAD'=\frac{BD'}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；旋转的性质；锐角三角函数定义
【点评】
本题是基础几何计算题，综合了正方形、旋转的性质和锐角三角函数的相关知识，解题的关键是先判断出所求角所在的直角三角形，再准确计算对应边的长度代入求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先利用正方形的性质，得到正方形的边长、内角为直角的特征，计算出对角线BD的长度，同时确定AB与CB所在直线垂直，即△ABD'为直角三角形；2. 根据旋转的性质，旋转前后线段长度不变，得到BD'与BD长度相等；3. 最后在直角三角形ABD'中，根据正切的定义，即锐角的正切值等于对边与邻边的比值，代入对应边长计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB=AD=2，∠BAD=∠ABC=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∵线段BD绕点B旋转得到BD'，点D落在CB延长线的D'处，
∴$BD'=BD=2\sqrt{2}$，且∠ABD'=90°，即△ABD'为直角三角形，
根据正切的定义：
$\tan∠BAD'=\frac{BD'}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；旋转的性质；锐角三角函数定义
【点评】
本题是基础几何计算题，综合了正方形、旋转的性质和锐角三角函数的相关知识，解题的关键是先判断出所求角所在的直角三角形，再准确计算对应边的长度代入求解。
【难度系数】
0.7
④ 已知∠A + ∠B = 90°，且sinA = $\frac{7}{25}$，则tanB =
$\frac{24}{7}$
。答案
4. $\frac{24}{7}$
解析
【分析】
已知∠A与∠B的和为90°，说明两角互余，可通过两种思路求解：思路一，利用互余两角的三角函数关系，先由sinA得到cosB的值，再结合同角三角函数的平方关系求出sinB，最后根据正切的定义计算tanB；思路二，构造含∠A、∠B的直角三角形，根据sinA的值得出三边的比例关系，直接利用正切的定义求tanB的值，两种方法均符合九年级解直角三角形的知识要求。
【解析】
方法一：利用三角函数关系求解
∵ ∠A + ∠B = 90°
∴ cosB = sinA = $\frac{7}{25}$（互余两角的正弦等于余弦）
∵ ∠B是锐角，满足sin²B + cos²B = 1
∴ sinB = $\sqrt{1 - cos²B}$ = $\sqrt{1 - (\frac{7}{25})^2}$ = $\sqrt{\frac{576}{625}}$ = $\frac{24}{25}$
根据正切的定义：tanB = $\frac{sinB}{cosB}$ = $\frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}}$ = $\frac{24}{7}$
方法二：构造直角三角形求解
设Rt△ABC中∠C=90°，则∠A + ∠B = 90°，符合题设条件
∵ sinA = $\frac{∠A的对边}{斜边}$ = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{7}{25}$
设BC=7k，AB=25k（k＞0），由勾股定理得：
AC = $\sqrt{AB^2 - BC^2}$ = $\sqrt{(25k)^2 - (7k)^2}$ = 24k
tanB = $\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}$ = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{24k}{7k}$ = $\frac{24}{7}$
【答案】
$\frac{24}{7}$
【知识点】
1. 互余角的三角函数关系
2. 同角三角函数基本关系
3. 锐角三角函数的定义
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，既可以通过三角函数的恒等关系直接计算，也可以结合几何图形利用边长比例求解，解题时注意锐角的三角函数值均为正数，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
已知∠A与∠B的和为90°，说明两角互余，可通过两种思路求解：思路一，利用互余两角的三角函数关系，先由sinA得到cosB的值，再结合同角三角函数的平方关系求出sinB，最后根据正切的定义计算tanB；思路二，构造含∠A、∠B的直角三角形，根据sinA的值得出三边的比例关系，直接利用正切的定义求tanB的值，两种方法均符合九年级解直角三角形的知识要求。
【解析】
方法一：利用三角函数关系求解
∵ ∠A + ∠B = 90°
∴ cosB = sinA = $\frac{7}{25}$（互余两角的正弦等于余弦）
∵ ∠B是锐角，满足sin²B + cos²B = 1
∴ sinB = $\sqrt{1 - cos²B}$ = $\sqrt{1 - (\frac{7}{25})^2}$ = $\sqrt{\frac{576}{625}}$ = $\frac{24}{25}$
根据正切的定义：tanB = $\frac{sinB}{cosB}$ = $\frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}}$ = $\frac{24}{7}$
方法二：构造直角三角形求解
设Rt△ABC中∠C=90°，则∠A + ∠B = 90°，符合题设条件
∵ sinA = $\frac{∠A的对边}{斜边}$ = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{7}{25}$
设BC=7k，AB=25k（k＞0），由勾股定理得：
AC = $\sqrt{AB^2 - BC^2}$ = $\sqrt{(25k)^2 - (7k)^2}$ = 24k
tanB = $\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}$ = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{24k}{7k}$ = $\frac{24}{7}$
【答案】
$\frac{24}{7}$
【知识点】
1. 互余角的三角函数关系
2. 同角三角函数基本关系
3. 锐角三角函数的定义
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，既可以通过三角函数的恒等关系直接计算，也可以结合几何图形利用边长比例求解，解题时注意锐角的三角函数值均为正数，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
5 在等腰三角形中，已知顶角为$45°$，腰长为6，则三角形的面积为
$9\sqrt{2}$
。答案
5. $9\sqrt{2}$
解析
【分析】
已知等腰三角形顶角为45°、腰长为6，要求三角形面积，可通过构造直角三角形求解：首先选取一条腰作为底，过另一个底角顶点向这条腰作高，得到含45°锐角的直角三角形，利用解直角三角形求出高的长度，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
设等腰三角形为△ABC，AB=AC=6，∠A=45°。
过点B作BD⊥AC，垂足为D，则△ABD为直角三角形，∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠A=45°，AB=6，
∴BD=AB·sin45°=6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{2}=9\sqrt{2}$。
【答案】
$9\sqrt{2}$
【知识点】
等腰三角形性质；解直角三角形；三角形面积计算
【点评】
本题考查几何图形面积的求解，解题的关键是合理作出辅助线构造直角三角形，将未知的高转化为可通过三角函数求解的量，也可直接利用两边及夹角的三角形面积公式快速计算，整体考查基础，解题方法灵活。
【难度系数】
0.7
已知等腰三角形顶角为45°、腰长为6，要求三角形面积，可通过构造直角三角形求解：首先选取一条腰作为底，过另一个底角顶点向这条腰作高，得到含45°锐角的直角三角形，利用解直角三角形求出高的长度，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
设等腰三角形为△ABC，AB=AC=6，∠A=45°。
过点B作BD⊥AC，垂足为D，则△ABD为直角三角形，∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠A=45°，AB=6，
∴BD=AB·sin45°=6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{2}=9\sqrt{2}$。
【答案】
$9\sqrt{2}$
【知识点】
等腰三角形性质；解直角三角形；三角形面积计算
【点评】
本题考查几何图形面积的求解，解题的关键是合理作出辅助线构造直角三角形，将未知的高转化为可通过三角函数求解的量，也可直接利用两边及夹角的三角形面积公式快速计算，整体考查基础，解题方法灵活。
【难度系数】
0.7
⑥ 如果等腰三角形的两条边长分别为4和9，那么这个等腰三角形的底角的余弦值等于
$\frac{2}{9}$
。答案
6. $\frac{2}{9}$
解析
【分析】
解题时首先需要明确等腰三角形的三边长：已知两条边长为4和9，未明确腰和底，因此需先分类讨论，结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除无法构成三角形的情况，确定正确的腰长与底边长；接下来求底角的余弦值，根据锐角余弦的定义，需构造底角所在的直角三角形，利用等腰三角形三线合一的性质，作底边上的高即可将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，得到底角的邻边和斜边长度，代入余弦定义计算即可。
【解析】
解：分两种情况讨论等腰三角形的边长：
① 若腰长为4，底边长为9：
此时$4+4=8＜9$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，无法构成三角形，该情况舍去；
② 若腰长为9，底边长为4：
此时$9+9＞4$，$9+4＞9$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
过等腰三角形的顶点作底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，高平分底边，因此底边的一半长度为$4÷2=2$。
底角是底边与腰的夹角，在底角所在的直角三角形中，底角的邻边长为2，斜边长为腰长9，根据锐角余弦的定义：
$\cos\mathrm{底角}=\dfrac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{2}{9}$
【答案】
$\dfrac{2}{9}$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、锐角三角函数的定义
【点评】
本题易忽略三角形三边关系直接分两种情况计算导致出错，解题时先确定有效边长是关键，后续结合等腰三角形三线合一构造直角三角形，即可利用锐角三角函数的定义顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要明确等腰三角形的三边长：已知两条边长为4和9，未明确腰和底，因此需先分类讨论，结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除无法构成三角形的情况，确定正确的腰长与底边长；接下来求底角的余弦值，根据锐角余弦的定义，需构造底角所在的直角三角形，利用等腰三角形三线合一的性质，作底边上的高即可将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，得到底角的邻边和斜边长度，代入余弦定义计算即可。
【解析】
解：分两种情况讨论等腰三角形的边长：
① 若腰长为4，底边长为9：
此时$4+4=8＜9$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，无法构成三角形，该情况舍去；
② 若腰长为9，底边长为4：
此时$9+9＞4$，$9+4＞9$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
过等腰三角形的顶点作底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，高平分底边，因此底边的一半长度为$4÷2=2$。
底角是底边与腰的夹角，在底角所在的直角三角形中，底角的邻边长为2，斜边长为腰长9，根据锐角余弦的定义：
$\cos\mathrm{底角}=\dfrac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{2}{9}$
【答案】
$\dfrac{2}{9}$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、锐角三角函数的定义
【点评】
本题易忽略三角形三边关系直接分两种情况计算导致出错，解题时先确定有效边长是关键，后续结合等腰三角形三线合一构造直角三角形，即可利用锐角三角函数的定义顺利求解。
【难度系数】
0.7
7 在$△ ABC$中，$∠ A$、$∠ B$都是锐角，且$\sin A=\frac{1}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，$AB=10$，则$△ ABC$的面积等于
$\frac{25\sqrt{3}}{2}$
。答案
7. $\frac{25\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
解题时首先根据已知的特殊锐角三角函数值，确定∠A和∠B的度数，再利用三角形内角和定理求出∠C的度数，判断△ABC的形状为直角三角形；接着结合斜边AB的长度，利用锐角三角函数求出两条直角边的长度，最后根据三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：
∵∠A、∠B都是锐角，$\sin A=\frac{1}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，
∴$∠ A=30°$，$∠ B=60°$，
∴$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-60°=90°$，即$△ ABC$是直角三角形，斜边为$AB$。
在$Rt△ ABC$中，$AB=10$，
∴$BC=AB·\sin A=10×\frac{1}{2}=5$，
$AC=AB·\cos A=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$，
∴$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5\sqrt{3}×5=\frac{25\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{25\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 解直角三角形
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是基础题，核心考查对特殊角三角函数值的识记与应用，解题的关键是先通过三角函数值确定三角形内角，明确三角形为直角三角形后再计算边长求面积，要求熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数值。
【难度系数】
0.75
解题时首先根据已知的特殊锐角三角函数值，确定∠A和∠B的度数，再利用三角形内角和定理求出∠C的度数，判断△ABC的形状为直角三角形；接着结合斜边AB的长度，利用锐角三角函数求出两条直角边的长度，最后根据三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：
∵∠A、∠B都是锐角，$\sin A=\frac{1}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，
∴$∠ A=30°$，$∠ B=60°$，
∴$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-60°=90°$，即$△ ABC$是直角三角形，斜边为$AB$。
在$Rt△ ABC$中，$AB=10$，
∴$BC=AB·\sin A=10×\frac{1}{2}=5$，
$AC=AB·\cos A=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$，
∴$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5\sqrt{3}×5=\frac{25\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{25\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 解直角三角形
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是基础题，核心考查对特殊角三角函数值的识记与应用，解题的关键是先通过三角函数值确定三角形内角，明确三角形为直角三角形后再计算边长求面积，要求熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数值。
【难度系数】
0.75
8 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$、$E$是边$AB$上两点，且直线$CE$垂直平分线段$AD$，$CD$平分$∠ BCE$，$BC=2\sqrt{3}$，则$AB=$
$4$
。答案
8. $4$
解析
【分析】
解题时先利用线段垂直平分线的性质得到∠ACE=∠ECD，再结合角平分线的定义推出∠ACE=∠ECD=∠DCB，结合∠ACB=90°求出各小角的度数，进而得到∠A的度数，最后在Rt△ABC中利用三角函数求解AB的长度即可。
【解析】
解：
∵直线CE垂直平分AD，
∴∠AEC=90°，且∠ACE=∠ECD。
∵CD平分∠BCE，
∴∠ECD=∠DCB，
∴∠ACE=∠ECD=∠DCB。
∵∠ACB=∠ACE+∠ECD+∠DCB=90°，
∴$∠ ACE=∠ ECD=∠ DCB=\frac{90°}{3}=30°$。
在Rt△ACE中，∠A=90°-∠ACE=90°-30°=60°。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=90°-∠A=30°。
∵$\cos B=\frac{BC}{AB}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$BC=2\sqrt{3}$，
∴$AB=\frac{BC}{\cos30°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$。
【答案】
4
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；解直角三角形
【点评】
本题综合了线段垂直平分线、角平分线的性质和解直角三角形的知识点，解题核心是通过角度的等量关系推导得出直角三角形的特殊内角，再结合三角函数计算边长，整体逻辑清晰，需要注意角度转化的严谨性。
【难度系数】
0.7
解题时先利用线段垂直平分线的性质得到∠ACE=∠ECD，再结合角平分线的定义推出∠ACE=∠ECD=∠DCB，结合∠ACB=90°求出各小角的度数，进而得到∠A的度数，最后在Rt△ABC中利用三角函数求解AB的长度即可。
【解析】
解：
∵直线CE垂直平分AD，
∴∠AEC=90°，且∠ACE=∠ECD。
∵CD平分∠BCE，
∴∠ECD=∠DCB，
∴∠ACE=∠ECD=∠DCB。
∵∠ACB=∠ACE+∠ECD+∠DCB=90°，
∴$∠ ACE=∠ ECD=∠ DCB=\frac{90°}{3}=30°$。
在Rt△ACE中，∠A=90°-∠ACE=90°-30°=60°。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=90°-∠A=30°。
∵$\cos B=\frac{BC}{AB}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$BC=2\sqrt{3}$，
∴$AB=\frac{BC}{\cos30°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$。
【答案】
4
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；解直角三角形
【点评】
本题综合了线段垂直平分线、角平分线的性质和解直角三角形的知识点，解题核心是通过角度的等量关系推导得出直角三角形的特殊内角，再结合三角函数计算边长，整体逻辑清晰，需要注意角度转化的严谨性。
【难度系数】
0.7
9 如图，在正方形ABCD中，$AD=2\sqrt{3}$，把边BC绕点B逆时针旋转$30°$得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则$S_{△ PCE}=$
$9 - 5\sqrt{3}$
。答案
9. $9 - 5\sqrt{3}$
[提示:由题意可得 $∠ PBC = 30°$, $△ ABP$ 为等边三角形, 所以 $DE = 2\sqrt{3} × \tan 30° = 2$, $CE = 2\sqrt{3} - 2$。点 $P$ 到 $AB$ 的距离为 $2\sqrt{3} × \sin 60° = 3$, 所以点 $P$ 到 $CE$ 的距离为 $2\sqrt{3} - 3$, 所以 $S_{△ PCE} = \frac{1}{2}(2\sqrt{3} - 2)(2\sqrt{3} - 3) = 9 - 5\sqrt{3}$。]
[提示:由题意可得 $∠ PBC = 30°$, $△ ABP$ 为等边三角形, 所以 $DE = 2\sqrt{3} × \tan 30° = 2$, $CE = 2\sqrt{3} - 2$。点 $P$ 到 $AB$ 的距离为 $2\sqrt{3} × \sin 60° = 3$, 所以点 $P$ 到 $CE$ 的距离为 $2\sqrt{3} - 3$, 所以 $S_{△ PCE} = \frac{1}{2}(2\sqrt{3} - 2)(2\sqrt{3} - 3) = 9 - 5\sqrt{3}$。]
解析
【分析】
解题时首先结合正方形的性质和旋转的特征，得到边相等及角的度数，先判断△ABP为等边三角形，进而求出∠DAE的度数，利用解直角三角形求出DE的长度，得到CE的长；再求出等边三角形ABP中P点到AB的距离，进而推出P到CE（CD边）的高，最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，$AD=2\sqrt{3}$，
∴$AB=BC=CD=AD=2\sqrt{3}$，$∠ BAD=∠ ABC=∠ D=90°$，$AB// CD$。
∵边BC绕点B逆时针旋转$30°$得到线段BP，
∴$BP=BC=AB$，$∠ PBC=30°$，
∴$∠ ABP=∠ ABC - ∠ PBC=90°-30°=60°$，
∴$△ ABP$是等边三角形，
∴$∠ BAP=60°$，
∴$∠ DAE=∠ BAD - ∠ BAP=90°-60°=30°$。
在$Rt△ ADE$中，$∠ D=90°$，$AD=2\sqrt{3}$，
∴$DE=AD·\tan∠ DAE=2\sqrt{3}×\tan30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$，
∴$CE=CD - DE=2\sqrt{3} - 2$。
∵等边$△ ABP$中，点P到AB的距离为$AB·\sin60°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$，
又
∵AB与CD之间的距离等于正方形边长$2\sqrt{3}$，
∴点P到CD（即CE所在边）的距离为$2\sqrt{3} - 3$。
∴$S_{△ PCE}=\frac{1}{2}× CE×$点P到CE的距离$=\frac{1}{2}×(2\sqrt{3} - 2)×(2\sqrt{3} - 3)$
$=\frac{1}{2}×(12 - 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 6)$
$=\frac{1}{2}×(18 - 10\sqrt{3})$
$=9 - 5\sqrt{3}$。
【答案】
$9 - 5\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形
【点评】
本题综合了几何图形性质和解直角三角形的知识，解题的突破口是根据旋转和正方形性质推导出等边三角形，再依次求出所需的底和高，计算过程中要注意二次根式运算的准确性。
【难度系数】
0.5
解题时首先结合正方形的性质和旋转的特征，得到边相等及角的度数，先判断△ABP为等边三角形，进而求出∠DAE的度数，利用解直角三角形求出DE的长度，得到CE的长；再求出等边三角形ABP中P点到AB的距离，进而推出P到CE（CD边）的高，最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，$AD=2\sqrt{3}$，
∴$AB=BC=CD=AD=2\sqrt{3}$，$∠ BAD=∠ ABC=∠ D=90°$，$AB// CD$。
∵边BC绕点B逆时针旋转$30°$得到线段BP，
∴$BP=BC=AB$，$∠ PBC=30°$，
∴$∠ ABP=∠ ABC - ∠ PBC=90°-30°=60°$，
∴$△ ABP$是等边三角形，
∴$∠ BAP=60°$，
∴$∠ DAE=∠ BAD - ∠ BAP=90°-60°=30°$。
在$Rt△ ADE$中，$∠ D=90°$，$AD=2\sqrt{3}$，
∴$DE=AD·\tan∠ DAE=2\sqrt{3}×\tan30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$，
∴$CE=CD - DE=2\sqrt{3} - 2$。
∵等边$△ ABP$中，点P到AB的距离为$AB·\sin60°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$，
又
∵AB与CD之间的距离等于正方形边长$2\sqrt{3}$，
∴点P到CD（即CE所在边）的距离为$2\sqrt{3} - 3$。
∴$S_{△ PCE}=\frac{1}{2}× CE×$点P到CE的距离$=\frac{1}{2}×(2\sqrt{3} - 2)×(2\sqrt{3} - 3)$
$=\frac{1}{2}×(12 - 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 6)$
$=\frac{1}{2}×(18 - 10\sqrt{3})$
$=9 - 5\sqrt{3}$。
【答案】
$9 - 5\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形
【点评】
本题综合了几何图形性质和解直角三角形的知识，解题的突破口是根据旋转和正方形性质推导出等边三角形，再依次求出所需的底和高，计算过程中要注意二次根式运算的准确性。
【难度系数】
0.5
10 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，$CD$是$△ ABC$的角平分线，将$\mathrm{Rt}△ ABC$绕点$A$旋转，如果点$C$落在射线$CD$上，点$B$落在点$E$处，连接$DE$，那么$∠ AED$的正切值为
$\frac{3}{7}$
。答案
10. $\frac{3}{7}$
[提示:由于 $C$ 的对应点落在 $CD$ 上, 那么 $∠ ACD = ∠ AC'C = 45°$, 旋转角为 $90°$, 则 $∠ EAD = 90°$。过点 $D$ 作 $AC$ 的垂线, 可求得 $AD = \frac{15}{7}$, 所以 $\tan ∠ AED = \frac{AD}{AE} = \frac{\frac{15}{7}}{5} = \frac{3}{7}$。]
[提示:由于 $C$ 的对应点落在 $CD$ 上, 那么 $∠ ACD = ∠ AC'C = 45°$, 旋转角为 $90°$, 则 $∠ EAD = 90°$。过点 $D$ 作 $AC$ 的垂线, 可求得 $AD = \frac{15}{7}$, 所以 $\tan ∠ AED = \frac{AD}{AE} = \frac{\frac{15}{7}}{5} = \frac{3}{7}$。]
解析
【分析】
解题时从已知条件逐层推导：①先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中用勾股定理求出$AB$的长度，结合旋转性质可得$AE=AB$；②再根据$CD$是角平分线得到$∠ ACD=45°$，结合旋转后对应边$AC=AC'$，推出旋转角为$90°$，进而得到$∠ EAD=90°$，确定$△ AED$是直角三角形；③最后利用角平分线定理求出$AD$的长度，代入正切的定义计算即可得到结果。
【解析】
1. 求$AB$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，故$AE=AB=5$，旋转角$∠ CAC'=∠ BAE$（$C'$为点$C$旋转后的对应点）。
2. 证明$∠ EAD=90°$：
因为$CD$是$∠ ACB$的角平分线，$∠ ACB=90°$，所以$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$。
由旋转性质得$AC=AC'$，所以$∠ AC'C=∠ ACD=45°$，在$△ ACC'$中，$∠ CAC'=180°-45°-45°=90°$，即旋转角为$90°$，故$∠ BAE=∠ CAC'=90°$，即$∠ EAD=90°$。
3. 求$AD$的长度：
根据角平分线定理：在$△ ABC$中，$CD$平分$∠ ACB$交$AB$于点$D$，则$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$。
又$AD+DB=AB=5$，解得$AD=5×\frac{3}{3+4}=\frac{15}{7}$。
4. 计算$\tan∠ AED$：
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ EAD=90°$，根据正切的定义：
$\tan∠ AED=\frac{AD}{AE}=\frac{\frac{15}{7}}{5}=\frac{3}{7}$。
【答案】
$\frac{3}{7}$
【知识点】
旋转的性质，角平分线定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于几何综合计算题，结合了旋转、角平分线、解直角三角形多个考点，解题的关键是利用角平分线和旋转的性质推导出$△ AED$为直角三角形，同时准确求出$AD$的长度，对几何性质的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
解题时从已知条件逐层推导：①先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中用勾股定理求出$AB$的长度，结合旋转性质可得$AE=AB$；②再根据$CD$是角平分线得到$∠ ACD=45°$，结合旋转后对应边$AC=AC'$，推出旋转角为$90°$，进而得到$∠ EAD=90°$，确定$△ AED$是直角三角形；③最后利用角平分线定理求出$AD$的长度，代入正切的定义计算即可得到结果。
【解析】
1. 求$AB$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，故$AE=AB=5$，旋转角$∠ CAC'=∠ BAE$（$C'$为点$C$旋转后的对应点）。
2. 证明$∠ EAD=90°$：
因为$CD$是$∠ ACB$的角平分线，$∠ ACB=90°$，所以$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$。
由旋转性质得$AC=AC'$，所以$∠ AC'C=∠ ACD=45°$，在$△ ACC'$中，$∠ CAC'=180°-45°-45°=90°$，即旋转角为$90°$，故$∠ BAE=∠ CAC'=90°$，即$∠ EAD=90°$。
3. 求$AD$的长度：
根据角平分线定理：在$△ ABC$中，$CD$平分$∠ ACB$交$AB$于点$D$，则$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$。
又$AD+DB=AB=5$，解得$AD=5×\frac{3}{3+4}=\frac{15}{7}$。
4. 计算$\tan∠ AED$：
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ EAD=90°$，根据正切的定义：
$\tan∠ AED=\frac{AD}{AE}=\frac{\frac{15}{7}}{5}=\frac{3}{7}$。
【答案】
$\frac{3}{7}$
【知识点】
旋转的性质，角平分线定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于几何综合计算题，结合了旋转、角平分线、解直角三角形多个考点，解题的关键是利用角平分线和旋转的性质推导出$△ AED$为直角三角形，同时准确求出$AD$的长度，对几何性质的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
