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12 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=\sqrt{3}$，点D为BC边上一点，且$BD=2AD$，$∠ ADC=60°$，求$△ ABC$的周长。
第12题图
第12题图答案
12. $2\sqrt{7}+5+\sqrt{3}$
解析
【分析】
要计算△ABC的周长，需先求出AB、BC的长度：首先观察图形，Rt△ADC中已知∠C=90°、∠ADC=60°、AC=√3，可先利用特殊角的三角函数值求出AD、CD的长度；再根据BD=2AD求出BD的长度，相加得到BC的总长；最后在Rt△ABC中用勾股定理求出AB的长度，将三边相加即可得到周长。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ ADC=60°$，$AC=\sqrt{3}$：
1. 求$AD$的长度：
由$\sin∠ ADC=\frac{AC}{AD}$，代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{AD}$，解得$AD=2$。
2. 求$CD$的长度：
由$\tan∠ ADC=\frac{AC}{CD}$，代入$\tan60°=\sqrt{3}$，得：
$\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{CD}$，解得$CD=1$。
3. 求$BC$的长度：
$\because BD=2AD$，$\therefore BD=2×2=4$，
$\therefore BC=BD+CD=4+1=5$。
4. 求$AB$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{3+25}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
5. 计算周长：
$C_{△ ABC}=AB+BC+AC=2\sqrt{7}+5+\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{7}+5+\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，三角形周长计算
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题型，解题的关键是先从含特殊角的直角三角形中求出未知线段的长度，再结合勾股定理计算斜边长度，需要熟练掌握特殊角的三角函数值，理清线段间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要计算△ABC的周长，需先求出AB、BC的长度：首先观察图形，Rt△ADC中已知∠C=90°、∠ADC=60°、AC=√3，可先利用特殊角的三角函数值求出AD、CD的长度；再根据BD=2AD求出BD的长度，相加得到BC的总长；最后在Rt△ABC中用勾股定理求出AB的长度，将三边相加即可得到周长。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ ADC=60°$，$AC=\sqrt{3}$：
1. 求$AD$的长度：
由$\sin∠ ADC=\frac{AC}{AD}$，代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{AD}$，解得$AD=2$。
2. 求$CD$的长度：
由$\tan∠ ADC=\frac{AC}{CD}$，代入$\tan60°=\sqrt{3}$，得：
$\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{CD}$，解得$CD=1$。
3. 求$BC$的长度：
$\because BD=2AD$，$\therefore BD=2×2=4$，
$\therefore BC=BD+CD=4+1=5$。
4. 求$AB$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{3+25}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
5. 计算周长：
$C_{△ ABC}=AB+BC+AC=2\sqrt{7}+5+\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{7}+5+\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，三角形周长计算
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题型，解题的关键是先从含特殊角的直角三角形中求出未知线段的长度，再结合勾股定理计算斜边长度，需要熟练掌握特殊角的三角函数值，理清线段间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
13 如图,已知在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ BAC=30°$,延长$CA$至点$D$,使$AD=AB$。
(1) 求$∠ D$的度数。
(2) 求$\tan D$的值。
(3) 请用类似的方法,求$\tan22.5°$。
(1) 求$∠ D$的度数。
(2) 求$\tan D$的值。
(3) 请用类似的方法,求$\tan22.5°$。
答案
13. (1) $∠ D=15°$
(2) $\tan D=2-\sqrt{3}$
(3) $\tan22.5°=\sqrt{2}-1$
(2) $\tan D=2-\sqrt{3}$
(3) $\tan22.5°=\sqrt{2}-1$
解析
【分析】
(1) 求∠D的度数时，首先由AD=AB可得△ABD为等腰三角形，推出∠D=∠ABD；再结合三角形外角性质，∠BAC是△ABD的外角，等于∠D与∠ABD的和，即2∠D，代入已知的∠BAC=30°即可求解。
(2) 求tanD的值时，根据正切的定义，需要在Rt△BCD中找到对边BC和邻边DC的长度关系。可设BC为x，利用含30°角的直角三角形的性质表示出AB、AC的长度，再结合AD=AB得到DC的长度，代入正切公式计算、化简即可。
(3) 求tan22.5°时，类比前两问的构造思路，用等腰直角三角形的45°底角作为等腰三角形的外角，得到22.5°的角，再仿照第二问的方法设边长计算正切值即可。
【解析】
(1)
∵AD=AB，
∴∠D=∠ABD，
∵∠BAC是△ABD的外角，
∴∠BAC=∠D+∠ABD=2∠D，
已知∠BAC=30°，
∴2∠D=30°，解得$∠ D=15°$。
(2) 设$BC=x$，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=30°$，
∴$AB=2BC=2x$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3}x$，
∵$AD=AB=2x$，
∴$DC=AD+AC=2x+\sqrt{3}x=(2+\sqrt{3})x$，
在$Rt△ BCD$中，$\tan D=\frac{BC}{DC}=\frac{x}{(2+\sqrt{3})x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，分母有理化得$\tan D=2-\sqrt{3}$。
(3) 构造$Rt△ ABC$，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，延长$CB$到点$D$使$BD=AB$，连接$AD$，则$∠ D=∠ BAD$，
∵$∠ ABC$是$△ ABD$的外角，
∴$∠ ABC=2∠ D=45°$，即$∠ D=22.5°$，
设$AC=BC=a$，在$Rt△ ABC$中，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}a$，
∴$BD=AB=\sqrt{2}a$，$DC=BD+BC=(\sqrt{2}+1)a$，
在$Rt△ ACD$中，$\tan D=\frac{AC}{DC}=\frac{a}{(\sqrt{2}+1)a}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$，即$\tan22.5°=\sqrt{2}-1$。
【答案】
(1) $∠ D=15°$
(2) $\tan D=2-\sqrt{3}$
(3) $\tan22.5°=\sqrt{2}-1$
【知识点】
等腰三角形性质、特殊直角三角形性质、锐角三角函数定义
【点评】
本题通过构造等腰三角形推导半角的正切值，渗透了构造法和类比的数学思想，能帮助大家理解特殊角三角函数的推导逻辑，提升知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠D的度数时，首先由AD=AB可得△ABD为等腰三角形，推出∠D=∠ABD；再结合三角形外角性质，∠BAC是△ABD的外角，等于∠D与∠ABD的和，即2∠D，代入已知的∠BAC=30°即可求解。
(2) 求tanD的值时，根据正切的定义，需要在Rt△BCD中找到对边BC和邻边DC的长度关系。可设BC为x，利用含30°角的直角三角形的性质表示出AB、AC的长度，再结合AD=AB得到DC的长度，代入正切公式计算、化简即可。
(3) 求tan22.5°时，类比前两问的构造思路，用等腰直角三角形的45°底角作为等腰三角形的外角，得到22.5°的角，再仿照第二问的方法设边长计算正切值即可。
【解析】
(1)
∵AD=AB，
∴∠D=∠ABD，
∵∠BAC是△ABD的外角，
∴∠BAC=∠D+∠ABD=2∠D，
已知∠BAC=30°，
∴2∠D=30°，解得$∠ D=15°$。
(2) 设$BC=x$，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=30°$，
∴$AB=2BC=2x$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3}x$，
∵$AD=AB=2x$，
∴$DC=AD+AC=2x+\sqrt{3}x=(2+\sqrt{3})x$，
在$Rt△ BCD$中，$\tan D=\frac{BC}{DC}=\frac{x}{(2+\sqrt{3})x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，分母有理化得$\tan D=2-\sqrt{3}$。
(3) 构造$Rt△ ABC$，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，延长$CB$到点$D$使$BD=AB$，连接$AD$，则$∠ D=∠ BAD$，
∵$∠ ABC$是$△ ABD$的外角，
∴$∠ ABC=2∠ D=45°$，即$∠ D=22.5°$，
设$AC=BC=a$，在$Rt△ ABC$中，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}a$，
∴$BD=AB=\sqrt{2}a$，$DC=BD+BC=(\sqrt{2}+1)a$，
在$Rt△ ACD$中，$\tan D=\frac{AC}{DC}=\frac{a}{(\sqrt{2}+1)a}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$，即$\tan22.5°=\sqrt{2}-1$。
【答案】
(1) $∠ D=15°$
(2) $\tan D=2-\sqrt{3}$
(3) $\tan22.5°=\sqrt{2}-1$
【知识点】
等腰三角形性质、特殊直角三角形性质、锐角三角函数定义
【点评】
本题通过构造等腰三角形推导半角的正切值，渗透了构造法和类比的数学思想，能帮助大家理解特殊角三角函数的推导逻辑，提升知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
14 如图,已知$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,点$D$、$E$在边$AB$上,$∠ DCE=45°$,过点$A$作$AB$的垂线交$CE$的延长线于点$M$,连接$MD$。
(1) 当$AC=3$,$AD=2BD$时,求$DE$的长。
(2) 过点$M$作射线$CD$的垂线,垂足为点$F$。设$\frac{BD}{BC}=x$,$\tan∠ FMD=y$,求$y$关于$x$的函数表达式,并写出定义域。
(1) 当$AC=3$,$AD=2BD$时,求$DE$的长。
(2) 过点$M$作射线$CD$的垂线,垂足为点$F$。设$\frac{BD}{BC}=x$,$\tan∠ FMD=y$,求$y$关于$x$的函数表达式,并写出定义域。
答案
14. (1) 因为 $∠ ACD=45°+∠ ACE=∠ BEC$, $∠ B=∠ BAC$,所以 $△ BEC ∽ △ ACD$,所以 $\frac{BC}{AD}=\frac{BE}{AC}$。又因为 $AC=BC=3$, $∠ ACB=90°$,所以 $AB=3\sqrt{2}$。因为 $AD=2BD$,所以 $BD=\sqrt{2}$, $AD=2\sqrt{2}$,可得 $BE=\frac{9\sqrt{2}}{4}$,所以 $DE=\frac{5\sqrt{2}}{4}$。
(2) 如图,延长 BC 交 MA 的延长线于点 G。因为 $MA ⊥ AB$, $∠ B=45°$,可得 $∠ G=∠ B=∠ DCE$。又因为 $∠ MCB=∠ DCE+∠ BCD$, $∠ MCB=∠ G+∠ GMC$,所以 $∠ GMC=∠ BCD$,所以 $△ BCD ∽ △ GMC$,所以 $\frac{BD}{CG}=\frac{CD}{CM}$,所以 $\frac{BD}{CD}=\frac{CG}{CM}$。因为 $CG=BC$,所以 $\frac{BD}{CD}=\frac{BC}{CM}$。因为 $∠ B=∠ DCM=45°$,所以 $△ BCD ∽ △ CMD$。因为 $MF ⊥ FC$,所以 $CM=\sqrt{2}CF$,所以 $\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{CM}=\frac{CD}{\sqrt{2}CF}=x$,所以 $\frac{CD}{CF}=\sqrt{2}x$,所以 $\tan∠ FMD=\frac{FD}{CF}=1-\sqrt{2}x$,所以 $y=1-\sqrt{2}x(0＜x＜\frac{\sqrt{2}}{2})$。
解析
【分析】
(1) 首先由等腰直角三角形的性质算出AB的长度，再结合AD=2BD的条件求出AD、BD的长；接着通过角度推导证明△BEC∽△ACD，利用相似三角形的比例关系求出BE的长度，最后用BE减BD即可得到DE的长。
(2) 先作辅助线延长BC交MA的延长线于G，通过角度推导依次证明△BCD∽△GMC、△BCD∽△CMD；再结合等腰直角三角形的性质得到CM和CF的关系，将x的比值与边的比例结合，把tan∠FMD转化为FD和CF的比值，即可得到y与x的函数式；最后根据线段长度为正的要求推导定义域。
【解析】
(1)
∵∠ACD=∠DCE+∠ACE=45°+∠ACE，∠BEC=∠BAC+∠ACE=45°+∠ACE，
∴∠ACD=∠BEC，
又
∵Rt△ABC中AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠B=∠BAC=45°，
∴△BEC∽△ACD，可得$\frac{BC}{AD}=\frac{BE}{AC}$。
∵AC=BC=3，
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=3\sqrt{2}$，
∵AD=2BD且AD+BD=AB，
∴$BD=\sqrt{2}$，$AD=2\sqrt{2}$，
代入相似比例得$\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{BE}{3}$，解得$BE=\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
∴$DE=BE-BD=\frac{9\sqrt{2}}{4}-\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$。
(2) 如图，延长BC交MA的延长线于点G。
∵MA⊥AB，∠B=45°，
∴∠G=∠B=45°=∠DCE，
∵∠MCB=∠DCE+∠BCD，∠MCB=∠G+∠GMC，
∴∠GMC=∠BCD，
∴△BCD∽△GMC，可得$\frac{BD}{CG}=\frac{CD}{CM}$，即$\frac{BD}{CD}=\frac{CG}{CM}$。
∵∠G=∠B=45°，∠CAG=90°-∠BAC=45°，
∴AC=CG，又AC=BC，
∴CG=BC，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BC}{CM}$，即$\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{CM}$，
又
∵∠B=∠DCM=45°，
∴△BCD∽△CMD。
∵MF⊥FC，∠DCM=45°，
∴△MFC是等腰直角三角形，$CM=\sqrt{2}CF$，
∵$\frac{BD}{BC}=x=\frac{CD}{CM}=\frac{CD}{\sqrt{2}CF}$，
∴$\frac{CD}{CF}=\sqrt{2}x$，
∵$\tan∠FMD=\frac{FD}{MF}$，且MF=CF，$FD=CF-CD$，
∴$y=\frac{CF-CD}{CF}=1-\frac{CD}{CF}=1-\sqrt{2}x$。
由线段长度为正可得$1-\sqrt{2}x＞0$，解得$x＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，又x＞0，故定义域为$0＜x＜\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $DE=\frac{5\sqrt{2}}{4}$；
(2) $y=1-\sqrt{2}x(0＜x＜\frac{\sqrt{2}}{2})$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质，锐角三角函数
【点评】
本题综合性较强，需要熟练掌握相似三角形的判定方法，能通过角度推导构造相似关系，同时要能灵活转化边角关系求解三角函数表达式，对逻辑推理和几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
(1) 首先由等腰直角三角形的性质算出AB的长度，再结合AD=2BD的条件求出AD、BD的长；接着通过角度推导证明△BEC∽△ACD，利用相似三角形的比例关系求出BE的长度，最后用BE减BD即可得到DE的长。
(2) 先作辅助线延长BC交MA的延长线于G，通过角度推导依次证明△BCD∽△GMC、△BCD∽△CMD；再结合等腰直角三角形的性质得到CM和CF的关系，将x的比值与边的比例结合，把tan∠FMD转化为FD和CF的比值，即可得到y与x的函数式；最后根据线段长度为正的要求推导定义域。
【解析】
(1)
∵∠ACD=∠DCE+∠ACE=45°+∠ACE，∠BEC=∠BAC+∠ACE=45°+∠ACE，
∴∠ACD=∠BEC，
又
∵Rt△ABC中AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠B=∠BAC=45°，
∴△BEC∽△ACD，可得$\frac{BC}{AD}=\frac{BE}{AC}$。
∵AC=BC=3，
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=3\sqrt{2}$，
∵AD=2BD且AD+BD=AB，
∴$BD=\sqrt{2}$，$AD=2\sqrt{2}$，
代入相似比例得$\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{BE}{3}$，解得$BE=\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
∴$DE=BE-BD=\frac{9\sqrt{2}}{4}-\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$。
(2) 如图，延长BC交MA的延长线于点G。
∵MA⊥AB，∠B=45°，
∴∠G=∠B=45°=∠DCE，
∵∠MCB=∠DCE+∠BCD，∠MCB=∠G+∠GMC，
∴∠GMC=∠BCD，
∴△BCD∽△GMC，可得$\frac{BD}{CG}=\frac{CD}{CM}$，即$\frac{BD}{CD}=\frac{CG}{CM}$。
∵∠G=∠B=45°，∠CAG=90°-∠BAC=45°，
∴AC=CG，又AC=BC，
∴CG=BC，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BC}{CM}$，即$\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{CM}$，
又
∵∠B=∠DCM=45°，
∴△BCD∽△CMD。
∵MF⊥FC，∠DCM=45°，
∴△MFC是等腰直角三角形，$CM=\sqrt{2}CF$，
∵$\frac{BD}{BC}=x=\frac{CD}{CM}=\frac{CD}{\sqrt{2}CF}$，
∴$\frac{CD}{CF}=\sqrt{2}x$，
∵$\tan∠FMD=\frac{FD}{MF}$，且MF=CF，$FD=CF-CD$，
∴$y=\frac{CF-CD}{CF}=1-\frac{CD}{CF}=1-\sqrt{2}x$。
由线段长度为正可得$1-\sqrt{2}x＞0$，解得$x＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，又x＞0，故定义域为$0＜x＜\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $DE=\frac{5\sqrt{2}}{4}$；
(2) $y=1-\sqrt{2}x(0＜x＜\frac{\sqrt{2}}{2})$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质，锐角三角函数
【点评】
本题综合性较强，需要熟练掌握相似三角形的判定方法，能通过角度推导构造相似关系，同时要能灵活转化边角关系求解三角函数表达式，对逻辑推理和几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
