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1. 若代数式$\sqrt{2-3x}$有意义，则$x$的（
A.最大值是$\dfrac{2}{3}$
B.最小值是$\dfrac{2}{3}$
C.最大值是$\dfrac{3}{2}$
D.最小值是$\dfrac{3}{2}$
A
）.A.最大值是$\dfrac{2}{3}$
B.最小值是$\dfrac{2}{3}$
C.最大值是$\dfrac{3}{2}$
D.最小值是$\dfrac{3}{2}$
答案
1.A
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须为非负数。我们先根据这个条件列出关于x的不等式，解出x的取值范围后，再结合取值范围判断x的最值情况即可。
【解析】
解：
∵代数式$\sqrt{2-3x}$是二次根式，要有意义
∴被开方数满足：$2-3x≥0$
移项可得：$-3x≥-2$
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，解得：
$x≤\frac{2}{3}$
由此可知x的取值最大只能是$\frac{2}{3}$，不存在最小值，因此x的最大值是$\frac{2}{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记二次根式的被开方数为非负数，解一元一次不等式时注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须为非负数。我们先根据这个条件列出关于x的不等式，解出x的取值范围后，再结合取值范围判断x的最值情况即可。
【解析】
解：
∵代数式$\sqrt{2-3x}$是二次根式，要有意义
∴被开方数满足：$2-3x≥0$
移项可得：$-3x≥-2$
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，解得：
$x≤\frac{2}{3}$
由此可知x的取值最大只能是$\frac{2}{3}$，不存在最小值，因此x的最大值是$\frac{2}{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记二次根式的被开方数为非负数，解一元一次不等式时注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.8
2. 如果$\sqrt{x} · \sqrt{x-3} = \sqrt{x(x-3)}$，那么（
A.x为任意实数
B.$x≥0$
C.$x≥3$
D.$0≤ x≤3$
C
）.A.x为任意实数
B.$x≥0$
C.$x≥3$
D.$0≤ x≤3$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$的成立条件：只有当$a≥0$且$b≥0$时，等式才成立。因此我们只需要让等式左侧两个二次根式的被开方数都满足非负要求，列出对应的不等式组求解，就能得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，且二次根式乘法法则成立的前提是参与运算的每个二次根式都有意义。
要使$\sqrt{x} · \sqrt{x-3} = \sqrt{x(x-3)}$成立，需满足：
$\begin{cases}x ≥ 0 \\x - 3 ≥ 0\end{cases}$
解不等式$x-3≥0$，得$x≥3$，
两个不等式的公共解集为$x≥3$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式乘法法则
【点评】
本题考查二次根式乘法法则的适用前提，易错点是仅考虑等式右侧被开方数非负，忽略左侧每个二次根式都要有意义，从而错选其他选项，牢记每个二次根式的被开方数都需大于等于0是解题关键。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$的成立条件：只有当$a≥0$且$b≥0$时，等式才成立。因此我们只需要让等式左侧两个二次根式的被开方数都满足非负要求，列出对应的不等式组求解，就能得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，且二次根式乘法法则成立的前提是参与运算的每个二次根式都有意义。
要使$\sqrt{x} · \sqrt{x-3} = \sqrt{x(x-3)}$成立，需满足：
$\begin{cases}x ≥ 0 \\x - 3 ≥ 0\end{cases}$
解不等式$x-3≥0$，得$x≥3$，
两个不等式的公共解集为$x≥3$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式乘法法则
【点评】
本题考查二次根式乘法法则的适用前提，易错点是仅考虑等式右侧被开方数非负，忽略左侧每个二次根式都要有意义，从而错选其他选项，牢记每个二次根式的被开方数都需大于等于0是解题关键。
【难度系数】
0.7
3. 下列运算正确的是(
A.$2\sqrt{7} × 3\sqrt{7} = 6\sqrt{7}$
B.$\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9}} = \sqrt{\frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = 3$
D.$\sqrt{15} ÷ \sqrt{5} × \sqrt{3} = \sqrt{15} ÷ \sqrt{15} = 1$
B
).A.$2\sqrt{7} × 3\sqrt{7} = 6\sqrt{7}$
B.$\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9}} = \sqrt{\frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = 3$
D.$\sqrt{15} ÷ \sqrt{5} × \sqrt{3} = \sqrt{15} ÷ \sqrt{15} = 1$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算，解题时需结合二次根式的乘除运算法则、分母有理化方法、运算顺序，逐个验证选项的运算是否正确，最终选出正确答案。首先回忆运算规则：1. 二次根式乘法：$a\sqrt{m}×b\sqrt{n}=ab\sqrt{mn}$（$m≥0,n≥0$）；2. 商的算术平方根：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$），分母有理化时分子分母同乘分母的有理化因式去掉根号；3. 二次根式乘除是同级运算，按从左到右的顺序计算。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
选项A：$2\sqrt{7} × 3\sqrt{7}=(2×3)×(\sqrt{7}×\sqrt{7})=6×7=42≠6\sqrt{7}$，运算错误。
选项B：根据商的算术平方根性质，$\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$，再进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$，得$\frac{2×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，运算正确。
选项C：$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}≠3$，运算错误。
选项D：乘除为同级运算，需从左到右依次计算：$\sqrt{15} ÷ \sqrt{5} × \sqrt{3}=\sqrt{15÷5}×\sqrt{3}=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3≠1$，运算顺序错误导致结果错误。
综上，运算正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘除运算，分母有理化，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，易错点是混淆二次根式乘法中系数和根式的运算规则、弄错同级运算的顺序，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的相关运算，解题时需结合二次根式的乘除运算法则、分母有理化方法、运算顺序，逐个验证选项的运算是否正确，最终选出正确答案。首先回忆运算规则：1. 二次根式乘法：$a\sqrt{m}×b\sqrt{n}=ab\sqrt{mn}$（$m≥0,n≥0$）；2. 商的算术平方根：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$），分母有理化时分子分母同乘分母的有理化因式去掉根号；3. 二次根式乘除是同级运算，按从左到右的顺序计算。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
选项A：$2\sqrt{7} × 3\sqrt{7}=(2×3)×(\sqrt{7}×\sqrt{7})=6×7=42≠6\sqrt{7}$，运算错误。
选项B：根据商的算术平方根性质，$\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$，再进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$，得$\frac{2×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，运算正确。
选项C：$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}≠3$，运算错误。
选项D：乘除为同级运算，需从左到右依次计算：$\sqrt{15} ÷ \sqrt{5} × \sqrt{3}=\sqrt{15÷5}×\sqrt{3}=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3≠1$，运算顺序错误导致结果错误。
综上，运算正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘除运算，分母有理化，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，易错点是混淆二次根式乘法中系数和根式的运算规则、弄错同级运算的顺序，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 在$\sqrt{6}$，$\sqrt{x^2+1}$，$\sqrt{25}$，$\sqrt{\dfrac{1}{x}}$，$\sqrt{18}$，$\sqrt{x^3}$中，最简二次根式有
2
个.答案
4.2
解析
【分析】
解题前首先要明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数的因数是整数、因式是整式（即被开方数不含分母）；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题思路为：将给出的6个二次根式逐个对照上述两个条件进行判断，统计满足条件的最简二次根式的个数即可。
【解析】
首先明确最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断如下：
1. $\sqrt{6}$：被开方数6是整数，且没有能开得尽方的因数，符合条件，是最简二次根式；
2. $\sqrt{x^2+1}$：被开方数$x^2+1$是整式，且无法分解出能开得尽方的因式，符合条件，是最简二次根式；
3. $\sqrt{25}$：被开方数$25=5^2$，含有能开得尽方的因数，化简后为5，不符合条件；
4. $\sqrt{\dfrac{1}{x}}$：被开方数含有分母，化简后为$\dfrac{\sqrt{x}}{x}$，不符合条件；
5. $\sqrt{18}$：被开方数$18=3^2×2$，含有能开得尽方的因数9，化简后为$3\sqrt{2}$，不符合条件；
6. $\sqrt{x^3}$：被开方数$x^3=x^2· x$，含有能开得尽方的因式$x^2$，化简后为$x\sqrt{x}$，不符合条件。
综上，最简二次根式共有2个。
【答案】
2
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题核心考查对最简二次根式概念的理解，解题时需严格对照判定条件逐一排查，注意不要忽略被开方数含分母、或隐含可开方因数/因式的情况。
【难度系数】
0.7
解题前首先要明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数的因数是整数、因式是整式（即被开方数不含分母）；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题思路为：将给出的6个二次根式逐个对照上述两个条件进行判断，统计满足条件的最简二次根式的个数即可。
【解析】
首先明确最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断如下：
1. $\sqrt{6}$：被开方数6是整数，且没有能开得尽方的因数，符合条件，是最简二次根式；
2. $\sqrt{x^2+1}$：被开方数$x^2+1$是整式，且无法分解出能开得尽方的因式，符合条件，是最简二次根式；
3. $\sqrt{25}$：被开方数$25=5^2$，含有能开得尽方的因数，化简后为5，不符合条件；
4. $\sqrt{\dfrac{1}{x}}$：被开方数含有分母，化简后为$\dfrac{\sqrt{x}}{x}$，不符合条件；
5. $\sqrt{18}$：被开方数$18=3^2×2$，含有能开得尽方的因数9，化简后为$3\sqrt{2}$，不符合条件；
6. $\sqrt{x^3}$：被开方数$x^3=x^2· x$，含有能开得尽方的因式$x^2$，化简后为$x\sqrt{x}$，不符合条件。
综上，最简二次根式共有2个。
【答案】
2
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题核心考查对最简二次根式概念的理解，解题时需严格对照判定条件逐一排查，注意不要忽略被开方数含分母、或隐含可开方因数/因式的情况。
【难度系数】
0.7
5. 使$\sqrt{4-x^2}$有意义的整数x有
5
个.答案
5.5
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，因此第一步先根据这个条件列出关于x的不等式，第二步解不等式得到x的取值范围，第三步在取值范围内找出所有整数，最后统计整数的个数即可得到答案。
【解析】
要使$\sqrt{4-x^2}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$4 - x^2 ≥ 0$
移项得：$x^2 ≤ 4$
解得：$-2 ≤ x ≤ 2$
在此范围内的整数$x$有：$-2、-1、0、1、2$，共5个。
【答案】
5
【知识点】
二次根式有意义的条件；不等式的解法；整数的概念
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式的取值要求，解题时需要注意求解不等式时不要遗漏负整数和0，避免漏数导致结果错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，因此第一步先根据这个条件列出关于x的不等式，第二步解不等式得到x的取值范围，第三步在取值范围内找出所有整数，最后统计整数的个数即可得到答案。
【解析】
要使$\sqrt{4-x^2}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$4 - x^2 ≥ 0$
移项得：$x^2 ≤ 4$
解得：$-2 ≤ x ≤ 2$
在此范围内的整数$x$有：$-2、-1、0、1、2$，共5个。
【答案】
5
【知识点】
二次根式有意义的条件；不等式的解法；整数的概念
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式的取值要求，解题时需要注意求解不等式时不要遗漏负整数和0，避免漏数导致结果错误。
【难度系数】
0.8
6. 计算：$(\sqrt{5})^2 =$
5
；$(-\sqrt{3})^2 =$ 3
；$\sqrt{(-11)^2} =$ 11
答案
6.5；3；11
解析
【分析】
解答本题需要先回忆二次根式的两个核心运算性质：1. 对于非负数a，有$(\sqrt{a})^2 = a$；2. 对于任意实数a，有$\sqrt{a^2} = |a|$。解题时逐题对应适用的性质计算即可：第一题和第二题可直接用第一个性质计算，第二题先利用平方的非负性消去负号再计算；第三题用第二个性质，先求底数的绝对值即可得到结果。
【解析】
1. 计算$(\sqrt{5})^2$：根据性质$(\sqrt{a})^2 = a \ (a≥0)$，此处a=5满足非负要求，因此$(\sqrt{5})^2 = 5$；
2. 计算$(-\sqrt{3})^2$：根据平方的符号性质，负数的平方为正数，可得$(-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2$，再代入上述二次根式平方的性质，得$(\sqrt{3})^2=3$；
3. 计算$\sqrt{(-11)^2}$：根据性质$\sqrt{a^2}=|a|$，此处a=-11，因此$\sqrt{(-11)^2}=|-11|=11$。
【答案】
5；3；11
【知识点】
二次根式的性质，乘方运算，绝对值的性质
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式两个核心运算性质的理解与区分，计算时要注意两个性质的适用条件，避免混淆运算顺序导致符号错误。
【难度系数】
0.9
解答本题需要先回忆二次根式的两个核心运算性质：1. 对于非负数a，有$(\sqrt{a})^2 = a$；2. 对于任意实数a，有$\sqrt{a^2} = |a|$。解题时逐题对应适用的性质计算即可：第一题和第二题可直接用第一个性质计算，第二题先利用平方的非负性消去负号再计算；第三题用第二个性质，先求底数的绝对值即可得到结果。
【解析】
1. 计算$(\sqrt{5})^2$：根据性质$(\sqrt{a})^2 = a \ (a≥0)$，此处a=5满足非负要求，因此$(\sqrt{5})^2 = 5$；
2. 计算$(-\sqrt{3})^2$：根据平方的符号性质，负数的平方为正数，可得$(-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2$，再代入上述二次根式平方的性质，得$(\sqrt{3})^2=3$；
3. 计算$\sqrt{(-11)^2}$：根据性质$\sqrt{a^2}=|a|$，此处a=-11，因此$\sqrt{(-11)^2}=|-11|=11$。
【答案】
5；3；11
【知识点】
二次根式的性质，乘方运算，绝对值的性质
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式两个核心运算性质的理解与区分，计算时要注意两个性质的适用条件，避免混淆运算顺序导致符号错误。
【难度系数】
0.9
7. 计算：$\sqrt{(-2)^2 × 49} =$
14
；$\sqrt{13^2 -5^2} =$ 12
。答案
7.14；12
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简计算，解题思路如下：1. 对于第一个式子，可利用二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$拆分计算，也可先计算根号内的乘积再开方，注意算术平方根结果为非负数；2. 对于第二个式子，可先计算根号内平方差的结果再开方，也可先利用平方差公式对根号内的式子因式分解简化运算后再开方。
【解析】
1. 计算$\sqrt{(-2)^2 × 49}$：
根据二次根式的乘法性质拆分计算：
$\sqrt{(-2)^2 × 49}=\sqrt{(-2)^2}×\sqrt{49}=|-2|×7=2×7=14$
2. 计算$\sqrt{13^2 -5^2}$：
先计算根号内的运算再开方：
$13^2=169$，$5^2=25$，则$13^2-5^2=169-25=144$，因此$\sqrt{144}=12$
（也可利用平方差公式简化：$\sqrt{13^2 -5^2}=\sqrt{(13-5)(13+5)}=\sqrt{8×18}=\sqrt{144}=12$）
【答案】
14；12
【知识点】
二次根式化简、算术平方根、平方差公式
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，解题时需遵循先算根号内、再开方的运算顺序，灵活运用运算性质和乘法公式可提高计算效率，计算时注意算术平方根的结果为非负数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的化简计算，解题思路如下：1. 对于第一个式子，可利用二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$拆分计算，也可先计算根号内的乘积再开方，注意算术平方根结果为非负数；2. 对于第二个式子，可先计算根号内平方差的结果再开方，也可先利用平方差公式对根号内的式子因式分解简化运算后再开方。
【解析】
1. 计算$\sqrt{(-2)^2 × 49}$：
根据二次根式的乘法性质拆分计算：
$\sqrt{(-2)^2 × 49}=\sqrt{(-2)^2}×\sqrt{49}=|-2|×7=2×7=14$
2. 计算$\sqrt{13^2 -5^2}$：
先计算根号内的运算再开方：
$13^2=169$，$5^2=25$，则$13^2-5^2=169-25=144$，因此$\sqrt{144}=12$
（也可利用平方差公式简化：$\sqrt{13^2 -5^2}=\sqrt{(13-5)(13+5)}=\sqrt{8×18}=\sqrt{144}=12$）
【答案】
14；12
【知识点】
二次根式化简、算术平方根、平方差公式
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，解题时需遵循先算根号内、再开方的运算顺序，灵活运用运算性质和乘法公式可提高计算效率，计算时注意算术平方根的结果为非负数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
8. 化简：$\sqrt{8} =$
$2\sqrt{2}$
；$-\sqrt{\dfrac{1}{6}} =$ $-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
；$\sqrt{3\dfrac{1}{4}} =$ $\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
答案
8.$2\sqrt{2}$；$-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$；$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
解析
【分析】
要完成二次根式的化简，首先要明确最简二次根式的要求：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母。解题时逐个处理：①化简$\sqrt{8}$时，先把被开方数拆成完全平方数和剩余因数的乘积，再利用二次根式的性质开方；②化简含分母的二次根式时，通过给分子分母同乘适当的数，把分母化为完全平方数，再开方去掉分母的根号；③化简被开方数是带分数的，先把带分数化为假分数，再按含分母的二次根式化简方法处理。
【解析】
1. 化简$\sqrt{8}$：
将8拆分为$4×2$，其中4是能开得尽方的因数，根据二次根式性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
2. 化简$-\sqrt{\dfrac{1}{6}}$：
给被开方数的分子、分母同乘6，将分母化为完全平方数36，根据$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a≥0,b＞0)$，可得：
$-\sqrt{\dfrac{1}{6}}=-\sqrt{\dfrac{1×6}{6×6}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{36}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
3. 化简$\sqrt{3\dfrac{1}{4}}$：
先将带分数化为假分数：$3\dfrac{1}{4}=\dfrac{13}{4}$，再按上述性质化简：
$\sqrt{3\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{13}{4}}=\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$；$-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$；$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
二次根式的性质；最简二次根式；分母有理化
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，核心是掌握最简二次根式的判定标准，解题时注意带分数要先转化为假分数再计算，避免直接拆分整数和分数部分开方的错误。
【难度系数】
0.8
要完成二次根式的化简，首先要明确最简二次根式的要求：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母。解题时逐个处理：①化简$\sqrt{8}$时，先把被开方数拆成完全平方数和剩余因数的乘积，再利用二次根式的性质开方；②化简含分母的二次根式时，通过给分子分母同乘适当的数，把分母化为完全平方数，再开方去掉分母的根号；③化简被开方数是带分数的，先把带分数化为假分数，再按含分母的二次根式化简方法处理。
【解析】
1. 化简$\sqrt{8}$：
将8拆分为$4×2$，其中4是能开得尽方的因数，根据二次根式性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
2. 化简$-\sqrt{\dfrac{1}{6}}$：
给被开方数的分子、分母同乘6，将分母化为完全平方数36，根据$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a≥0,b＞0)$，可得：
$-\sqrt{\dfrac{1}{6}}=-\sqrt{\dfrac{1×6}{6×6}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{36}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
3. 化简$\sqrt{3\dfrac{1}{4}}$：
先将带分数化为假分数：$3\dfrac{1}{4}=\dfrac{13}{4}$，再按上述性质化简：
$\sqrt{3\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{13}{4}}=\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$；$-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$；$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
二次根式的性质；最简二次根式；分母有理化
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，核心是掌握最简二次根式的判定标准，解题时注意带分数要先转化为假分数再计算，避免直接拆分整数和分数部分开方的错误。
【难度系数】
0.8
9. 某三角形的面积是$2\sqrt{6}$，其中一边长为$\sqrt{12}$，则这条边上的高是
$2\sqrt{2}$
。答案
9.$2\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时先回忆三角形的面积计算公式：三角形面积=1/2×底边长×这条边上的高。已知三角形面积和一条边长（可作为底），要求这条边上的高，可先对面积公式变形得到：高=2×面积÷底边长，再代入已知数值，按照二次根式的运算规则化简计算即可得到结果。
【解析】
设这条边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底边长，$h$为这条底边上的高），对公式变形得$h=\frac{2S}{a}$。
将$S=2\sqrt{6}$，$a=\sqrt{12}$代入得：
$\begin{aligned}h&=\frac{2×2\sqrt{6}}{\sqrt{12}}\\&=\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{12}}\\&=4×\sqrt{\frac{6}{12}}\\&=4×\sqrt{\frac{1}{2}}\\&=4×\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=2\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
三角形面积计算，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，既考查三角形面积公式的灵活应用，也考查二次根式的除法运算规则，熟练掌握相关公式和运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形的面积计算公式：三角形面积=1/2×底边长×这条边上的高。已知三角形面积和一条边长（可作为底），要求这条边上的高，可先对面积公式变形得到：高=2×面积÷底边长，再代入已知数值，按照二次根式的运算规则化简计算即可得到结果。
【解析】
设这条边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底边长，$h$为这条底边上的高），对公式变形得$h=\frac{2S}{a}$。
将$S=2\sqrt{6}$，$a=\sqrt{12}$代入得：
$\begin{aligned}h&=\frac{2×2\sqrt{6}}{\sqrt{12}}\\&=\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{12}}\\&=4×\sqrt{\frac{6}{12}}\\&=4×\sqrt{\frac{1}{2}}\\&=4×\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=2\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
三角形面积计算，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，既考查三角形面积公式的灵活应用，也考查二次根式的除法运算规则，熟练掌握相关公式和运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10. 计算：$3\sqrt{2} × 2\sqrt{8} = \_\_\_\_\_\_$；
$(-2\sqrt{6}) × (-\sqrt{12}) = \_\_\_\_\_\_$。
$(-2\sqrt{6}) × (-\sqrt{12}) = \_\_\_\_\_\_$。
答案
10.24；$12\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题思路遵循二次根式乘法的运算规则：①先确定运算结果的符号，遵循有理数乘法符号法则，同号得正、异号得负；②将系数与系数相乘，二次根式部分与二次根式部分分别相乘；③最后将得到的二次根式化简为最简二次根式，再与系数相乘得到最终结果。第一个算式直接按规则计算即可，第二个算式先确定符号为正，再按相同规则计算即可。
【解析】
1. 计算$3\sqrt{2} × 2\sqrt{8}$：
根据二次根式乘法法则，系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘：
$3\sqrt{2} × 2\sqrt{8} = (3×2) × (\sqrt{2}×\sqrt{8})$
计算得：$6 × \sqrt{2×8} = 6×\sqrt{16} = 6×4 = 24$
2. 计算$(-2\sqrt{6}) × (-\sqrt{12})$：
先确定符号，两个负数相乘结果为正，再按乘法法则计算：
$(-2\sqrt{6}) × (-\sqrt{12}) = 2\sqrt{6} × \sqrt{12} = 2×\sqrt{6×12}$
化简二次根式：$2×\sqrt{72} = 2×\sqrt{36×2} = 2×6\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$
【答案】
24；$12\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法运算、最简二次根式化简、有理数乘法符号法则
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题时要注意运算顺序：先定符号，再分别计算系数乘积和被开方数乘积，最后将结果化为最简二次根式，避免因符号错误或者化简不完整失分。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的乘法运算，解题思路遵循二次根式乘法的运算规则：①先确定运算结果的符号，遵循有理数乘法符号法则，同号得正、异号得负；②将系数与系数相乘，二次根式部分与二次根式部分分别相乘；③最后将得到的二次根式化简为最简二次根式，再与系数相乘得到最终结果。第一个算式直接按规则计算即可，第二个算式先确定符号为正，再按相同规则计算即可。
【解析】
1. 计算$3\sqrt{2} × 2\sqrt{8}$：
根据二次根式乘法法则，系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘：
$3\sqrt{2} × 2\sqrt{8} = (3×2) × (\sqrt{2}×\sqrt{8})$
计算得：$6 × \sqrt{2×8} = 6×\sqrt{16} = 6×4 = 24$
2. 计算$(-2\sqrt{6}) × (-\sqrt{12})$：
先确定符号，两个负数相乘结果为正，再按乘法法则计算：
$(-2\sqrt{6}) × (-\sqrt{12}) = 2\sqrt{6} × \sqrt{12} = 2×\sqrt{6×12}$
化简二次根式：$2×\sqrt{72} = 2×\sqrt{36×2} = 2×6\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$
【答案】
24；$12\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法运算、最简二次根式化简、有理数乘法符号法则
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题时要注意运算顺序：先定符号，再分别计算系数乘积和被开方数乘积，最后将结果化为最简二次根式，避免因符号错误或者化简不完整失分。
【难度系数】
0.85
11. (1) 计算：$\sqrt{4^2} =$
(2) 根据(1)中计算结果，回答：$\sqrt{a^2}$一定等于$a$吗？你发现其中的规律了吗？请写一写.
4
，$\sqrt{0.8^2} =$ 0.8
，$\sqrt{(-3)^2} =$ 3
，$\sqrt{(-\dfrac{2}{3})^2} =$ $\dfrac{2}{3}$
.(2) 根据(1)中计算结果，回答：$\sqrt{a^2}$一定等于$a$吗？你发现其中的规律了吗？请写一写.
答案
11.(1)4；0.8；3；$\dfrac{2}{3}$
(2)不一定. 规律：当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a$
(2)不一定. 规律：当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a$
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1)小问依据算术平方根的定义计算：算术平方根是指一个非负数的非负平方根，因此先计算根号内平方的结果，再求其算术平方根即可；(2)小问观察(1)中底数为正、为负时的计算结果，对比结果与底数的关系，分类讨论总结出$\sqrt{a^2}$的化简规律。
【解析】
(1) 计算各算式：
① $\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4$；
② $\sqrt{0.8^2}=\sqrt{0.64}=0.8$；
③ $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$；
④ $\sqrt{(-\dfrac{2}{3})^2}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$。
(2) 观察(1)的结果：当底数为正数4、0.8时，$\sqrt{a^2}$的结果等于底数本身；当底数为负数$-3$、$-\dfrac{2}{3}$时，$\sqrt{a^2}$的结果等于底数的相反数，因此$\sqrt{a^2}$不一定等于$a$。
规律总结：当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a$。
【答案】
(1)$4$；$0.8$；$3$；$\dfrac{2}{3}$
(2)不一定. 规律：当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a$
【知识点】
算术平方根的计算；二次根式的性质
【点评】
本题通过具体计算引导学生归纳二次根式的性质，重点考察对算术平方根非负性的理解，是二次根式化简的基础题型，掌握该规律能为后续二次根式的运算打下良好基础。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：(1)小问依据算术平方根的定义计算：算术平方根是指一个非负数的非负平方根，因此先计算根号内平方的结果，再求其算术平方根即可；(2)小问观察(1)中底数为正、为负时的计算结果，对比结果与底数的关系，分类讨论总结出$\sqrt{a^2}$的化简规律。
【解析】
(1) 计算各算式：
① $\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4$；
② $\sqrt{0.8^2}=\sqrt{0.64}=0.8$；
③ $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$；
④ $\sqrt{(-\dfrac{2}{3})^2}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$。
(2) 观察(1)的结果：当底数为正数4、0.8时，$\sqrt{a^2}$的结果等于底数本身；当底数为负数$-3$、$-\dfrac{2}{3}$时，$\sqrt{a^2}$的结果等于底数的相反数，因此$\sqrt{a^2}$不一定等于$a$。
规律总结：当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a$。
【答案】
(1)$4$；$0.8$；$3$；$\dfrac{2}{3}$
(2)不一定. 规律：当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a$
【知识点】
算术平方根的计算；二次根式的性质
【点评】
本题通过具体计算引导学生归纳二次根式的性质，重点考察对算术平方根非负性的理解，是二次根式化简的基础题型，掌握该规律能为后续二次根式的运算打下良好基础。
【难度系数】
0.8
