登录
知识点 多项式与多项式相乘
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$乘另一个多项式的$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$，再把所得的积$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$。
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$乘另一个多项式的$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$，再把所得的积$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$。
答案
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
解析
【分析】
本题是对多项式乘多项式基本运算法则的识记考查，解题时直接回忆对应法则内容即可作答。多项式乘多项式的运算逻辑来源于乘法分配律，运算时需要确保一个多项式的每一项都和另一个多项式的每一项分别相乘，不能出现漏乘的情况，最后再把得到的所有积相加即可。
【解析】
根据多项式与多项式相乘的运算法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，对应填入题干空缺处即可。
【答案】
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
【知识点】
多项式乘多项式法则
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重考查对多项式乘多项式运算法则的记忆掌握，是整式乘法运算的基础内容，熟练掌握该法则是开展后续复杂整式运算的前提。
【难度系数】
0.9
本题是对多项式乘多项式基本运算法则的识记考查，解题时直接回忆对应法则内容即可作答。多项式乘多项式的运算逻辑来源于乘法分配律，运算时需要确保一个多项式的每一项都和另一个多项式的每一项分别相乘，不能出现漏乘的情况，最后再把得到的所有积相加即可。
【解析】
根据多项式与多项式相乘的运算法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，对应填入题干空缺处即可。
【答案】
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
【知识点】
多项式乘多项式法则
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重考查对多项式乘多项式运算法则的记忆掌握，是整式乘法运算的基础内容，熟练掌握该法则是开展后续复杂整式运算的前提。
【难度系数】
0.9
例1 若$M=(x-3)(x-4)$，$N=(x-1)(x-6)$，则$M$
解析 $M=(x-3)(x-4)=x^2 -4x -3x +12=x^2 -7x +12$。$N=(x-1)(x-6)=x^2 -6x -x +6=x^2 -7x +6$。所以$M-N=(x^2 -7x +12)-(x^2 -7x +6)=x^2 -7x +12 -x^2 +7x -6=6＞0$。所以$M＞N$。
答案 ＞
＞
$N$（填“＞”“＜”或“=”）。解析 $M=(x-3)(x-4)=x^2 -4x -3x +12=x^2 -7x +12$。$N=(x-1)(x-6)=x^2 -6x -x +6=x^2 -7x +6$。所以$M-N=(x^2 -7x +12)-(x^2 -7x +6)=x^2 -7x +12 -x^2 +7x -6=6＞0$。所以$M＞N$。
答案 ＞
答案
＞
解析
【分析】
比较两个代数式的大小通常采用作差法：若两式的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则减数更大；若差等于0，则两式相等。本题先利用多项式乘多项式的法则分别展开M、N，再计算M-N的结果，判断结果的正负就能得出M和N的大小关系。
【解析】
1. 展开M：根据多项式乘多项式法则，
$M=(x-3)(x-4)=x^2 -4x -3x +12=x^2 -7x +12$；
2. 展开N：同理，
$N=(x-1)(x-6)=x^2 -6x -x +6=x^2 -7x +6$；
3. 计算M-N：
$M-N=(x^2 -7x +12)-(x^2 -7x +6)$
去括号得：$x^2 -7x +12 -x^2 +7x -6$
合并同类项得：$M-N=6$；
4. 判断大小：因为$6＞0$，即$M-N＞0$，所以$M＞N$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 多项式乘多项式运算
2. 作差法比较大小
3. 整式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是掌握作差法比较代数式大小的思路，运算时注意多项式乘法展开不要漏乘项，去括号时注意符号变化，本题作差后含x的项全部抵消，直接通过常数即可判断大小，运算难度较低。
【难度系数】
0.8
比较两个代数式的大小通常采用作差法：若两式的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则减数更大；若差等于0，则两式相等。本题先利用多项式乘多项式的法则分别展开M、N，再计算M-N的结果，判断结果的正负就能得出M和N的大小关系。
【解析】
1. 展开M：根据多项式乘多项式法则，
$M=(x-3)(x-4)=x^2 -4x -3x +12=x^2 -7x +12$；
2. 展开N：同理，
$N=(x-1)(x-6)=x^2 -6x -x +6=x^2 -7x +6$；
3. 计算M-N：
$M-N=(x^2 -7x +12)-(x^2 -7x +6)$
去括号得：$x^2 -7x +12 -x^2 +7x -6$
合并同类项得：$M-N=6$；
4. 判断大小：因为$6＞0$，即$M-N＞0$，所以$M＞N$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 多项式乘多项式运算
2. 作差法比较大小
3. 整式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是掌握作差法比较代数式大小的思路，运算时注意多项式乘法展开不要漏乘项，去括号时注意符号变化，本题作差后含x的项全部抵消，直接通过常数即可判断大小，运算难度较低。
【难度系数】
0.8
例2 如图，观察两个多项式相乘的运算过程，若$(x+a)·(x+b)=x^2 -9x +14$，则整数$a$，$b$的值可能是
解析 根据题意得$a+b=-9$，$ab=14$。
解得$a=-2$，$b=-7$或$a=-7$，$b=-2$。
答案 $a=-2$，$b=-7$或$a=-7$，$b=-2$
特别提醒
运用法则时应注意以下两点：
①在相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
②多项式与多项式相乘，得到的结果仍为多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积。
解题要点
作差法比较大小：
①若$a-b＞0$，则$a＞b$；
②若$a-b=0$，则$a=b$；
③若$a-b＜0$，则$a＜b$。
解题要点
本题考查了多项式与多项式相乘的运算法则，尝试发现规律：$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$。
$a=-2$，$b=-7$或$a=-7$，$b=-2$
。解析 根据题意得$a+b=-9$，$ab=14$。
解得$a=-2$，$b=-7$或$a=-7$，$b=-2$。
答案 $a=-2$，$b=-7$或$a=-7$，$b=-2$
特别提醒
运用法则时应注意以下两点：
①在相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
②多项式与多项式相乘，得到的结果仍为多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积。
解题要点
作差法比较大小：
①若$a-b＞0$，则$a＞b$；
②若$a-b=0$，则$a=b$；
③若$a-b＜0$，则$a＜b$。
解题要点
本题考查了多项式与多项式相乘的运算法则，尝试发现规律：$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$。
答案
$a=-2$，$b=-7$或$a=-7$，$b=-2$
解析
【分析】
首先结合给出的运算示例总结$(x+a)(x+b)$的展开规律：展开后二次项系数为1，一次项系数是$a$与$b$的和，常数项是$a$与$b$的乘积。解题时将题目给出的展开式和规律式做对应，得到关于$a$、$b$的两个关系式：两数之和为$-9$，两数之积为$14$，再寻找满足这两个条件的整数解即可，注意$a$和$b$的取值可以交换顺序，不要漏解。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算规律可得：
$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
已知$(x+a)(x+b)=x^2-9x+14$，根据等式两边对应项系数相等，可列关系式：
$\begin{cases}a+b=-9\\ab=14\end{cases}$
因为$a$、$b$为整数，将14分解为两个整数的乘积，验证是否满足和为$-9$：
$14=(-2)×(-7)$，且$(-2)+(-7)=-9$，符合条件，因此可得两组解：$a=-2,b=-7$或$a=-7,b=-2$。
【答案】
$a=-2$，$b=-7$或$a=-7$，$b=-2$
【知识点】
1. 多项式乘多项式法则
2. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题是多项式乘法的典型基础题，核心考查对$(x+p)(x+q)$型多项式展开规律的掌握，解题的关键是准确对应展开式各项系数与原式常数的关系，求解整数解时要注意两种互换的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先结合给出的运算示例总结$(x+a)(x+b)$的展开规律：展开后二次项系数为1，一次项系数是$a$与$b$的和，常数项是$a$与$b$的乘积。解题时将题目给出的展开式和规律式做对应，得到关于$a$、$b$的两个关系式：两数之和为$-9$，两数之积为$14$，再寻找满足这两个条件的整数解即可，注意$a$和$b$的取值可以交换顺序，不要漏解。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算规律可得：
$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
已知$(x+a)(x+b)=x^2-9x+14$，根据等式两边对应项系数相等，可列关系式：
$\begin{cases}a+b=-9\\ab=14\end{cases}$
因为$a$、$b$为整数，将14分解为两个整数的乘积，验证是否满足和为$-9$：
$14=(-2)×(-7)$，且$(-2)+(-7)=-9$，符合条件，因此可得两组解：$a=-2,b=-7$或$a=-7,b=-2$。
【答案】
$a=-2$，$b=-7$或$a=-7$，$b=-2$
【知识点】
1. 多项式乘多项式法则
2. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题是多项式乘法的典型基础题，核心考查对$(x+p)(x+q)$型多项式展开规律的掌握，解题的关键是准确对应展开式各项系数与原式常数的关系，求解整数解时要注意两种互换的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
