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1. 用10 m长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6 m².若设它的一条边长为x m，则根据题意可列出关于x的方程为 （
A.$x(5+x)=6$
B.$x(5-x)=6$
C.$x(10-x)=6$
D.$x(10-2x)=6$
B
）A.$x(5+x)=6$
B.$x(5-x)=6$
C.$x(10-x)=6$
D.$x(10-2x)=6$
答案
1. B
解析
【分析】
解这道题的核心是先明确铝材总长度对应矩形窗框的周长，再结合矩形的周长、面积公式推导方程。首先根据周长公式算出矩形相邻两边的和，接着用已知边长x表示出相邻的另一条边长，最后根据面积的等量关系列出方程，匹配对应选项即可。
【解析】
已知10m长的铝材是矩形窗框的周长，根据矩形周长公式$C=2(a+b)$（a、b为矩形相邻两边长），可得矩形相邻两边的和为：$10÷2=5\ \mathrm{m}$。
若其中一条边长为$x\ \mathrm{m}$，则它的邻边长为$(5-x)\ \mathrm{m}$。
已知矩形面积为$6\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式$S=ab$，可列方程：$x(5-x)=6$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 矩形周长与面积计算
2. 一元二次方程实际应用
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，解题关键是找准周长与边长的对应关系，正确表示出矩形的邻边长度后结合面积公式即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是先明确铝材总长度对应矩形窗框的周长，再结合矩形的周长、面积公式推导方程。首先根据周长公式算出矩形相邻两边的和，接着用已知边长x表示出相邻的另一条边长，最后根据面积的等量关系列出方程，匹配对应选项即可。
【解析】
已知10m长的铝材是矩形窗框的周长，根据矩形周长公式$C=2(a+b)$（a、b为矩形相邻两边长），可得矩形相邻两边的和为：$10÷2=5\ \mathrm{m}$。
若其中一条边长为$x\ \mathrm{m}$，则它的邻边长为$(5-x)\ \mathrm{m}$。
已知矩形面积为$6\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式$S=ab$，可列方程：$x(5-x)=6$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 矩形周长与面积计算
2. 一元二次方程实际应用
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，解题关键是找准周长与边长的对应关系，正确表示出矩形的邻边长度后结合面积公式即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
2. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为2 cm 的小正方形，做成一个无盖长方体的盒子.已知盒子的体积是200 $ \mathrm{cm}^3 $（不考虑铁皮的厚度），则原铁皮的边长为 （
A.16 cm
B.14 cm
C.12 cm
D.10 cm
B
）A.16 cm
B.14 cm
C.12 cm
D.10 cm
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照“设未知数-找等量关系-列方程-解方程-验根”的思路求解：首先明确无盖长方体盒子的长宽高和原正方形铁皮边长的关系，四角各剪去边长2cm的小正方形，因此盒子的高就是小正方形的边长2cm，盒子的长和宽等于原正方形边长减去两个2cm（左右/上下各剪去一个2cm的小正方形）；再根据长方体体积=长×宽×高的公式，结合已知体积200cm³的条件列一元二次方程，最后求解并舍去不符合实际意义的负根即可得到原铁皮边长。
【解析】
设原正方形铁皮的边长为$ x $ cm。
由题意可知，无盖长方体盒子的长和宽均为$ (x - 2×2) = (x - 4) $ cm，高为2 cm。
根据长方体体积公式可列方程：
$ 2(x - 4)^2 = 200 $
方程两边同时除以2，得：
$ (x - 4)^2 = 100 $
开平方，得：
$ x - 4 = \pm10 $
解得：$ x_1 = 14 $，$ x_2 = -6 $
因为正方形边长不能为负数，所以舍去$ x_2 = -6 $，即原铁皮的边长为14 cm。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 长方体体积计算
【点评】
本题是一元二次方程结合几何实际问题的基础题型，解题核心是准确梳理裁剪前后边长的对应关系，列方程求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按照“设未知数-找等量关系-列方程-解方程-验根”的思路求解：首先明确无盖长方体盒子的长宽高和原正方形铁皮边长的关系，四角各剪去边长2cm的小正方形，因此盒子的高就是小正方形的边长2cm，盒子的长和宽等于原正方形边长减去两个2cm（左右/上下各剪去一个2cm的小正方形）；再根据长方体体积=长×宽×高的公式，结合已知体积200cm³的条件列一元二次方程，最后求解并舍去不符合实际意义的负根即可得到原铁皮边长。
【解析】
设原正方形铁皮的边长为$ x $ cm。
由题意可知，无盖长方体盒子的长和宽均为$ (x - 2×2) = (x - 4) $ cm，高为2 cm。
根据长方体体积公式可列方程：
$ 2(x - 4)^2 = 200 $
方程两边同时除以2，得：
$ (x - 4)^2 = 100 $
开平方，得：
$ x - 4 = \pm10 $
解得：$ x_1 = 14 $，$ x_2 = -6 $
因为正方形边长不能为负数，所以舍去$ x_2 = -6 $，即原铁皮的边长为14 cm。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 长方体体积计算
【点评】
本题是一元二次方程结合几何实际问题的基础题型，解题核心是准确梳理裁剪前后边长的对应关系，列方程求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
3. 如图,要把长4 m,宽3 m的长方形花坛四周扩展相同的宽度x m,得到面积为30 m²的新长方形花坛,则x的值为 （
A.4.5
B.2
C.1.5
D.1
D
）A.4.5
B.2
C.1.5
D.1
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先明确：花坛四周都扩展相同宽度x，因此新长方形的长需在原长基础上左右各加x，即新长为(4+2x)m，新宽需在原宽基础上下各加x，即新宽为(3+2x)m；再根据长方形面积=长×宽，结合新面积为30m²列一元二次方程，求解后根据宽度为正数舍去不符合实际的根即可得到x的值。
【解析】
由题意可知，扩展后新长方形花坛的长为$(4+2x)\mathrm{m}$，宽为$(3+2x)\mathrm{m}$，根据长方形面积公式列方程：
$(4+2x)(3+2x)=30$
展开并整理方程：
$12 + 14x + 4x^2 = 30$
$4x^2 +14x -18 =0$
两边同除以2简化得：
$2x^2 +7x -9 =0$
因式分解得：
$(2x+9)(x-1)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=-\frac{9}{2}$
因为扩展宽度x不能为负数，故舍去$x_2=-\frac{9}{2}$，即$x=1$。
【答案】
D
【知识点】
列一元二次方程解应用题、长方形面积计算、一元二次方程求解
【点评】
本题是面积类实际应用的基础题，解题的易错点是容易误将新长方形的长、宽写为$4+x$和$3+x$，忽略了四周都要扩展宽度，因此长和宽都需要加2倍的x，同时求解后要验证根是否符合实际意义，舍去不合理的负根。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：花坛四周都扩展相同宽度x，因此新长方形的长需在原长基础上左右各加x，即新长为(4+2x)m，新宽需在原宽基础上下各加x，即新宽为(3+2x)m；再根据长方形面积=长×宽，结合新面积为30m²列一元二次方程，求解后根据宽度为正数舍去不符合实际的根即可得到x的值。
【解析】
由题意可知，扩展后新长方形花坛的长为$(4+2x)\mathrm{m}$，宽为$(3+2x)\mathrm{m}$，根据长方形面积公式列方程：
$(4+2x)(3+2x)=30$
展开并整理方程：
$12 + 14x + 4x^2 = 30$
$4x^2 +14x -18 =0$
两边同除以2简化得：
$2x^2 +7x -9 =0$
因式分解得：
$(2x+9)(x-1)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=-\frac{9}{2}$
因为扩展宽度x不能为负数，故舍去$x_2=-\frac{9}{2}$，即$x=1$。
【答案】
D
【知识点】
列一元二次方程解应用题、长方形面积计算、一元二次方程求解
【点评】
本题是面积类实际应用的基础题，解题的易错点是容易误将新长方形的长、宽写为$4+x$和$3+x$，忽略了四周都要扩展宽度，因此长和宽都需要加2倍的x，同时求解后要验证根是否符合实际意义，舍去不合理的负根。
【难度系数】
0.7
4. 如图,小明在数学综合实践活动中,利用一面墙(墙长9 m)和18 m长的围栏围成一个面积为40 m²的矩形场地,则矩形的宽AB为
5
m.答案
4. 5
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先设矩形的宽AB为x m，结合围栏总长度可表示出矩形的长BC为(18-2x)m；再根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解后需注意墙长只有9m，因此长BC不能超过9m，要舍去不符合实际意义的根，最终得到正确的AB长度。
【解析】
设矩形的宽AB的长度为x m，则矩形的长BC的长度为(18-2x)m。
根据矩形面积为40 m²，可列方程：
$x(18-2x)=40$
整理得：$x^2-9x+20=0$
因式分解得：$(x-4)(x-5)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=5$
接下来检验根是否符合实际：
当$x=4$时，$BC=18-2×4=10\ \mathrm{m}$，$10＞9$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当$x=5$时，$BC=18-2×5=8\ \mathrm{m}$，$8＜9$，符合墙长限制。
因此矩形的宽AB为5 m。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算；实际问题根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程解决实际问题的基础题型，解题的核心是正确用未知数表示出矩形的长和宽，易错点是容易忽略墙长的限制，忘记对方程的根进行实际意义的检验，导致得到错误答案。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以先设矩形的宽AB为x m，结合围栏总长度可表示出矩形的长BC为(18-2x)m；再根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解后需注意墙长只有9m，因此长BC不能超过9m，要舍去不符合实际意义的根，最终得到正确的AB长度。
【解析】
设矩形的宽AB的长度为x m，则矩形的长BC的长度为(18-2x)m。
根据矩形面积为40 m²，可列方程：
$x(18-2x)=40$
整理得：$x^2-9x+20=0$
因式分解得：$(x-4)(x-5)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=5$
接下来检验根是否符合实际：
当$x=4$时，$BC=18-2×4=10\ \mathrm{m}$，$10＞9$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当$x=5$时，$BC=18-2×5=8\ \mathrm{m}$，$8＜9$，符合墙长限制。
因此矩形的宽AB为5 m。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算；实际问题根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程解决实际问题的基础题型，解题的核心是正确用未知数表示出矩形的长和宽，易错点是容易忽略墙长的限制，忘记对方程的根进行实际意义的检验，导致得到错误答案。
【难度系数】
0.7
5. 如图是一张长 54 cm 的矩形铁皮,将其按如图方式分别剪去两个全等的矩形和两个全等的正方形,剩余部分(阴影部分)可制成表面积为 1 458 cm² 的长方体铁盒.若设剪去的小正方形的边长为 x cm,则根据题意,可列方程为
$4x(54-2x)+2x^2=1458$
.答案
5. $4x(54-2x)+2x^2=1458$
解析
【分析】
要列出正确方程，需先结合图形理清长方体铁盒各部分和x的关系，再结合表面积公式建立等量关系：
1. 剪去的小正方形边长为x cm，可知制成的长方体铁盒的高为x，且铁盒上下底面是边长为x的正方形，可先表示出两个底面的总面积；
2. 原矩形铁皮长为54 cm，减去两个小正方形的边长2x后，剩余长度就是长方体铁盒侧面的长；
3. 铁盒的总表面积为4个侧面的面积加2个底面的面积，已知表面积为1458 cm²，代入对应表达式即可得到方程。
【解析】
设剪去的小正方形的边长为x cm。
① 长方体铁盒的底面为边长是x的正方形，因此2个底面的总面积为$2x^2$；
② 长方体铁盒的每个侧面都是长为$(54-2x)$ cm、宽为x cm的长方形，4个侧面的总面积为$4x(54-2x)$；
根据铁盒总表面积为1458 cm²，即侧面积与两个底面积之和为1458，可列方程：
$4x(54-2x)+2x^2=1458$
【答案】
$4x(54-2x)+2x^2=1458$
【知识点】
一元二次方程应用、长方体表面积计算
【点评】
本题是几何与方程结合的典型应用题，解题核心是结合图形梳理出长方体各棱长与已知量的对应关系，再根据面积公式建立等量关系，解题时要注意不要漏算或多算表面积的组成部分。
【难度系数】
0.65
要列出正确方程，需先结合图形理清长方体铁盒各部分和x的关系，再结合表面积公式建立等量关系：
1. 剪去的小正方形边长为x cm，可知制成的长方体铁盒的高为x，且铁盒上下底面是边长为x的正方形，可先表示出两个底面的总面积；
2. 原矩形铁皮长为54 cm，减去两个小正方形的边长2x后，剩余长度就是长方体铁盒侧面的长；
3. 铁盒的总表面积为4个侧面的面积加2个底面的面积，已知表面积为1458 cm²，代入对应表达式即可得到方程。
【解析】
设剪去的小正方形的边长为x cm。
① 长方体铁盒的底面为边长是x的正方形，因此2个底面的总面积为$2x^2$；
② 长方体铁盒的每个侧面都是长为$(54-2x)$ cm、宽为x cm的长方形，4个侧面的总面积为$4x(54-2x)$；
根据铁盒总表面积为1458 cm²，即侧面积与两个底面积之和为1458，可列方程：
$4x(54-2x)+2x^2=1458$
【答案】
$4x(54-2x)+2x^2=1458$
【知识点】
一元二次方程应用、长方体表面积计算
【点评】
本题是几何与方程结合的典型应用题，解题核心是结合图形梳理出长方体各棱长与已知量的对应关系，再根据面积公式建立等量关系，解题时要注意不要漏算或多算表面积的组成部分。
【难度系数】
0.65
6. 如图，小明在一幅长为 80 cm，宽为 50 cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，要使整幅挂图的面积是 $5400\ \mathrm{cm}^2$. 求金色纸边的宽度.
答案
6. 解:设金色纸边的宽度为 $x$ cm,则挂图的长为$(80+2x)$cm,宽为$(50+2x)$cm. 根据题意,得$(80+2x)(50+2x)=5400$,解得 $x_1=-70$(不合题意,舍去),$x_2=5$. 答:金色纸边的宽度为 5 cm.
解析
【分析】
解决本题首先要明确等量关系：整幅矩形挂图的面积=长×宽。我们可以先设金色纸边的宽度为x cm，由于纸边在风景画四周均有分布，因此挂图的长为原风景画长度加左右两边的纸边宽度，即(80+2x)cm，宽为原风景画宽度加上下两边的纸边宽度，即(50+2x)cm。随后根据给出的挂图总面积列出一元二次方程，求解后结合实际意义（宽度不能为负）舍去不符合要求的根，即可得到最终结果。
【解析】
解：设金色纸边的宽度为$x$ cm，则挂图的长为$(80+2x)$ cm，宽为$(50+2x)$ cm。
根据矩形面积公式，结合题意列方程得：
$(80+2x)(50+2x)=5400$
展开整理得：$x^2+65x-350=0$
解得 $x_1=-70$，$x_2=5$。
由于纸边宽度不能为负数，因此$x=-70$不合题意，舍去。
答：金色纸边的宽度为5 cm。
【答案】
5 cm
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、方程根的检验
【点评】
本题是一元二次方程解决几何实际问题的基础题型，解题核心是准确表示出镶边后矩形的长和宽，同时要注意结合实际情境对求出的根进行取舍，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确等量关系：整幅矩形挂图的面积=长×宽。我们可以先设金色纸边的宽度为x cm，由于纸边在风景画四周均有分布，因此挂图的长为原风景画长度加左右两边的纸边宽度，即(80+2x)cm，宽为原风景画宽度加上下两边的纸边宽度，即(50+2x)cm。随后根据给出的挂图总面积列出一元二次方程，求解后结合实际意义（宽度不能为负）舍去不符合要求的根，即可得到最终结果。
【解析】
解：设金色纸边的宽度为$x$ cm，则挂图的长为$(80+2x)$ cm，宽为$(50+2x)$ cm。
根据矩形面积公式，结合题意列方程得：
$(80+2x)(50+2x)=5400$
展开整理得：$x^2+65x-350=0$
解得 $x_1=-70$，$x_2=5$。
由于纸边宽度不能为负数，因此$x=-70$不合题意，舍去。
答：金色纸边的宽度为5 cm。
【答案】
5 cm
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、方程根的检验
【点评】
本题是一元二次方程解决几何实际问题的基础题型，解题核心是准确表示出镶边后矩形的长和宽，同时要注意结合实际情境对求出的根进行取舍，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.8
7. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m²的矩形空地，则原正方形空地的边长是（
A.7 m
B.8 m
C.9 m
D.10 m
A
）A.7 m
B.8 m
C.9 m
D.10 m
答案
7. A
解析
【分析】
这是典型的面积类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先抓住原图形是正方形，边长相等的特点，先设原正方形空地的边长为x m；再分析剩余矩形的边长：原正方形一边减少2m、另一边减少3m，因此剩余矩形的两条边长分别为(x-2)m和(x-3)m；最后结合矩形面积公式（面积=长×宽）和已知的剩余面积20m²列方程求解，注意求解后要舍去不符合实际意义的负根，即可得到原正方形的边长。
【解析】
设原正方形空地的边长为x m，由题意可知剩余矩形的两边长分别为(x-2)m和(x-3)m，根据矩形面积公式列方程：
$(x - 2)(x - 3) = 20$
展开整理得：
$x^2 - 5x + 6 = 20$
$x^2 - 5x - 14 = 0$
因式分解得：
$(x - 7)(x + 2) = 0$
解得$x_1=7$，$x_2=-2$。
因为空地边长不能为负数，因此$x=-2$不符合实际意义，舍去。
即原正方形空地的边长为7m。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于基础的方程应用题型，解题核心是找准剩余矩形边长和原正方形边长的数量关系，正确列出方程，求解后要结合实际场景检验根的合理性，排除不符合要求的解即可。
【难度系数】
0.7
这是典型的面积类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先抓住原图形是正方形，边长相等的特点，先设原正方形空地的边长为x m；再分析剩余矩形的边长：原正方形一边减少2m、另一边减少3m，因此剩余矩形的两条边长分别为(x-2)m和(x-3)m；最后结合矩形面积公式（面积=长×宽）和已知的剩余面积20m²列方程求解，注意求解后要舍去不符合实际意义的负根，即可得到原正方形的边长。
【解析】
设原正方形空地的边长为x m，由题意可知剩余矩形的两边长分别为(x-2)m和(x-3)m，根据矩形面积公式列方程：
$(x - 2)(x - 3) = 20$
展开整理得：
$x^2 - 5x + 6 = 20$
$x^2 - 5x - 14 = 0$
因式分解得：
$(x - 7)(x + 2) = 0$
解得$x_1=7$，$x_2=-2$。
因为空地边长不能为负数，因此$x=-2$不符合实际意义，舍去。
即原正方形空地的边长为7m。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于基础的方程应用题型，解题核心是找准剩余矩形边长和原正方形边长的数量关系，正确列出方程，求解后要结合实际场景检验根的合理性，排除不符合要求的解即可。
【难度系数】
0.7
