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1 解直角三角形时,除直角外,必须具备的条件是(
A.两条边
B.两个锐角
C.一个锐角和一条边
D.两个元素,其中至少一条边
D
)。A.两条边
B.两个锐角
C.一个锐角和一条边
D.两个元素,其中至少一条边
答案
1.D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先回忆解直角三角形的定义，即求出直角三角形中除直角外所有未知的边和角；第二步思考求解所需的核心条件：若仅已知角（比如两个锐角），三角形仅形状确定、大小不确定，无法求出边长，因此必须至少有1条边作为长度基准；第三步结合选项逐一排查，判断各选项的表述是否全面且正确。
【解析】
解：解直角三角形是指利用已知元素求出直角三角形中除直角外所有未知边和未知角的过程。直角三角形除直角外共有3条边、2个锐角共5个元素，结合选项逐一分析：
1. 选项B：仅知道两个锐角时，三角形的形状固定但大小可任意缩放，无法确定各边的具体长度，不能完成解直角三角形，故B错误；
2. 选项A：已知两条边确实可以解直角三角形，但这不是必须条件，已知一个锐角和一条边时也能解直角三角形，因此A表述不全面，错误；
3. 选项C：已知一个锐角和一条边可以解直角三角形，但这也不是必须条件，已知两条边也可求解，因此C表述也不全面，错误；
4. 选项D：除直角外需要至少2个元素，且其中至少有1条边，既覆盖了“两条边”的情况，也覆盖了“一个锐角+一条边”的情况，同时排除了仅知角的错误情况，表述正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 解直角三角形的定义
2. 直角三角形的边角关系
【点评】
本题考查对解直角三角形前提条件的理解，易错点是容易误选A或C，忽略两种可行情况的共性是“至少有一条边，共两个除直角外的已知元素”，需牢记仅靠角度无法确定三角形的大小，必须有边作为长度依据才能完成求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步先回忆解直角三角形的定义，即求出直角三角形中除直角外所有未知的边和角；第二步思考求解所需的核心条件：若仅已知角（比如两个锐角），三角形仅形状确定、大小不确定，无法求出边长，因此必须至少有1条边作为长度基准；第三步结合选项逐一排查，判断各选项的表述是否全面且正确。
【解析】
解：解直角三角形是指利用已知元素求出直角三角形中除直角外所有未知边和未知角的过程。直角三角形除直角外共有3条边、2个锐角共5个元素，结合选项逐一分析：
1. 选项B：仅知道两个锐角时，三角形的形状固定但大小可任意缩放，无法确定各边的具体长度，不能完成解直角三角形，故B错误；
2. 选项A：已知两条边确实可以解直角三角形，但这不是必须条件，已知一个锐角和一条边时也能解直角三角形，因此A表述不全面，错误；
3. 选项C：已知一个锐角和一条边可以解直角三角形，但这也不是必须条件，已知两条边也可求解，因此C表述也不全面，错误；
4. 选项D：除直角外需要至少2个元素，且其中至少有1条边，既覆盖了“两条边”的情况，也覆盖了“一个锐角+一条边”的情况，同时排除了仅知角的错误情况，表述正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 解直角三角形的定义
2. 直角三角形的边角关系
【点评】
本题考查对解直角三角形前提条件的理解，易错点是容易误选A或C，忽略两种可行情况的共性是“至少有一条边，共两个除直角外的已知元素”，需牢记仅靠角度无法确定三角形的大小，必须有边作为长度依据才能完成求解。
【难度系数】
0.8
② 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$AB=1$，则$BC$等于(
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
A
)。A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案
2.A
解析
【分析】
本题是直角三角形边长求解的基础题，解题可从两个符合九年级知识要求的思路切入：1. 利用三角函数的定义，找到所求边BC与已知角、已知边的关系，代入特殊角的三角函数值计算；2. 先利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出短直角边，再用勾股定理计算BC的长度。
【解析】
方法一：利用余弦函数求解
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义：$\cos B=\frac{\mathrm{∠B的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$
已知$∠ B=30°$，$AB=1$，且$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得：
$BC=AB·\cos30°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
方法二：利用直角三角形性质+勾股定理求解
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，30°角所对的直角边AC等于斜边AB的一半，因此：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$
根据勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，代入数值：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值、勾股定理、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考察直角三角形相关性质和特殊角三角函数的应用，解题思路灵活，熟练掌握基础概念即可快速得出答案，是解直角三角形模块的典型基础题。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形边长求解的基础题，解题可从两个符合九年级知识要求的思路切入：1. 利用三角函数的定义，找到所求边BC与已知角、已知边的关系，代入特殊角的三角函数值计算；2. 先利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出短直角边，再用勾股定理计算BC的长度。
【解析】
方法一：利用余弦函数求解
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义：$\cos B=\frac{\mathrm{∠B的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$
已知$∠ B=30°$，$AB=1$，且$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得：
$BC=AB·\cos30°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
方法二：利用直角三角形性质+勾股定理求解
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，30°角所对的直角边AC等于斜边AB的一半，因此：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$
根据勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，代入数值：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值、勾股定理、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考察直角三角形相关性质和特殊角三角函数的应用，解题思路灵活，熟练掌握基础概念即可快速得出答案，是解直角三角形模块的典型基础题。
【难度系数】
0.8
3 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，如果$\tan A=\frac{1}{2}$，$AB=2$，则$AC$等于（
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
D
）。A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
答案
3.D
解析
【分析】
本题是解直角三角形的基础题型，解题思路如下：第一步，先根据锐角正切函数的定义，明确∠A的正切值是其对边与邻边的比值，由此得到两条直角边BC和AC的数量关系；第二步，设合适的未知数表示两条直角边，再结合勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）列出方程，求解未知数后即可算出AC的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切函数的定义：
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，因此可设$BC=x$，则$AC=2x$。
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
将$AC=2x$、$BC=x$、$AB=2$代入得：
$(2x)^2 + x^2 = 2^2$
整理得：$5x^2=4$，解得$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$（边长为正，舍去负根）。
因此$AC=2x=2×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，主要考查锐角三角函数的定义与勾股定理的结合运用，熟练掌握各三角函数对应的边的比例关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形的基础题型，解题思路如下：第一步，先根据锐角正切函数的定义，明确∠A的正切值是其对边与邻边的比值，由此得到两条直角边BC和AC的数量关系；第二步，设合适的未知数表示两条直角边，再结合勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）列出方程，求解未知数后即可算出AC的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切函数的定义：
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，因此可设$BC=x$，则$AC=2x$。
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
将$AC=2x$、$BC=x$、$AB=2$代入得：
$(2x)^2 + x^2 = 2^2$
整理得：$5x^2=4$，解得$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$（边长为正，舍去负根）。
因此$AC=2x=2×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，主要考查锐角三角函数的定义与勾股定理的结合运用，熟练掌握各三角函数对应的边的比例关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=4$，$AC=2\sqrt{2}$，则$BC=$
5 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ B=α$，$BC=5$，那么$AB=$
$2\sqrt{2}$
，$∠ A=$$45°$
。5 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ B=α$，$BC=5$，那么$AB=$
$5\cosα$
。（用$α$的锐角三角比表示）答案
4. $2\sqrt{2}$，$45°$
5. $5\cosα$
5. $5\cosα$
解析
【分析】
第4题：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求另一条直角边可直接用勾股定理计算；求∠A的度数，可利用余弦三角函数的定义，算出∠A的余弦值后，结合特殊角的三角函数值即可得到角度。
第5题：已知直角三角形的斜边和一个锐角，求锐角的邻边，根据余弦三角函数的定义，对公式变形后代入已知条件即可得到表达式。
【解析】
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{16-8}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
求∠A的度数，根据余弦的定义：
$\cos A=\frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵∠A是锐角，且$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$∠ A=45°$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，根据余弦的定义：
$\cos B=\frac{\mathrm{∠B的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AB}{BC}$
将$∠ B=α$，$BC=5$代入得：$\cosα=\frac{AB}{5}$，变形得$AB=5\cosα$。
【答案】
4. $2\sqrt{2}$，$45°$；5. $5\cosα$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值
【点评】
两道题均为解直角三角形的基础题型，侧重对基础公式和概念的考查，熟练掌握三角函数定义和特殊角的三角函数值就能快速解答。
【难度系数】
0.85
第4题：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求另一条直角边可直接用勾股定理计算；求∠A的度数，可利用余弦三角函数的定义，算出∠A的余弦值后，结合特殊角的三角函数值即可得到角度。
第5题：已知直角三角形的斜边和一个锐角，求锐角的邻边，根据余弦三角函数的定义，对公式变形后代入已知条件即可得到表达式。
【解析】
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{16-8}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
求∠A的度数，根据余弦的定义：
$\cos A=\frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵∠A是锐角，且$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$∠ A=45°$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，根据余弦的定义：
$\cos B=\frac{\mathrm{∠B的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AB}{BC}$
将$∠ B=α$，$BC=5$代入得：$\cosα=\frac{AB}{5}$，变形得$AB=5\cosα$。
【答案】
4. $2\sqrt{2}$，$45°$；5. $5\cosα$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值
【点评】
两道题均为解直角三角形的基础题型，侧重对基础公式和概念的考查，熟练掌握三角函数定义和特殊角的三角函数值就能快速解答。
【难度系数】
0.85
6 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1$，$AB=2$，则$∠ B=$
7 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ B=60°$，$BC=12$，则$AC=$
$60°$
。7 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ B=60°$，$BC=12$，则$AC=$
$6\sqrt{3}$
。答案
6. $60°$
7. $6\sqrt{3}$
7. $6\sqrt{3}$
解析
【分析】
第6题：已知Rt△ABC中∠C为直角，给出了∠B的邻边BC和斜边AB的长度，要求∠B的度数，可根据余弦的定义先求出∠B的余弦值，再结合特殊角的三角函数值即可得到∠B的大小。
第7题：已知Rt△ABC中∠A为直角，给出了∠B的度数和斜边BC的长度，要求AC的长度，AC是∠B的对边，可根据正弦的定义，结合特殊角的三角函数值代入计算即可求出结果。
【解析】
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义：$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，
将$BC=1$，$AB=2$代入得：$\cos B=\frac{1}{2}$，
又
∵$∠ B$是锐角，$\cos60°=\frac{1}{2}$，
∴$∠ B=60°$。
7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，根据锐角正弦的定义：$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{BC}$，
变形得$AC=BC·\sin B$，
将$BC=12$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入得：
$AC=12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$。
【答案】
6. $60°$；7. $6\sqrt{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形
【点评】
这两道题是解直角三角形的基础题型，解题的核心是准确找到所求角对应的边的关系，熟练运用特殊锐角的三角函数值进行计算即可快速求解。
【难度系数】
0.9
第6题：已知Rt△ABC中∠C为直角，给出了∠B的邻边BC和斜边AB的长度，要求∠B的度数，可根据余弦的定义先求出∠B的余弦值，再结合特殊角的三角函数值即可得到∠B的大小。
第7题：已知Rt△ABC中∠A为直角，给出了∠B的度数和斜边BC的长度，要求AC的长度，AC是∠B的对边，可根据正弦的定义，结合特殊角的三角函数值代入计算即可求出结果。
【解析】
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义：$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，
将$BC=1$，$AB=2$代入得：$\cos B=\frac{1}{2}$，
又
∵$∠ B$是锐角，$\cos60°=\frac{1}{2}$，
∴$∠ B=60°$。
7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，根据锐角正弦的定义：$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{BC}$，
变形得$AC=BC·\sin B$，
将$BC=12$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入得：
$AC=12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$。
【答案】
6. $60°$；7. $6\sqrt{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形
【点评】
这两道题是解直角三角形的基础题型，解题的核心是准确找到所求角对应的边的关系，熟练运用特殊锐角的三角函数值进行计算即可快速求解。
【难度系数】
0.9
8 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB$边上的高为$CD$，若$AD:BD=\dfrac{3}{4}$，则$\sin B=$
$\dfrac{\sqrt{21}}{7}$
。答案
8. $\dfrac{\sqrt{21}}{7}$
解析
【分析】
遇到直角三角形斜边上的高的问题，可联想到“母子相似”模型，也可直接用射影定理得到各边的数量关系。题目给出AD与BD的比值，我们可以通过设参数的方式表示出相关线段的长度，再根据正弦函数的定义（锐角的正弦=对边/斜边）代入计算，参数会在求比值时约去，不影响最终结果。
【解析】
解：设$AD=3k$，$BD=4k$（$k＞0$），则$AB=AD+BD=3k+4k=7k$。
∵ $∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
∴ 由射影定理可得：$AC^2=AD· AB=3k·7k=21k^2$，
∵ $AC$为三角形边长，故$AC＞0$，因此$AC=\sqrt{21}k$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义：
$\sin B=\frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{21}k}{7k}=\frac{\sqrt{21}}{7}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{21}}{7}$
【知识点】
1. 射影定理
2. 锐角三角函数定义
3. 相似三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，将相似三角形（或射影定理）与锐角三角函数结合考查，用设参数的方法处理比例类问题是常用解题技巧，掌握相关基础定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
遇到直角三角形斜边上的高的问题，可联想到“母子相似”模型，也可直接用射影定理得到各边的数量关系。题目给出AD与BD的比值，我们可以通过设参数的方式表示出相关线段的长度，再根据正弦函数的定义（锐角的正弦=对边/斜边）代入计算，参数会在求比值时约去，不影响最终结果。
【解析】
解：设$AD=3k$，$BD=4k$（$k＞0$），则$AB=AD+BD=3k+4k=7k$。
∵ $∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
∴ 由射影定理可得：$AC^2=AD· AB=3k·7k=21k^2$，
∵ $AC$为三角形边长，故$AC＞0$，因此$AC=\sqrt{21}k$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义：
$\sin B=\frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{21}k}{7k}=\frac{\sqrt{21}}{7}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{21}}{7}$
【知识点】
1. 射影定理
2. 锐角三角函数定义
3. 相似三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，将相似三角形（或射影定理）与锐角三角函数结合考查，用设参数的方法处理比例类问题是常用解题技巧，掌握相关基础定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\cos A=\dfrac{2}{3}$，$AB=9$，把$△ ABC$绕着点$C$旋转，使得点$A$落在点$A'$，点$B$落在点$B'$。如果点$A'$在边$AB$上，那么$BB'=$
$4\sqrt{5}$
。答案
9. $4\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题首先要在原直角三角形中利用三角函数和勾股定理求出两条直角边的长度；再结合旋转的性质，得到对应边相等、旋转角相等，进而推出两个等腰三角形相似；接着利用等腰三角形三线合一的性质求出AA'的长度；最后通过相似三角形的对应边成比例，即可计算得到BB'的长度。
【解析】
1. 求$△ABC$的直角边长度
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2}{3}$，$AB=9$，
因此$AC=AB·\cos A=9×\dfrac{2}{3}=6$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{9^2-6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
2. 推导相似三角形
由旋转的性质可知：$CA=CA'=6$，$CB=CB'=3\sqrt{5}$，旋转角$∠ACA'=∠BCB'$，
因此$\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CA'}{CB'}$，且夹角相等，故$△ACA'∽△BCB'$，可得比例关系：$\dfrac{AA'}{BB'}=\dfrac{AC}{BC}$。
3. 求$AA'$的长度
过点$C$作$CD⊥AB$于点$D$，在$Rt△ACD$中，$AD=AC·\cos A=6×\dfrac{2}{3}=4$，
因为$CA=CA'$，$CD⊥AB$，由等腰三角形三线合一得$AD=DA'$，因此$AA'=2AD=8$。
4. 计算$BB'$
将$AC=6$，$BC=3\sqrt{5}$，$AA'=8$代入比例式：
$\dfrac{8}{BB'}=\dfrac{6}{3\sqrt{5}}$，化简得$\dfrac{8}{BB'}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$，解得$BB'=4\sqrt{5}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了直角三角形三角函数、旋转性质和相似三角形的考点，解题的关键是抓住旋转前后的边角关系，找到相似三角形作为桥梁，结合等腰三角形的性质求解目标线段。
【难度系数】
0.6
解题首先要在原直角三角形中利用三角函数和勾股定理求出两条直角边的长度；再结合旋转的性质，得到对应边相等、旋转角相等，进而推出两个等腰三角形相似；接着利用等腰三角形三线合一的性质求出AA'的长度；最后通过相似三角形的对应边成比例，即可计算得到BB'的长度。
【解析】
1. 求$△ABC$的直角边长度
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2}{3}$，$AB=9$，
因此$AC=AB·\cos A=9×\dfrac{2}{3}=6$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{9^2-6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
2. 推导相似三角形
由旋转的性质可知：$CA=CA'=6$，$CB=CB'=3\sqrt{5}$，旋转角$∠ACA'=∠BCB'$，
因此$\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CA'}{CB'}$，且夹角相等，故$△ACA'∽△BCB'$，可得比例关系：$\dfrac{AA'}{BB'}=\dfrac{AC}{BC}$。
3. 求$AA'$的长度
过点$C$作$CD⊥AB$于点$D$，在$Rt△ACD$中，$AD=AC·\cos A=6×\dfrac{2}{3}=4$，
因为$CA=CA'$，$CD⊥AB$，由等腰三角形三线合一得$AD=DA'$，因此$AA'=2AD=8$。
4. 计算$BB'$
将$AC=6$，$BC=3\sqrt{5}$，$AA'=8$代入比例式：
$\dfrac{8}{BB'}=\dfrac{6}{3\sqrt{5}}$，化简得$\dfrac{8}{BB'}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$，解得$BB'=4\sqrt{5}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了直角三角形三角函数、旋转性质和相似三角形的考点，解题的关键是抓住旋转前后的边角关系，找到相似三角形作为桥梁，结合等腰三角形的性质求解目标线段。
【难度系数】
0.6
10 等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，点$E$、$F$分别是边$CA$、$CB$的中点。已知点$P$在线段$EF$上，连接$AP$，将线段$AP$绕点$P$逆时针旋转$90°$得到线段$DP$。如果点$P$、$D$、$C$在同一直线上，那么$\tan∠ CAP=$
$\sqrt{2}-1$
。答案
10. $\sqrt{2}-1$ [提示:根据 P、D、C 共线可得 $∠ APC=90°$。又因为 E 为 AC 中点,所以 $PE = CE=AE$,设 $PE=x$ 。过点 P 作 $PH ⊥ CE$ 于点 H 。因为 $∠ HEP=45°$,所以 $PH=HE=\frac{\sqrt{2}}{2}x$, $AH=AE+EH=x+\frac{\sqrt{2}}{2}x$,所以 $\tan∠ CAP=\frac{PH}{AH}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{(1+\frac{\sqrt{2}}{2})x}=\sqrt{2}-1$。]
解析
【分析】
解题时首先结合旋转的性质得到∠APD=90°，再根据P、D、C三点共线推出∠APC=90°，即△APC为直角三角形。结合E是AC中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得PE=AE=CE。要求tan∠CAP，需要构造包含∠CAP的直角三角形，因此过P作AC的垂线，利用EF平行AB得到∠CEF=45°，设参数表示出直角三角形的对边和邻边，最后代入正切公式计算即可。
【解析】
解：
∵ 在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴ ∠A=∠B=45°，
∵ E、F分别是CA、CB的中点，
∴ EF//AB，
∴ ∠CEF=∠A=45°。
∵ 线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，
∴ ∠APD=90°，
又
∵ P、D、C在同一直线上，
∴ ∠APC=180°-∠APD=90°，即△APC是直角三角形。
∵ E是AC的中点，
∴ PE=AE=CE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
设PE=x，则AE=CE=x，
过点P作PH⊥AC于点H，
在Rt△EPH中，∠HEP=45°，
∴ PH=HE=PE·sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}x$，
∴ AH=AE + EH = $x+\frac{\sqrt{2}}{2}x$。
在Rt△PHA中，
$\tan∠CAP=\frac{PH}{AH}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{x+\frac{\sqrt{2}}{2}x}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$。
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
旋转的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数计算
【点评】
本题综合考查几何性质与三角函数计算，解题突破口是结合旋转和三点共线得到直角三角形，再通过作垂线构造直角三角形求三角函数值，需要熟练掌握相关几何性质，具备一定的转化和计算能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合旋转的性质得到∠APD=90°，再根据P、D、C三点共线推出∠APC=90°，即△APC为直角三角形。结合E是AC中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得PE=AE=CE。要求tan∠CAP，需要构造包含∠CAP的直角三角形，因此过P作AC的垂线，利用EF平行AB得到∠CEF=45°，设参数表示出直角三角形的对边和邻边，最后代入正切公式计算即可。
【解析】
解：
∵ 在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴ ∠A=∠B=45°，
∵ E、F分别是CA、CB的中点，
∴ EF//AB，
∴ ∠CEF=∠A=45°。
∵ 线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，
∴ ∠APD=90°，
又
∵ P、D、C在同一直线上，
∴ ∠APC=180°-∠APD=90°，即△APC是直角三角形。
∵ E是AC的中点，
∴ PE=AE=CE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
设PE=x，则AE=CE=x，
过点P作PH⊥AC于点H，
在Rt△EPH中，∠HEP=45°，
∴ PH=HE=PE·sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}x$，
∴ AH=AE + EH = $x+\frac{\sqrt{2}}{2}x$。
在Rt△PHA中，
$\tan∠CAP=\frac{PH}{AH}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{x+\frac{\sqrt{2}}{2}x}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$。
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
旋转的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数计算
【点评】
本题综合考查几何性质与三角函数计算，解题突破口是结合旋转和三点共线得到直角三角形，再通过作垂线构造直角三角形求三角函数值，需要熟练掌握相关几何性质，具备一定的转化和计算能力。
【难度系数】
0.6
11 如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3√2，AC=5，sinC=$\frac{3}{5}$，求cosB的值。
答案
11. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
要求cosB的值，需将∠B置于直角三角形中计算，因此考虑过点A作AD⊥BC构造直角三角形。首先在Rt△ADC中，利用已知的AC边长和sinC的值求出高AD的长度；再在Rt△ADB中，结合已知的AB边长，用勾股定理求出BD的长度，最后根据余弦的定义计算cosB即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ADC中，AC=5，$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，
∴$AD=AC·\sin C=5×\frac{3}{5}=3$。
在Rt△ADB中，$AB=3\sqrt{2}$，$AD=3$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2 - 3^2}=\sqrt{18 - 9}=\sqrt{9}=3$，
∴$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，通过作垂线构造直角三角形是解题的关键，解题过程中需熟练掌握锐角三角函数的定义及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
要求cosB的值，需将∠B置于直角三角形中计算，因此考虑过点A作AD⊥BC构造直角三角形。首先在Rt△ADC中，利用已知的AC边长和sinC的值求出高AD的长度；再在Rt△ADB中，结合已知的AB边长，用勾股定理求出BD的长度，最后根据余弦的定义计算cosB即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ADC中，AC=5，$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，
∴$AD=AC·\sin C=5×\frac{3}{5}=3$。
在Rt△ADB中，$AB=3\sqrt{2}$，$AD=3$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2 - 3^2}=\sqrt{18 - 9}=\sqrt{9}=3$，
∴$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，通过作垂线构造直角三角形是解题的关键，解题过程中需熟练掌握锐角三角函数的定义及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
