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1 下列式子从左到右的变形,属于因式分解的是 (
A.$(x+1)(x-1)=x^2 -1$
B.$x^2 +2x -1 =x(x+2)-1$
C.$a^2b +ab^2 =ab(a+b)$
D.$a(a+b)=a^2 +ab$
C
)A.$(x+1)(x-1)=x^2 -1$
B.$x^2 +2x -1 =x(x+2)-1$
C.$a^2b +ab^2 =ab(a+b)$
D.$a(a+b)=a^2 +ab$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断式子变形是否属于因式分解，首先需明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，满足两个判断要点：①变形的对象是多项式；②变形的最终结果是几个整式的乘积形式，同时要注意因式分解和整式乘法是互逆的变形过程。解题时我们只需逐一对照上述要点，逐个分析选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这类变形叫做因式分解。
对各选项逐一分析：
A选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，排除；
B选项：变形后的结果是$x(x+2)$与$-1$的和，不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义，排除；
C选项：左边是多项式$a^2b+ab^2$，右边是整式$ab$和整式$(a+b)$的乘积，完全符合因式分解的定义，符合要求；
D选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，不属于因式分解，排除。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对因式分解定义的理解与应用，解题的关键是牢记因式分解的两个判断标准，同时注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免混淆两类变形。
【难度系数】
0.8
要判断式子变形是否属于因式分解，首先需明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，满足两个判断要点：①变形的对象是多项式；②变形的最终结果是几个整式的乘积形式，同时要注意因式分解和整式乘法是互逆的变形过程。解题时我们只需逐一对照上述要点，逐个分析选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这类变形叫做因式分解。
对各选项逐一分析：
A选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，排除；
B选项：变形后的结果是$x(x+2)$与$-1$的和，不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义，排除；
C选项：左边是多项式$a^2b+ab^2$，右边是整式$ab$和整式$(a+b)$的乘积，完全符合因式分解的定义，符合要求；
D选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，不属于因式分解，排除。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对因式分解定义的理解与应用，解题的关键是牢记因式分解的两个判断标准，同时注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免混淆两类变形。
【难度系数】
0.8
2 下列多项式能因式分解的是 （
A.$x^2 + 1$
B.$x^2 + 4y$
C.$x^2 - 2x + 4$
D.$1 - x^2$
D
）A.$x^2 + 1$
B.$x^2 + 4y$
C.$x^2 - 2x + 4$
D.$1 - x^2$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断多项式能否因式分解，首先明确因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，八年级阶段常用的因式分解方法为提公因式法、公式法（平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$、完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$）。解题时可逐个分析选项，先看是否有公因式，再看是否符合两类公式的结构特征，满足即可因式分解。
【解析】
逐个分析各选项：
A. $x^2+1$是平方和形式，无公因式，也不符合平方差、完全平方公式的结构，无法因式分解；
B. $x^2+4y$两项无公因式，且$4y$不是平方项，不符合平方差公式结构，无法因式分解；
C. $x^2-2x+4$若要符合完全平方公式，中间项应为$\pm4x$，和原式$-2x$不符，无公因式，无法因式分解；
D. $1-x^2=1^2-x^2$，符合平方差公式的结构，可分解为$(1+x)(1-x)$，可以因式分解。
综上选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查多项式可因式分解的判断，属于基础题，熟练掌握因式分解的常用方法和对应公式的结构特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断多项式能否因式分解，首先明确因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，八年级阶段常用的因式分解方法为提公因式法、公式法（平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$、完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$）。解题时可逐个分析选项，先看是否有公因式，再看是否符合两类公式的结构特征，满足即可因式分解。
【解析】
逐个分析各选项：
A. $x^2+1$是平方和形式，无公因式，也不符合平方差、完全平方公式的结构，无法因式分解；
B. $x^2+4y$两项无公因式，且$4y$不是平方项，不符合平方差公式结构，无法因式分解；
C. $x^2-2x+4$若要符合完全平方公式，中间项应为$\pm4x$，和原式$-2x$不符，无公因式，无法因式分解；
D. $1-x^2=1^2-x^2$，符合平方差公式的结构，可分解为$(1+x)(1-x)$，可以因式分解。
综上选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查多项式可因式分解的判断，属于基础题，熟练掌握因式分解的常用方法和对应公式的结构特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3 若$A(m^2 - 3n)=m^3 - 3mn$，则代数式A的值为（
A.$m$
B.$mn$
C.$mn^2$
D.$m^2n$
A
）A.$m$
B.$mn$
C.$mn^2$
D.$m^2n$
答案
3.A
解析
【分析】
要求代数式A的值，可根据“一个因数=积÷另一个因数”，将A转化为右边的多项式除以左边括号内的多项式求解。接下来观察分子的结构，可通过提公因式法对分子因式分解，再约分即可得到A的结果。
【解析】
根据题意可得：
$A=(m^3 - 3mn) ÷ (m^2 - 3n)$
对分子提取公因式$m$，得：
$m^3 - 3mn = m(m^2 - 3n)$
代入上式，且$m^2 - 3n ≠ 0$，约分可得：
$A = \frac{m(m^2 - 3n)}{m^2 - 3n} = m$
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解、整式的除法
【点评】
本题考查整式运算的基础应用，解题核心是熟练掌握提公因式法分解因式，再通过约分简化运算，解题时注意公因式要提取完全。
【难度系数】
0.8
要求代数式A的值，可根据“一个因数=积÷另一个因数”，将A转化为右边的多项式除以左边括号内的多项式求解。接下来观察分子的结构，可通过提公因式法对分子因式分解，再约分即可得到A的结果。
【解析】
根据题意可得：
$A=(m^3 - 3mn) ÷ (m^2 - 3n)$
对分子提取公因式$m$，得：
$m^3 - 3mn = m(m^2 - 3n)$
代入上式，且$m^2 - 3n ≠ 0$，约分可得：
$A = \frac{m(m^2 - 3n)}{m^2 - 3n} = m$
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解、整式的除法
【点评】
本题考查整式运算的基础应用，解题核心是熟练掌握提公因式法分解因式，再通过约分简化运算，解题时注意公因式要提取完全。
【难度系数】
0.8
4 下列式子从左到右是因式分解且正确的是 （
A.$x^2 - 4 = (x - 2)^2$
B.$(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$
C.$x^2 - 4 - 4x = (x - 2)(x + 2) - 4x$
D.$xy + x = x(y + 1)$
D
）A.$x^2 - 4 = (x - 2)^2$
B.$(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$
C.$x^2 - 4 - 4x = (x - 2)(x + 2) - 4x$
D.$xy + x = x(y + 1)$
答案
4.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确因式分解的两个核心判断标准：一是变形结果必须是几个整式的乘积形式，二是变形前后等式左右两边恒等。解题时我们对照这两个标准，逐一分析每个选项是否符合要求即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。我们逐个判断选项：
A选项：右边$(x-2)^2=x^2-4x+4$，和左边$x^2-4$不相等，变形不恒等，故A错误；
B选项：左边是整式乘积的形式，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故B错误；
C选项：右边$(x-2)(x+2)-4x$是乘积与减法的混合形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的结果要求，故C错误；
D选项：左边多项式$xy+x$提取公因式$x$后得到$x(y+1)$，是两个整式的乘积形式，且左右两边恒等，符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法因式分解；整式乘法
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对因式分解定义的理解，要注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，牢记因式分解的两个判断要点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确因式分解的两个核心判断标准：一是变形结果必须是几个整式的乘积形式，二是变形前后等式左右两边恒等。解题时我们对照这两个标准，逐一分析每个选项是否符合要求即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。我们逐个判断选项：
A选项：右边$(x-2)^2=x^2-4x+4$，和左边$x^2-4$不相等，变形不恒等，故A错误；
B选项：左边是整式乘积的形式，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故B错误；
C选项：右边$(x-2)(x+2)-4x$是乘积与减法的混合形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的结果要求，故C错误；
D选项：左边多项式$xy+x$提取公因式$x$后得到$x(y+1)$，是两个整式的乘积形式，且左右两边恒等，符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法因式分解；整式乘法
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对因式分解定义的理解，要注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，牢记因式分解的两个判断要点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5 用提公因式法对5a(x−y)−10b(x−y)进行因式分解时，提出的公因式是（
A.5a−10b
B.5a+10b
C.5(x−y)
D.y−x
C
）A.5a−10b
B.5a+10b
C.5(x−y)
D.y−x
答案
5.C
解析
【分析】
要确定提公因式法中需要提出的公因式，需回忆公因式的确定规则：公因式是多项式各项都含有的公共因式，找公因式时先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同因式（包括相同的多项式），取相同因式的最低次幂，最后将两部分相乘即为公因式。本题中先观察两项的系数：5和-10的最大公约数是5；再观察两项的因式，都含有相同的多项式$(x-y)$，且次数均为1次，因此公因式为$5(x-y)$，对应选项C。
【解析】
确定公因式步骤如下：
1. 找系数的最大公约数：第一项系数为5，第二项系数为-10，两数的最大公约数是5；
2. 找公共的因式：两项均含有相同的多项式因式$(x-y)$，且该因式的次数都是1次；
综上，提出的公因式为$5(x-y)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定，提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，主要考查公因式的确定方法，掌握找公因式的两个核心步骤（找系数最大公约数、找公共因式的最低次幂）即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要确定提公因式法中需要提出的公因式，需回忆公因式的确定规则：公因式是多项式各项都含有的公共因式，找公因式时先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同因式（包括相同的多项式），取相同因式的最低次幂，最后将两部分相乘即为公因式。本题中先观察两项的系数：5和-10的最大公约数是5；再观察两项的因式，都含有相同的多项式$(x-y)$，且次数均为1次，因此公因式为$5(x-y)$，对应选项C。
【解析】
确定公因式步骤如下：
1. 找系数的最大公约数：第一项系数为5，第二项系数为-10，两数的最大公约数是5；
2. 找公共的因式：两项均含有相同的多项式因式$(x-y)$，且该因式的次数都是1次；
综上，提出的公因式为$5(x-y)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定，提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，主要考查公因式的确定方法，掌握找公因式的两个核心步骤（找系数最大公约数、找公共因式的最低次幂）即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6 已知$x - 3y = 2$，则$8 - 3x + 9y$的值是（
A.6
B.7
C.4
D.2
D
）A.6
B.7
C.4
D.2
答案
6.D
解析
【分析】
本题已知一个二元一次方程，无法单独求出x和y的具体值，因此考虑使用整体代入法求解。首先观察所求代数式$8-3x+9y$中含x、y的项，将其变形为含有$x-3y$的形式，再把已知的$x-3y=2$整体代入计算即可得到结果。
【解析】
先对所求代数式进行变形：
$8-3x+9y=8-(3x-9y)=8-3(x-3y)$
已知$x-3y=2$，将其代入上式：
原式$=8-3×2=8-6=2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的常见基础题型，解题关键是掌握整体代入的思想，通过对所求式子合理变形，将已知条件整体代入计算，避免了求解未知数的繁琐步骤，解题时要注意变形过程中的符号问题。
【难度系数】
0.8
本题已知一个二元一次方程，无法单独求出x和y的具体值，因此考虑使用整体代入法求解。首先观察所求代数式$8-3x+9y$中含x、y的项，将其变形为含有$x-3y$的形式，再把已知的$x-3y=2$整体代入计算即可得到结果。
【解析】
先对所求代数式进行变形：
$8-3x+9y=8-(3x-9y)=8-3(x-3y)$
已知$x-3y=2$，将其代入上式：
原式$=8-3×2=8-6=2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的常见基础题型，解题关键是掌握整体代入的思想，通过对所求式子合理变形，将已知条件整体代入计算，避免了求解未知数的繁琐步骤，解题时要注意变形过程中的符号问题。
【难度系数】
0.8
