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8. 《新课程标准》明确劳动教育独立设课并融入育人全过程，某校打造校园农场开展实践活动.如图，该矩形农场长32 m，宽20 m，要求在农场内修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为试验田，且使试验田的面积为540 m²，则道路的宽为
2
m.答案
8. 2
解析
【分析】
遇到含不规则曲折道路的面积问题时，可采用平移法简化计算：将所有横向道路向上下边缘平移、纵向道路向左右边缘平移，剩余的试验田会拼接成一个规则的矩形，无需额外计算道路重叠部分的面积。我们可以设道路宽为未知数，根据“新矩形面积=试验田面积”列一元二次方程求解，最后要检验解是否符合实际场景，道路宽度不能为负，也不能超过原矩形的长宽。
【解析】
解：设道路的宽为$ x $ m。
利用平移法，可将试验田拼接为一个长为$ (32-x) $ m，宽为$ (20-x) $ m的矩形，根据题意列方程：
$(32-x)(20-x)=540$
展开并整理得：
$x^2-52x+100=0$
因式分解得：
$(x-2)(x-50)=0$
解得$ x_1=2 $，$ x_2=50 $。
由于道路宽度不能超过原农场的长和宽，$ 50＞32 $，不符合实际情况，故舍去$ x_2=50 $。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程应用；平移法求面积；矩形面积计算
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，解题核心是通过平移将不规则的剩余区域转化为规则矩形，降低计算难度，求得方程的解后要注意结合实际情况验根，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
遇到含不规则曲折道路的面积问题时，可采用平移法简化计算：将所有横向道路向上下边缘平移、纵向道路向左右边缘平移，剩余的试验田会拼接成一个规则的矩形，无需额外计算道路重叠部分的面积。我们可以设道路宽为未知数，根据“新矩形面积=试验田面积”列一元二次方程求解，最后要检验解是否符合实际场景，道路宽度不能为负，也不能超过原矩形的长宽。
【解析】
解：设道路的宽为$ x $ m。
利用平移法，可将试验田拼接为一个长为$ (32-x) $ m，宽为$ (20-x) $ m的矩形，根据题意列方程：
$(32-x)(20-x)=540$
展开并整理得：
$x^2-52x+100=0$
因式分解得：
$(x-2)(x-50)=0$
解得$ x_1=2 $，$ x_2=50 $。
由于道路宽度不能超过原农场的长和宽，$ 50＞32 $，不符合实际情况，故舍去$ x_2=50 $。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程应用；平移法求面积；矩形面积计算
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，解题核心是通过平移将不规则的剩余区域转化为规则矩形，降低计算难度，求得方程的解后要注意结合实际情况验根，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
9. 一块矩形菜地的面积是 $120\ \mathrm{m}^2$，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是
12
m.答案
9. 12
解析
【分析】
解题时首先抓住“长减少2m菜地变成正方形”这一关键条件，可知原矩形菜地的宽比长少2m。我们可以设原菜地的长为未知数，用含未知数的式子表示宽，再结合矩形面积公式列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不符合要求的根即可得到答案。
【解析】
设原菜地的长为$ x\ \mathrm{m} $，由“长减少2m后菜地变为正方形”可知，原菜地的宽为$ (x-2)\ \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式$ \mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽} $，已知面积为$ 120\ \mathrm{m}^2 $，可列方程：
$ x(x-2)=120 $
整理得：$ x^2 - 2x - 120 = 0 $
因式分解得：$ (x-12)(x+10)=0 $
解得：$ x_1=12 $，$ x_2=-10 $
因为菜地的长度为正数，所以舍去$ x=-10 $，即原菜地的长为12m。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，正方形的性质
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题的核心是结合几何图形的性质找到未知量之间的数量关系，列方程求解后要注意检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住“长减少2m菜地变成正方形”这一关键条件，可知原矩形菜地的宽比长少2m。我们可以设原菜地的长为未知数，用含未知数的式子表示宽，再结合矩形面积公式列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不符合要求的根即可得到答案。
【解析】
设原菜地的长为$ x\ \mathrm{m} $，由“长减少2m后菜地变为正方形”可知，原菜地的宽为$ (x-2)\ \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式$ \mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽} $，已知面积为$ 120\ \mathrm{m}^2 $，可列方程：
$ x(x-2)=120 $
整理得：$ x^2 - 2x - 120 = 0 $
因式分解得：$ (x-12)(x+10)=0 $
解得：$ x_1=12 $，$ x_2=-10 $
因为菜地的长度为正数，所以舍去$ x=-10 $，即原菜地的长为12m。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，正方形的性质
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题的核心是结合几何图形的性质找到未知量之间的数量关系，列方程求解后要注意检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
10. 已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的$\frac{1}{3}$，则a，b应该满足的条件为
$a^2 + b^2 ≥ 10ab$
。答案
10. $a^2 + b^2 ≥ 10ab$
解析
【分析】
首先设所求矩形的长和宽为x、y，先根据“周长和面积分别是已知矩形的$\frac{1}{3}$”，分别推导得到x与y的和、x与y的积的表达式；再结合一元二次方程根与系数的关系，将x、y看作对应一元二次方程的两个正实根，由于矩形边长为正数，两根和与积均为正，只需满足方程有实根的条件（判别式≥0），代入化简即可得到a、b满足的关系。
【解析】
设新矩形的长和宽分别为$x$、$y$（$x＞0,y＞0$）。
已知原矩形长为$a$、宽为$b$，则原矩形周长为$2(a+b)$，面积为$ab$，根据题意可列关系：
1. 周长关系：$2(x+y)=\frac{1}{3}× 2(a+b)$，化简得 $x+y=\frac{a+b}{3}$；
2. 面积关系：$xy=\frac{1}{3}ab$。
根据一元二次方程根与系数的关系，$x$、$y$是关于$t$的一元二次方程 $t^2 - \frac{a+b}{3}t + \frac{ab}{3}=0$ 的两个正实数根。
要使方程存在正实根，需满足判别式$\Delta≥0$：
$\Delta = (\frac{a+b}{3})^2 - 4× 1× \frac{ab}{3} ≥ 0$
展开并整理不等式：
$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{9} - \frac{12ab}{9} ≥ 0$
两边同乘9（不等号方向不变）得：
$a^2 + 2ab + b^2 - 12ab ≥ 0$
最终化简得：$a^2 + b^2 ≥ 10ab$
（由于$a＞0,b＞0$，因此$x+y=\frac{a+b}{3}＞0$，$xy=\frac{ab}{3}＞0$，满足边长为正的要求，无需额外约束）
【答案】
$a^2 + b^2 ≥ 10ab$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 韦达定理
3. 矩形周长与面积计算
【点评】
本题将矩形的周长、面积计算与一元二次方程知识结合，解题的核心是通过设未知矩形的边长，将问题转化为一元二次方程有正实根的问题，利用判别式建立不等式求解，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先设所求矩形的长和宽为x、y，先根据“周长和面积分别是已知矩形的$\frac{1}{3}$”，分别推导得到x与y的和、x与y的积的表达式；再结合一元二次方程根与系数的关系，将x、y看作对应一元二次方程的两个正实根，由于矩形边长为正数，两根和与积均为正，只需满足方程有实根的条件（判别式≥0），代入化简即可得到a、b满足的关系。
【解析】
设新矩形的长和宽分别为$x$、$y$（$x＞0,y＞0$）。
已知原矩形长为$a$、宽为$b$，则原矩形周长为$2(a+b)$，面积为$ab$，根据题意可列关系：
1. 周长关系：$2(x+y)=\frac{1}{3}× 2(a+b)$，化简得 $x+y=\frac{a+b}{3}$；
2. 面积关系：$xy=\frac{1}{3}ab$。
根据一元二次方程根与系数的关系，$x$、$y$是关于$t$的一元二次方程 $t^2 - \frac{a+b}{3}t + \frac{ab}{3}=0$ 的两个正实数根。
要使方程存在正实根，需满足判别式$\Delta≥0$：
$\Delta = (\frac{a+b}{3})^2 - 4× 1× \frac{ab}{3} ≥ 0$
展开并整理不等式：
$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{9} - \frac{12ab}{9} ≥ 0$
两边同乘9（不等号方向不变）得：
$a^2 + 2ab + b^2 - 12ab ≥ 0$
最终化简得：$a^2 + b^2 ≥ 10ab$
（由于$a＞0,b＞0$，因此$x+y=\frac{a+b}{3}＞0$，$xy=\frac{ab}{3}＞0$，满足边长为正的要求，无需额外约束）
【答案】
$a^2 + b^2 ≥ 10ab$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 韦达定理
3. 矩形周长与面积计算
【点评】
本题将矩形的周长、面积计算与一元二次方程知识结合，解题的核心是通过设未知矩形的边长，将问题转化为一元二次方程有正实根的问题，利用判别式建立不等式求解，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
11.（威海中考）如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24 m²的9个矩形地块，请你求出小路的宽度.
答案
11. 解:设小路的宽度为 $x$ m,则 9 块矩形地块可合成长为$(20-4x)$m,宽为$(14-4x)$m 的矩形,根据题意得:$(20-4x)(14-4x)=24×9$,整理得:$2x^2 -17x +8=0$,解得:$x_1=\frac{1}{2}$,$x_2=8$(不符合题意,舍去). 答:小路的宽度为 $\frac{1}{2}$ m.
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决的面积类实际应用题，解题思路如下：首先明确等量关系：9个空白矩形地块的总面积等于拼接后整体空白矩形的面积；其次观察图形可知，竖直方向的小路共4条、水平方向的小路共4条，若设小路宽为x m，将9个空白地块平移拼接后，得到的大矩形长为(20-4x)m，宽为(14-4x)m；最后根据面积等量关系列方程求解，结合实际意义舍去不符合要求的根，即可得到小路宽度。
【解析】
解：设小路的宽度为$x$ m。
将9个矩形地块平移拼接后，可得到一个长为$(20-4x)$ m、宽为$(14-4x)$ m的矩形。
根据9个地块的总面积为$24 × 9$ $\mathrm{m}^2$，列方程得：
$(20-4x)(14-4x)=24 × 9$
展开整理得：
$2x^2 -17x +8=0$
因式分解得$(2x-1)(x-8)=0$，解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=8$。
检验：当$x=8$时，$4x=32＞14$，不符合实际情况，舍去；$x=\frac{1}{2}$符合题意。
答：小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m。
【答案】
$\frac{1}{2}$ m
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，解的合理性检验
【点评】
本题属于常见的几何面积类方程应用题，核心解题技巧是通过平移分散的空白区域，将不规则的面积计算转化为规则矩形的面积计算，降低解题难度，求解后注意要结合实际场景判断根的合理性，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
这是一道利用一元二次方程解决的面积类实际应用题，解题思路如下：首先明确等量关系：9个空白矩形地块的总面积等于拼接后整体空白矩形的面积；其次观察图形可知，竖直方向的小路共4条、水平方向的小路共4条，若设小路宽为x m，将9个空白地块平移拼接后，得到的大矩形长为(20-4x)m，宽为(14-4x)m；最后根据面积等量关系列方程求解，结合实际意义舍去不符合要求的根，即可得到小路宽度。
【解析】
解：设小路的宽度为$x$ m。
将9个矩形地块平移拼接后，可得到一个长为$(20-4x)$ m、宽为$(14-4x)$ m的矩形。
根据9个地块的总面积为$24 × 9$ $\mathrm{m}^2$，列方程得：
$(20-4x)(14-4x)=24 × 9$
展开整理得：
$2x^2 -17x +8=0$
因式分解得$(2x-1)(x-8)=0$，解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=8$。
检验：当$x=8$时，$4x=32＞14$，不符合实际情况，舍去；$x=\frac{1}{2}$符合题意。
答：小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m。
【答案】
$\frac{1}{2}$ m
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，解的合理性检验
【点评】
本题属于常见的几何面积类方程应用题，核心解题技巧是通过平移分散的空白区域，将不规则的面积计算转化为规则矩形的面积计算，降低解题难度，求解后注意要结合实际场景判断根的合理性，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
12. 在某校运动会入场式的彩排中，国旗护卫队的20名学生排成了4行5列的矩形方阵，为了表演的需要，又增加了22名学生，与之前的学生一起排成一个新的矩形方阵. 与原方阵相比，新方阵增加的行数和增加的列数相同. 求新方阵增加了多少列.
答案
12. 解:设新方阵增加了 $x$ 列,则新方阵增加了 $x$ 行,由题意得:$(4+x)(5+x)=20+22$,整理得 $x^2 +9x -22=0$,解得 $x_1=2$,$x_2=-11$(不合题意,舍去). 答:新方阵增加了 2 列.
解析
【分析】
首先找准题中等量关系：新方阵总人数=原方阵人数+新增学生人数。已知新方阵增加的行数和列数相同，设均为x，则新方阵行数为原4行加x，列数为原5列加x，矩形方阵总人数等于行数乘列数，据此可列一元二次方程，求解后结合“列数为正数”的实际意义舍去不合要求的根，即可得到答案。
【解析】
解：设新方阵增加了$x$列，则新方阵增加的行数也为$x$，由题意得：
$(4+x)(5+x)=20+22$
展开并整理方程得：
$x^2 +9x -22=0$
因式分解得$(x+11)(x-2)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-11$。
因为增加的列数不能为负数，所以$x_2=-11$不合题意，舍去。
答：新方阵增加了2列。
【答案】
新方阵增加了2列
【知识点】
一元二次方程的应用，解一元二次方程，实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，解题关键是抓住“方阵总人数=行数×列数”的等量关系列方程，同时要注意结合实际场景对求得的根进行合理性验证，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
首先找准题中等量关系：新方阵总人数=原方阵人数+新增学生人数。已知新方阵增加的行数和列数相同，设均为x，则新方阵行数为原4行加x，列数为原5列加x，矩形方阵总人数等于行数乘列数，据此可列一元二次方程，求解后结合“列数为正数”的实际意义舍去不合要求的根，即可得到答案。
【解析】
解：设新方阵增加了$x$列，则新方阵增加的行数也为$x$，由题意得：
$(4+x)(5+x)=20+22$
展开并整理方程得：
$x^2 +9x -22=0$
因式分解得$(x+11)(x-2)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-11$。
因为增加的列数不能为负数，所以$x_2=-11$不合题意，舍去。
答：新方阵增加了2列。
【答案】
新方阵增加了2列
【知识点】
一元二次方程的应用，解一元二次方程，实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，解题关键是抓住“方阵总人数=行数×列数”的等量关系列方程，同时要注意结合实际场景对求得的根进行合理性验证，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
13. 如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料).
(1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m²的羊圈？
(2) 羊圈的面积能达到650 m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
(1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m²的羊圈？
(2) 羊圈的面积能达到650 m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
答案
13. 解:(1) 设矩形ABCD 的边 $AB=x$ m,则边 $BC=70-2x+2=(72-2x)$m. 根据题意,得 $x(72-2x)=640$,化简,得 $x^2 -36x +320=0$,解得 $x_1=16$,$x_2=20$. 当 $x=16$ 时,$72-2x=72-32=40$;当 $x=20$ 时,$72-2x=72-40=32$. 答:当羊圈的长为 40 m,宽为 16 m 或长为 32 m,宽为 20 m 时,能围成一个面积为 640 m² 的羊圈；
(2) 不能. 理由:由题意,得 $x(72-2x)=650$,化简,得 $x^2 -36x +325=0$,$\Delta=(-36)^2 -4×325=-4＜0$,$\therefore$ 该方程没有实数根. $\therefore$ 羊圈的面积不能达到 650 m².
(2) 不能. 理由:由题意,得 $x(72-2x)=650$,化简,得 $x^2 -36x +325=0$,$\Delta=(-36)^2 -4×325=-4＜0$,$\therefore$ 该方程没有实数根. $\therefore$ 羊圈的面积不能达到 650 m².
解析
【分析】
本题是一元二次方程在面积实际问题中的应用，解题思路如下：①先设定未知数，通常设垂直于房屋外墙的边长AB为x m，因为栅栏仅围三边且BC上有2m宽的门无需用栅栏，因此平行于外墙的边BC的长度可表示为（栅栏总长-2倍垂直边长+门宽），即(72-2x)m；②第一问已知面积为640m²，根据矩形面积=长×宽列一元二次方程，求解后验证解的合理性，即可得到对应的长和宽；③第二问要判断面积能否达到650m²，同样根据面积公式列方程，再通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式≥0则能达到，反之则不能。
【解析】
(1) 设矩形ABCD的边AB长为x m，则平行于外墙的边BC的长度为$70-2x+2=(72-2x)$m。
根据矩形面积公式列方程：
$x(72-2x)=640$
化简得：$x^2 -36x +320=0$
解得：$x_1=16$，$x_2=20$。
当$x=16$时，$BC=72-2×16=40$m；
当$x=20$时，$BC=72-2×20=32$m，两个解均符合实际意义。
(2) 不能达到650m²，理由如下：
假设面积能达到650m²，列方程得：
$x(72-2x)=650$
化简得：$x^2 -36x +325=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-36)^2 -4×1×325=1296-1300=-4＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的边长，所以羊圈面积不能达到650m²。
【答案】
(1) 当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成面积为640 m²的羊圈；
(2) 不能。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，根的判别式的应用
【点评】
本题属于实际应用类题型，解题的关键是结合题意正确表示出矩形两条边的长度，尤其要注意门的宽度不需要占用栅栏长度，避免列方程时出错；第二问利用根的判别式判断方程是否有实根，即可快速判断方案是否可行，解题时要注意验证所得的解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程在面积实际问题中的应用，解题思路如下：①先设定未知数，通常设垂直于房屋外墙的边长AB为x m，因为栅栏仅围三边且BC上有2m宽的门无需用栅栏，因此平行于外墙的边BC的长度可表示为（栅栏总长-2倍垂直边长+门宽），即(72-2x)m；②第一问已知面积为640m²，根据矩形面积=长×宽列一元二次方程，求解后验证解的合理性，即可得到对应的长和宽；③第二问要判断面积能否达到650m²，同样根据面积公式列方程，再通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式≥0则能达到，反之则不能。
【解析】
(1) 设矩形ABCD的边AB长为x m，则平行于外墙的边BC的长度为$70-2x+2=(72-2x)$m。
根据矩形面积公式列方程：
$x(72-2x)=640$
化简得：$x^2 -36x +320=0$
解得：$x_1=16$，$x_2=20$。
当$x=16$时，$BC=72-2×16=40$m；
当$x=20$时，$BC=72-2×20=32$m，两个解均符合实际意义。
(2) 不能达到650m²，理由如下：
假设面积能达到650m²，列方程得：
$x(72-2x)=650$
化简得：$x^2 -36x +325=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-36)^2 -4×1×325=1296-1300=-4＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的边长，所以羊圈面积不能达到650m²。
【答案】
(1) 当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成面积为640 m²的羊圈；
(2) 不能。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，根的判别式的应用
【点评】
本题属于实际应用类题型，解题的关键是结合题意正确表示出矩形两条边的长度，尤其要注意门的宽度不需要占用栅栏长度，避免列方程时出错；第二问利用根的判别式判断方程是否有实根，即可快速判断方案是否可行，解题时要注意验证所得的解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
