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1.「2025山东德州中考」如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$.分别以点A和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与AC交于点D，连接BD，若$∠ A=42°$，则$∠ CBD$的度数为（
A.$21°$
B.$27°$
C.$30°$
D.$34.5°$
第1题图 第2题图
B
）A.$21°$
B.$27°$
C.$30°$
D.$34.5°$
第1题图 第2题图
答案
1.B $\because AB=AC,\therefore ∠ABC=∠C,$
$\because ∠A=42^{\circ },$
$\therefore ∠ABC=\frac {180^{\circ }-42^{\circ }}{2}=69^{\circ }$,由尺规作图可知,MN 是线段 AB 的垂直平分线,
$\therefore DA=DB,$
$\therefore ∠DBA=∠A=42^{\circ },$
$\therefore ∠CBD=∠ABC-∠DBA=69^{\circ }-42^{\circ }=27^{\circ }.$
$\because ∠A=42^{\circ },$
$\therefore ∠ABC=\frac {180^{\circ }-42^{\circ }}{2}=69^{\circ }$,由尺规作图可知,MN 是线段 AB 的垂直平分线,
$\therefore DA=DB,$
$\therefore ∠DBA=∠A=42^{\circ },$
$\therefore ∠CBD=∠ABC-∠DBA=69^{\circ }-42^{\circ }=27^{\circ }.$
2.「2025四川广安中考」如图,在$△ ABC$中,按以下步骤作图:(1)以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交BC于点D;(2)分别以点C和点D为圆心,大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧,两弧相交于点F;(3)画射线AF交BC于点E.若$∠ C=2∠ B$,$BC=23$,$BD=13$,则AE的长为
12
.答案
2.答案 12
解析 连接 AD(图略),由作图过程可知,$AD=AC$,
$AE⊥BC,$
$\therefore ∠ADC=∠C=2∠B,∠AED=90^{\circ },DE=CE,$
$\because ∠ADC=∠B+∠BAD,$
$\therefore ∠BAD=∠B,$
$\therefore AD=BD=13.$
$\because BC=23,BD=13,$
$\therefore CD=BC-BD=10,$
$\therefore DE=5,$
$\therefore AE=\sqrt {AD^{2}-DE^{2}}=\sqrt {13^{2}-5^{2}}=12$.故答案为 12.
解析 连接 AD(图略),由作图过程可知,$AD=AC$,
$AE⊥BC,$
$\therefore ∠ADC=∠C=2∠B,∠AED=90^{\circ },DE=CE,$
$\because ∠ADC=∠B+∠BAD,$
$\therefore ∠BAD=∠B,$
$\therefore AD=BD=13.$
$\because BC=23,BD=13,$
$\therefore CD=BC-BD=10,$
$\therefore DE=5,$
$\therefore AE=\sqrt {AD^{2}-DE^{2}}=\sqrt {13^{2}-5^{2}}=12$.故答案为 12.
3.「2025四川达州中考改编」开启作角平分线的智慧之窗.
问题:作$∠ AOB$的平分线$OP$.
作法:
甲同学用尺规作出了角平分线；
乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；
丙同学也用尺规作出了角平分线；
工人师傅用带刻度的直角弯尺,通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上($PD=PE$且$OD=OE$),即得$OP$为$∠ AOB$的平分线.
讨论:大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑,认为判断角平分线的依据是利用三角形全等,其判定全等的方法是
对乙同学作法半信半疑,通过讨论最终确定的判定依据:①三角形全等,AAS,ASA或HL,②
对丙同学的作法陷入了沉思.
任务:
(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整.
(2)完成对丙同学作法的验证.
已知$∠ AED=∠ AOB$,$EP=EO$,求证:$OP$平分$∠ AOB$.
问题:作$∠ AOB$的平分线$OP$.
作法:
甲同学用尺规作出了角平分线；
乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；
丙同学也用尺规作出了角平分线；
工人师傅用带刻度的直角弯尺,通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上($PD=PE$且$OD=OE$),即得$OP$为$∠ AOB$的平分线.
讨论:大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑,认为判断角平分线的依据是利用三角形全等,其判定全等的方法是
SSS
.对乙同学作法半信半疑,通过讨论最终确定的判定依据:①三角形全等,AAS,ASA或HL,②
全等三角形的对应角相等
.对丙同学的作法陷入了沉思.
任务:
(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整.
(2)完成对丙同学作法的验证.
已知$∠ AED=∠ AOB$,$EP=EO$,求证:$OP$平分$∠ AOB$.
答案
3.解析 (1)SSS;全等三角形的对应角相等.
(2)证明:$\because ∠AED=∠AOB,$
$\therefore EP// OB,$
$\therefore ∠EPO=∠POB,$
$\because EP=EO,$
$\therefore ∠EPO=∠EOP,$
$\therefore ∠POB=∠EOP,$
$\therefore OP$平分$∠AOB.$
(2)证明:$\because ∠AED=∠AOB,$
$\therefore EP// OB,$
$\therefore ∠EPO=∠POB,$
$\because EP=EO,$
$\therefore ∠EPO=∠EOP,$
$\therefore ∠POB=∠EOP,$
$\therefore OP$平分$∠AOB.$
4.「2025江苏盐城中考」七巧板具有深厚的文化底蕴,由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成,小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示,且过点C作直线$AB// DE$,若$∠1=20°$,则$∠2$的度数是（
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
B
）A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
4.B 如图,$\because △DEF$和$△DCH$都是等腰直角三角形,
$∠F=∠DHC=90^{\circ },$
$\therefore DF=EF,DH=CH,$
$\therefore ∠FDE=∠E=∠HCD=∠HDC=45^{\circ },$
$\because AB// DE,$
$\therefore ∠CDE=∠ACD$,即$∠EDF+∠2=∠HCD+∠1,$
$\therefore ∠2=∠1=20^{\circ }.$
5.「2025江苏扬州中考」清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数：
11,60,61
.答案
5.答案 11,60,61
解析 通过观察可知,第⑤组勾股数的第1个数为11,后面两个数为两个连续的整数,设第2个数为x,则第3个数为x+1,
由勾股定理得$11^{2}+x^{2}=(x+1)^{2}$,解得$x=60$,
$\therefore x+1=61,$
$\therefore$ 第⑤组勾股数为 11,60,61.
解析 通过观察可知,第⑤组勾股数的第1个数为11,后面两个数为两个连续的整数,设第2个数为x,则第3个数为x+1,
由勾股定理得$11^{2}+x^{2}=(x+1)^{2}$,解得$x=60$,
$\therefore x+1=61,$
$\therefore$ 第⑤组勾股数为 11,60,61.
