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1.如图,矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2),以原点O为位似中心,将这个矩形按相似比$\frac{1}{3}$缩小,则顶点B在第一象限对应点的坐标是 (
A.(9,4)
B.(4,9)
C.$(1,\frac{3}{2})$
D.$(1,\frac{2}{3})$
D
)A.(9,4)
B.(4,9)
C.$(1,\frac{3}{2})$
D.$(1,\frac{2}{3})$
答案
1.D
2. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，$△ ABC$与$△ ODE$是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（
A.$(0,0)$
B.$(2,4)$
C.$(5,1)$
D.$(4,2)$
D
）A.$(0,0)$
B.$(2,4)$
C.$(5,1)$
D.$(4,2)$
答案
2.D
3. [2025 浙江] 如图,五边形ABCDE,A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,已知点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0).若DE的长为3,则D'E'的长为 (
A.$\frac{7}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5
(第3题) (第5题)
C
)A.$\frac{7}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5
(第3题) (第5题)
答案
3.C
4.在平面直角坐标系中，$△ ABC$与$△ A'B'C'$位似，位似中心是原点$O$.若对应点坐标分别为$A(1,-4),A'(-2,8)$，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比为________.
答案
4.1:4
5.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为1:3,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为3,则点D的坐标为
$(\frac{1}{2},1)$
.答案
5.$(\frac{1}{2},1)$ 【点拨】
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，
∴$\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3}$.
∵正方形BEFG的边长为3，
∴BG=3.
∴AD=BC=1.
∵AD//BG，
∴易得△OAD∽△OBG.
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3}$.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=1.
∴$\frac{OA}{1+OA}=\frac{1}{3}$.
∴OA=$\frac{1}{2}$.
∴D点坐标为$(\frac{1}{2},1)$.
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，
∴$\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3}$.
∵正方形BEFG的边长为3，
∴BG=3.
∴AD=BC=1.
∵AD//BG，
∴易得△OAD∽△OBG.
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3}$.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=1.
∴$\frac{OA}{1+OA}=\frac{1}{3}$.
∴OA=$\frac{1}{2}$.
∴D点坐标为$(\frac{1}{2},1)$.
6.[2025安徽]如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系$xOy$,$△ ABC$的顶点和$A_1$均为格点(网格线的交点).已知点$A$和$A_1$的坐标分别为$(-1,-3)$和$(2,6)$.
(1)在所给的网格图中描出边$AB$的中点$D$,并写出点$D$的坐标;
(2)以点$O$为位似中心,将$△ ABC$放大得到$△ A_1B_1C_1$,使得点$A$的对应点为$A_1$,请在所给的网格图中画出$△ A_1B_1C_1$.
(1)在所给的网格图中描出边$AB$的中点$D$,并写出点$D$的坐标;
(2)以点$O$为位似中心,将$△ ABC$放大得到$△ A_1B_1C_1$,使得点$A$的对应点为$A_1$,请在所给的网格图中画出$△ A_1B_1C_1$.
答案
6.【解】(1)如图所示,点 D 即为边 AB 的中点.
∵A(-1,-3),B(-3,1),
∴点 D 的坐标为(-2,-1).
(2)如图所示,△A₁B₁C₁即为所求作的三角形.
7. 如图，$△ ABC$三个顶点的坐标分别为$A(-2,2)$，$B(-4,1)$，$C(-1,-1)$，以点$C$为位似中心，在$x$轴下方作把$△ ABC$放大为原来的$2$倍的位似图形$△ A'B'C'$，则点$A'$的坐标为 （
A.$(3,-7)$
B.$(1,-7)$
C.$(4,-4)$
D.$(1,-4)$
（第7题）（第8题）
B
）A.$(3,-7)$
B.$(1,-7)$
C.$(4,-4)$
D.$(1,-4)$
（第7题）（第8题）
答案
7.B 【点拨】由题意可得△ABC∽△A'B'C，且相似比为1:2，
∴A'C=2AC.
∴$y_C - y_{A'} = 2(y_A - y_C)=2×(2+1)=6$，$x_{A'} - x_C=2(x_C - x_A)=2×(-1+2)=2$.
∴$y_{A'}=-7$，$x_{A'}=1$.
∴A'(1,-7).故选B.
∴A'C=2AC.
∴$y_C - y_{A'} = 2(y_A - y_C)=2×(2+1)=6$，$x_{A'} - x_C=2(x_C - x_A)=2×(-1+2)=2$.
∴$y_{A'}=-7$，$x_{A'}=1$.
∴A'(1,-7).故选B.
8. 新考法 分类讨论法 如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为$(-1,-1)$，点A的坐标为$(3,2)$，则这两个正方形位似中心的坐标是（
A.$(1,0)$
B.$(-5,-1)$
C.$(1,0)$或$(-5,-1)$
D.$(1,0)$或$(-5,-2)$
D
）A.$(1,0)$
B.$(-5,-1)$
C.$(1,0)$或$(-5,-1)$
D.$(1,0)$或$(-5,-2)$
答案
8.D 【点拨】
∵正方形ABCD和正方形OEFG中点A和点F的坐标分别为(3,2),(-1,-1),
∴E(-1,0),G(0,-1),C(5,0).①当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点时，连接AG，位似中心就是EC与AG的交点，设AG所在直线的表达式为y=kx+b(k≠0)，则$\begin{cases}3k+b=2,\\b=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=-1,\end{cases}$
∴AG所在直线的表达式为y=x-1.当y=0时，则x=1，
∴AG与EC的交点坐标是(1,0)；②当A和E是对应顶点，C和G是对应顶点时，连接AE,CG，位似中心就是AE与CG的交点，
设AE所在直线的表达式为y=k'x+b'(k'≠0)，
则$\begin{cases}3k'+b'=2,\\-k'+b'=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k'=\frac{1}{2},\\b'=\frac{1}{2},\end{cases}$
∴AE所在直线的表达式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$①.
同理，设CG所在直线的表达式为y=mx+n(m≠0)，
则$\begin{cases}5m+n=0,\\n=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\frac{1}{5},\\n=-1,\end{cases}$
∴CG所在直线的表达式为$y=\frac{1}{5}x-1$②.
联立①②得$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2},\\y=\frac{1}{5}x-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-5,\\y=-2,\end{cases}$
∴AE与CG的交点坐标是(-5,-2).
综上所述，位似中心的坐标是(1,0)或(-5,-2).
∵正方形ABCD和正方形OEFG中点A和点F的坐标分别为(3,2),(-1,-1),
∴E(-1,0),G(0,-1),C(5,0).①当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点时，连接AG，位似中心就是EC与AG的交点，设AG所在直线的表达式为y=kx+b(k≠0)，则$\begin{cases}3k+b=2,\\b=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=-1,\end{cases}$
∴AG所在直线的表达式为y=x-1.当y=0时，则x=1，
∴AG与EC的交点坐标是(1,0)；②当A和E是对应顶点，C和G是对应顶点时，连接AE,CG，位似中心就是AE与CG的交点，
设AE所在直线的表达式为y=k'x+b'(k'≠0)，
则$\begin{cases}3k'+b'=2,\\-k'+b'=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k'=\frac{1}{2},\\b'=\frac{1}{2},\end{cases}$
∴AE所在直线的表达式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$①.
同理，设CG所在直线的表达式为y=mx+n(m≠0)，
则$\begin{cases}5m+n=0,\\n=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\frac{1}{5},\\n=-1,\end{cases}$
∴CG所在直线的表达式为$y=\frac{1}{5}x-1$②.
联立①②得$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2},\\y=\frac{1}{5}x-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-5,\\y=-2,\end{cases}$
∴AE与CG的交点坐标是(-5,-2).
综上所述，位似中心的坐标是(1,0)或(-5,-2).
