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1. 某校计划建一个铅球场地，场地包括投掷圈（圆形，内沿直径为2.135 m）、限制线、抵趾板和落地区.投掷圈内区域由混凝土制成，厚度为0.15 m，则建投掷圈至少需要多少立方米的混凝土？（π取3.14，结果精确到0.01）
答案
1. 解 (2.135÷2)²×3.14×0.15≈0.54(m³).
解析
【分析】
要计算修建投掷圈需要的混凝土体积，首先可将投掷圈的混凝土部分看作一个圆柱体，所求体积就是该圆柱体的体积。圆柱体积计算公式为：体积=底面积×厚度（圆柱体的高）。解题步骤如下：第一步根据投掷圈内沿直径求出底面半径；第二步利用圆的面积公式计算圆柱的底面积；第三步用底面积乘混凝土厚度得到体积，最后将结果按要求精确到0.01即可。
【解析】
解：投掷圈的混凝土部分为圆柱体，已知其内沿直径d=2.135m，混凝土厚度（即圆柱的高）h=0.15m。
先求圆柱底面半径：$ r = d÷2 = 2.135÷2 = 1.0675\ \mathrm{m} $
根据圆柱体积公式$ V = π r^2 h $，代入π=3.14计算：
$ V = 3.14×(2.135÷2)^2×0.15 \approx0.54\ \mathrm{(m}^3\mathrm{)} $
【答案】
0.54 m³
【知识点】
圆柱体积计算，圆的面积计算，近似数取值
【点评】
本题结合生活实际考查几何体体积的应用，解题关键是将实际问题转化为对应的数学模型求解，计算时要注意题干对结果精确度的要求。
【难度系数】
0.8
要计算修建投掷圈需要的混凝土体积，首先可将投掷圈的混凝土部分看作一个圆柱体，所求体积就是该圆柱体的体积。圆柱体积计算公式为：体积=底面积×厚度（圆柱体的高）。解题步骤如下：第一步根据投掷圈内沿直径求出底面半径；第二步利用圆的面积公式计算圆柱的底面积；第三步用底面积乘混凝土厚度得到体积，最后将结果按要求精确到0.01即可。
【解析】
解：投掷圈的混凝土部分为圆柱体，已知其内沿直径d=2.135m，混凝土厚度（即圆柱的高）h=0.15m。
先求圆柱底面半径：$ r = d÷2 = 2.135÷2 = 1.0675\ \mathrm{m} $
根据圆柱体积公式$ V = π r^2 h $，代入π=3.14计算：
$ V = 3.14×(2.135÷2)^2×0.15 \approx0.54\ \mathrm{(m}^3\mathrm{)} $
【答案】
0.54 m³
【知识点】
圆柱体积计算，圆的面积计算，近似数取值
【点评】
本题结合生活实际考查几何体体积的应用，解题关键是将实际问题转化为对应的数学模型求解，计算时要注意题干对结果精确度的要求。
【难度系数】
0.8
2. 跳高场地包括助跑区、起跳区和落地区。某校跳高落地区的保护垫的长为6 m，宽为4 m，高为0.7 m，有3个这样的保护垫，总体积为多少立方米？
答案
2. 解 6×4×0.7×3=50.4(m³).
解析
【分析】
解题时首先明确保护垫为长方体，求3个保护垫的总体积，可先利用长方体体积公式求出单个保护垫的体积，再乘以保护垫的数量即可得到结果。本题中所有长度单位统一为米，可直接代入公式计算，注意不要漏乘保护垫的数量3。
【解析】
根据长方体体积公式：$\mathrm{长方体体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，先计算1个保护垫的体积，再乘3得到总体积，列综合算式计算：
$6×4×0.7×3$
$=24×0.7×3$
$=16.8×3$
$=50.4(\mathrm{m}^3)$
【答案】
50.4立方米
【知识点】
长方体体积计算、乘法实际应用
【点评】
本题结合生活场景出题，主要考查长方体体积公式的运用，以及用连乘解决实际问题的能力，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确保护垫为长方体，求3个保护垫的总体积，可先利用长方体体积公式求出单个保护垫的体积，再乘以保护垫的数量即可得到结果。本题中所有长度单位统一为米，可直接代入公式计算，注意不要漏乘保护垫的数量3。
【解析】
根据长方体体积公式：$\mathrm{长方体体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，先计算1个保护垫的体积，再乘3得到总体积，列综合算式计算：
$6×4×0.7×3$
$=24×0.7×3$
$=16.8×3$
$=50.4(\mathrm{m}^3)$
【答案】
50.4立方米
【知识点】
长方体体积计算、乘法实际应用
【点评】
本题结合生活场景出题，主要考查长方体体积公式的运用，以及用连乘解决实际问题的能力，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.85
3. 某校田径运动场的平面图如图所示，操场中心（阴影部分）是长方形，长为$a$ m，两端为两个半圆，半径为$r$ m，每条跑道的宽为1.2 m，共四条跑道。已知每条跑道按内侧边线的总长度计算路程。
（1）第2条跑道比第1条跑道长
（2）第3条跑道的总长度为
（3）若$a＝50$，且要求第1条跑道的总长度为200 m，请解答下列问题.（π取3.1，结果保留整数）
①求$r$的值；
②在①的条件下，该校要在操场中心铺设50元/$m^2$的人工草，在跑道及两端的半圆铺设100元/$m^2$的环保塑胶材料，则该校共需付这两项铺设费用多少元？
（1）第2条跑道比第1条跑道长
2.4π
m；（结果保留π）（2）第3条跑道的总长度为
(2πr+4.8π+2a)
m；（用含$a$，$r$的代数式表示，结果保留π，并化简）（3）若$a＝50$，且要求第1条跑道的总长度为200 m，请解答下列问题.（π取3.1，结果保留整数）
①求$r$的值；
②在①的条件下，该校要在操场中心铺设50元/$m^2$的人工草，在跑道及两端的半圆铺设100元/$m^2$的环保塑胶材料，则该校共需付这两项铺设费用多少元？
答案
3. （1）2.4π
（2）(2πr+4.8π+2a)
（3）解 ①由题意得2a+2πr=200，所以r≈$\frac{200-2×50}{2×3.1}$≈16（m）. ②铺设人工草的费用≈50×50×2×16=80 000（元）；铺设环保塑胶材料的费用≈100×[π(16+1.2×4)²+50×1.2×4×2]≈182 118（元）. 所以该校共需付这两项铺设费用80 000+182 118=262 118（元）.
（2）(2πr+4.8π+2a)
（3）解 ①由题意得2a+2πr=200，所以r≈$\frac{200-2×50}{2×3.1}$≈16（m）. ②铺设人工草的费用≈50×50×2×16=80 000（元）；铺设环保塑胶材料的费用≈100×[π(16+1.2×4)²+50×1.2×4×2]≈182 118（元）. 所以该校共需付这两项铺设费用80 000+182 118=262 118（元）.
解析
【分析】
解题核心是明确跑道长度由直道和弯道两部分组成：所有跑道的直道长度相等，长度差仅来自两端半圆合成的整圆的周长，计算时分开分析直道、弯道即可。
（1）相邻跑道的长度差就是弯道的周长差，第2条跑道内侧弯道半径比第1条大1.2m，计算两个圆的周长差即可求解；
（2）第3条跑道内侧弯道半径为$r+1.2×2$，总长度为2段直道长度加弯道整圆周长，代入化简即可；
（3）①根据第1条跑道总长度公式列方程，代入已知数值求解$r$；②分别计算人工草（中心长方形）的铺设费用，和塑胶（两端所有半圆区域+直道跑道区域）的铺设费用，相加得到总费用。
【解析】
（1）直道长度两条跑道完全相同，长度差为弯道周长差：
第1条弯道周长为$2π r$，第2条弯道周长为$2π(r+1.2)$
差值$=2π(r+1.2)-2π r=2.4π$
（2）第3条跑道内侧弯道半径为$r+1.2×2=r+2.4$
总长度$=2$段直道长度$+$弯道周长$=2a + 2π(r+2.4)=2π r+4.8π+2a$
（3）①第1条跑道总长度为$2a+2π r=200$，代入$a=50$，$π=3.1$：
$2×50 + 2×3.1× r = 200$
$100 + 6.2r = 200$
解得$r\approx\frac{100}{6.2}\approx16\ \mathrm{m}$
②人工草铺设区域为中心长方形，面积$=a×2r=50×2×16=1600\ \mathrm{m}^2$
人工草费用：$50×1600=80000$元
塑胶铺设区域：两端半圆合成的外圆（半径为$r+1.2×4=16+4.8=20.8\ \mathrm{m}$）的面积$+$两侧直道跑道的面积
外圆面积$\approx3.1×20.8^2\approx1341.184\ \mathrm{m}^2$
直道跑道面积$=50×1.2×4×2=480\ \mathrm{m}^2$
塑胶总面积$\approx1341.184+480=1821.184\ \mathrm{m}^2$
塑胶费用：$100×1821.184\approx182118$元
总费用$=80000+182118=262118$元
【答案】
（1）$2.4π$
（2）$2π r+4.8π+2a$
（3）①$r\approx16\ \mathrm{m}$；②$262118$元
【知识点】
列代数式，圆的周长与面积，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合运动场实际场景考查几何图形周长、面积计算，以及代数式化简和方程的应用，解题关键是抓住相邻跑道长度差仅来自弯道周长差的规律，计算费用时要准确区分不同材料对应的区域范围，避免漏算、错算面积。
【难度系数】
0.7
解题核心是明确跑道长度由直道和弯道两部分组成：所有跑道的直道长度相等，长度差仅来自两端半圆合成的整圆的周长，计算时分开分析直道、弯道即可。
（1）相邻跑道的长度差就是弯道的周长差，第2条跑道内侧弯道半径比第1条大1.2m，计算两个圆的周长差即可求解；
（2）第3条跑道内侧弯道半径为$r+1.2×2$，总长度为2段直道长度加弯道整圆周长，代入化简即可；
（3）①根据第1条跑道总长度公式列方程，代入已知数值求解$r$；②分别计算人工草（中心长方形）的铺设费用，和塑胶（两端所有半圆区域+直道跑道区域）的铺设费用，相加得到总费用。
【解析】
（1）直道长度两条跑道完全相同，长度差为弯道周长差：
第1条弯道周长为$2π r$，第2条弯道周长为$2π(r+1.2)$
差值$=2π(r+1.2)-2π r=2.4π$
（2）第3条跑道内侧弯道半径为$r+1.2×2=r+2.4$
总长度$=2$段直道长度$+$弯道周长$=2a + 2π(r+2.4)=2π r+4.8π+2a$
（3）①第1条跑道总长度为$2a+2π r=200$，代入$a=50$，$π=3.1$：
$2×50 + 2×3.1× r = 200$
$100 + 6.2r = 200$
解得$r\approx\frac{100}{6.2}\approx16\ \mathrm{m}$
②人工草铺设区域为中心长方形，面积$=a×2r=50×2×16=1600\ \mathrm{m}^2$
人工草费用：$50×1600=80000$元
塑胶铺设区域：两端半圆合成的外圆（半径为$r+1.2×4=16+4.8=20.8\ \mathrm{m}$）的面积$+$两侧直道跑道的面积
外圆面积$\approx3.1×20.8^2\approx1341.184\ \mathrm{m}^2$
直道跑道面积$=50×1.2×4×2=480\ \mathrm{m}^2$
塑胶总面积$\approx1341.184+480=1821.184\ \mathrm{m}^2$
塑胶费用：$100×1821.184\approx182118$元
总费用$=80000+182118=262118$元
【答案】
（1）$2.4π$
（2）$2π r+4.8π+2a$
（3）①$r\approx16\ \mathrm{m}$；②$262118$元
【知识点】
列代数式，圆的周长与面积，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合运动场实际场景考查几何图形周长、面积计算，以及代数式化简和方程的应用，解题关键是抓住相邻跑道长度差仅来自弯道周长差的规律，计算费用时要准确区分不同材料对应的区域范围，避免漏算、错算面积。
【难度系数】
0.7
