12 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=\sqrt{3}$，点D为BC边上一点，且$BD=2AD$，$∠ ADC=60°$，求$△ ABC$的周长。 第12题图

12. $2\sqrt{7}+5+\sqrt{3}$

13 如图,已知在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ BAC=30°$,延长$CA$至点$D$,使$AD=AB$。
(1) 求$∠ D$的度数。
(2) 求$\tan D$的值。
(3) 请用类似的方法,求$\tan22.5°$。

13. (1) $∠ D=15°$
(2) $\tan D=2-\sqrt{3}$
(3) $\tan22.5°=\sqrt{2}-1$

14 如图,已知$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,点$D$、$E$在边$AB$上,$∠ DCE=45°$,过点$A$作$AB$的垂线交$CE$的延长线于点$M$,连接$MD$。
(1) 当$AC=3$,$AD=2BD$时,求$DE$的长。
(2) 过点$M$作射线$CD$的垂线,垂足为点$F$。设$\frac{BD}{BC}=x$,$\tan∠ FMD=y$,求$y$关于$x$的函数表达式,并写出定义域。

14. (1) 因为 $∠ ACD=45°+∠ ACE=∠ BEC$, $∠ B=∠ BAC$,所以 $△ BEC ∽ △ ACD$,所以 $\frac{BC}{AD}=\frac{BE}{AC}$。又因为 $AC=BC=3$, $∠ ACB=90°$,所以 $AB=3\sqrt{2}$。因为 $AD=2BD$,所以 $BD=\sqrt{2}$, $AD=2\sqrt{2}$,可得 $BE=\frac{9\sqrt{2}}{4}$,所以 $DE=\frac{5\sqrt{2}}{4}$。
(2) 如图,延长 BC 交 MA 的延长线于点 G。因为 $MA ⊥ AB$, $∠ B=45°$,可得 $∠ G=∠ B=∠ DCE$。又因为 $∠ MCB=∠ DCE+∠ BCD$, $∠ MCB=∠ G+∠ GMC$,所以 $∠ GMC=∠ BCD$,所以 $△ BCD ∽ △ GMC$,所以 $\frac{BD}{CG}=\frac{CD}{CM}$,所以 $\frac{BD}{CD}=\frac{CG}{CM}$。因为 $CG=BC$,所以 $\frac{BD}{CD}=\frac{BC}{CM}$。因为 $∠ B=∠ DCM=45°$,所以 $△ BCD ∽ △ CMD$。因为 $MF ⊥ FC$,所以 $CM=\sqrt{2}CF$,所以 $\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{CM}=\frac{CD}{\sqrt{2}CF}=x$,所以 $\frac{CD}{CF}=\sqrt{2}x$,所以 $\tan∠ FMD=\frac{FD}{CF}=1-\sqrt{2}x$,所以 $y=1-\sqrt{2}x(0＜x＜\frac{\sqrt{2}}{2})$。