知识点 设计学校田径运动会比赛运动项目场地的平面图
设计学校田径运动会比赛运动项目场地的平面图，需准备三角尺、直尺、量角器、圆规等作图工具.
例 从内侧起编号为1，2，3，4的400 m跑道如图所示，每个跑道由两个直段和两个半圆形的弯道组成，每个跑道宽1 m. 若在一次200 m比赛中（每个跑道都由一个半圆形弯道和部分直段组成），要使得每个运动员到达同一终点线，则4号跑道的起跑点应比2号跑道的起跑点前移多少米？（每个跑道按内侧边线的总长度计算路程，结果保留π）

解 设该部分直段的长为a m，半圆形最内侧弯道的半径为r m，则同一位置起跑时，2号跑道长为$[a+π(r+1)]$ m，4号跑道长为$[a+π(r+3)]$ m，此时4号跑道比2号跑道长$a+π(r+3)-[a+π(r+1)]=2π$（m），所以4号跑道的起跑点应比2号跑道的起跑点前移$2π$ m.
解题要点
1. 明确比赛赛道构成：200 m比赛的跑道长度只包含1个半圆形弯道＋部分直道，直道部分长度对起跑线无影响，只需计算弯道长度差.
2. 确定弯道半径：设最内侧弯道半径为r，跑道宽1 m，则2号跑道弯道半径为$r+1$，4号跑道弯道半径为$r+3$.

4号跑道的起跑点应比2号跑道的起跑点前移2π m

【分析】
解题时首先明确200m比赛的赛道构成：包含1个半圆形弯道和一段直道，其中不同跑道的直道长度完全相等，因此起跑点的前移距离只和弯道的长度差有关。接下来确定不同跑道的弯道半径：设最内侧1号跑道的弯道半径为r，已知每条跑道宽1m，因此向外每多1条跑道，弯道半径增加1m，可得2号跑道弯道半径为r+1，4号跑道弯道半径为r+3。最后分别计算2号、4号跑道的200m赛程总长度，作差消去相同的直道部分，即可得到需要前移的距离。
【解析】
设200m比赛的直段长度为$ a \ \mathrm{m} $，最内侧1号跑道的半圆形弯道半径为$ r \ \mathrm{m} $。
1. 计算2号跑道的200m赛程长度：
2号跑道的弯道半径为$ r+1 \ \mathrm{m} $，半圆形弯道的长度为$ π(r+1) \ \mathrm{m} $，因此总赛程长度为$ a + π(r+1) \ \mathrm{m} $。
2. 计算4号跑道的200m赛程长度：
4号跑道的弯道半径为$ r+1×3 = r+3 \ \mathrm{m} $，半圆形弯道的长度为$ π(r+3) \ \mathrm{m} $，因此总赛程长度为$ a + π(r+3) \ \mathrm{m} $。
3. 计算两个跑道的长度差：
$\begin{aligned}&a + π(r+3) - [a + π(r+1)]\\=&a + π r + 3π - a - π r - π\\=&2π \ (\mathrm{m})\end{aligned}$
要保证两个跑道的运动员跑的路程相同，4号跑道起跑点应比2号跑道前移该差值。
【答案】
$ 2π \ \mathrm{m} $
【知识点】
1. 圆的周长计算
2. 代数式化简
【点评】
这道题结合田径比赛的实际场景，考察了圆周长公式的实际应用，解题核心是抓住“直道长度无差异，仅需计算弯道差”的规律，能有效提升学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7