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11. 如图是一个五角星.
(1)∠1是三角形
(2)请利用三角形的外角与内角的关系，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
(1)∠1是三角形
FCE
的外角，∠2是三角形BDL
的外角.(2)请利用三角形的外角与内角的关系，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
答案
11.解:(1)$∠1$ 是三角形 $FCE$ 的外角,$∠2$ 是三角形 $BDL$ 的外角.
故答案为:FCE,BDL.
(2)$\because ∠2=∠B+∠D$,
$∠1=∠C+∠E$,
$\therefore ∠B+∠D+∠C+∠E=∠1+∠2$.
$\because ∠1+∠2+∠A=180°$,
$\therefore ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°$.
故答案为:FCE,BDL.
(2)$\because ∠2=∠B+∠D$,
$∠1=∠C+∠E$,
$\therefore ∠B+∠D+∠C+∠E=∠1+∠2$.
$\because ∠1+∠2+∠A=180°$,
$\therefore ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°$.
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先明确三角形外角的定义：三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角。观察∠1的位置，它是△FCE边FC的延长线与边EF组成的角，因此属于△FCE的外角；同理∠2是△BDL边LD的延长线与边BL组成的角，属于△BDL的外角。
(2) 解决第二问的核心思路是通过三角形外角的性质，把分散的五个角集中到同一个三角形中：利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，将∠B、∠D转化为∠2，∠C、∠E转化为∠1，此时五个角的和就等于△AFL的三个内角和，再结合三角形内角和为180°即可求出结果。
【解析】
(1) 根据三角形外角的定义判断可得：∠1是三角形FCE的外角，∠2是三角形BDL的外角。
(2) 由三角形外角的性质推导：
∵∠2是△BDL的外角，
∴∠2=∠B+∠D，
∵∠1是△FCE的外角，
∴∠1=∠C+∠E，
∴∠B+∠D+∠C+∠E=∠1+∠2，
又
∵在△AFL中，∠1+∠2+∠A=180°（三角形内角和定理），
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
【答案】
(1) FCE；BDL
(2) 180°
【知识点】
三角形外角定义；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度求和的典型习题，解题关键是利用外角性质将分散的角集中到同一三角形中简化计算，能有效考查学生对三角形角的相关性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问首先明确三角形外角的定义：三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角。观察∠1的位置，它是△FCE边FC的延长线与边EF组成的角，因此属于△FCE的外角；同理∠2是△BDL边LD的延长线与边BL组成的角，属于△BDL的外角。
(2) 解决第二问的核心思路是通过三角形外角的性质，把分散的五个角集中到同一个三角形中：利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，将∠B、∠D转化为∠2，∠C、∠E转化为∠1，此时五个角的和就等于△AFL的三个内角和，再结合三角形内角和为180°即可求出结果。
【解析】
(1) 根据三角形外角的定义判断可得：∠1是三角形FCE的外角，∠2是三角形BDL的外角。
(2) 由三角形外角的性质推导：
∵∠2是△BDL的外角，
∴∠2=∠B+∠D，
∵∠1是△FCE的外角，
∴∠1=∠C+∠E，
∴∠B+∠D+∠C+∠E=∠1+∠2，
又
∵在△AFL中，∠1+∠2+∠A=180°（三角形内角和定理），
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
【答案】
(1) FCE；BDL
(2) 180°
【知识点】
三角形外角定义；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度求和的典型习题，解题关键是利用外角性质将分散的角集中到同一三角形中简化计算，能有效考查学生对三角形角的相关性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
12. 我们可以应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”探索n边形的内角和.
(1)探索:在
中探索∠1+∠2与∠A的关系,并证明.
(2)应用:在中运用(1)所得的结论,证明四边形的内角和为$360°$.
(3)推广:在中将(2)的思路延伸,说明n边形的内角和为$(n-2) · 180°$.
(1)探索:在
中探索∠1+∠2与∠A的关系,并证明.(2)应用:在中运用(1)所得的结论,证明四边形的内角和为$360°$.
(3)推广:在中将(2)的思路延伸,说明n边形的内角和为$(n-2) · 180°$.
答案
12.(1)解:$∠1+∠2=180°+∠A$,理由如下:
$\because ∠1=∠A+∠ACB,∠2=∠A+∠ABC$,
$\therefore ∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A$.
(2)证明:由(1)可得,$∠BAD+∠ADC=180°+∠N$,
$\because ∠N+∠B+∠C=180°$,
$\therefore ∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=180°+∠N+∠B+∠C=360°$.
(3)由(2)的结论可得:
$\because$ 五边形 $O_1O_2O_3O_4O_5$ 的内角和 = 四边形 $O_1O_2O_3O_4 + S_{△O_nO_{n-1}N}=(5-2)×180°$,
$\therefore$ 六边形 $O_1O_2O_3O_4O_5O_6$ 的内角和 = 五边形 $O_1O_2O_3O_4O_5 + S_{△O_nO_{n-1}N}=(6-2)×180°$.
……
$\therefore n$边形的内角和为$(n-2)×180°$.
$\because ∠1=∠A+∠ACB,∠2=∠A+∠ABC$,
$\therefore ∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A$.
(2)证明:由(1)可得,$∠BAD+∠ADC=180°+∠N$,
$\because ∠N+∠B+∠C=180°$,
$\therefore ∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=180°+∠N+∠B+∠C=360°$.
(3)由(2)的结论可得:
$\because$ 五边形 $O_1O_2O_3O_4O_5$ 的内角和 = 四边形 $O_1O_2O_3O_4 + S_{△O_nO_{n-1}N}=(5-2)×180°$,
$\therefore$ 六边形 $O_1O_2O_3O_4O_5O_6$ 的内角和 = 五边形 $O_1O_2O_3O_4O_5 + S_{△O_nO_{n-1}N}=(6-2)×180°$.
……
$\therefore n$边形的内角和为$(n-2)×180°$.
解析
【分析】
(1) 求解∠1+∠2与∠A的关系时，先利用三角形外角的性质，将∠1、∠2分别表示为三角形不相邻内角的和，再结合三角形内角和为180°化简即可得到结论；
(2) 证明四边形内角和为360°时，可参照图2将BA、CD延长交于点N构造三角形，直接套用(1)的结论得到四边形两个内角的和与∠N的关系，再结合△NBC的内角和为180°，代入计算即可得到四边形四个内角的总和；
(3) 推导n边形内角和时，采用递推归纳的思路：每增加1条边，多边形内角和就增加1个三角形的内角和180°，从三角形、四边形、五边形逐步推广，即可归纳得到n边形的内角和公式。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠1+∠2=180°+∠A}$，证明如下：
根据三角形外角的性质，可得$∠1=∠A+∠ACB$，$∠2=∠A+∠ABC$，
两式相加得：$∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC$，
∵在$△ ABC$中，$∠A+∠ABC+∠ACB=180°$，
∴$∠1+∠2=180°+∠A$。
(2) 证明：如图2，延长BA、CD交于点N，
由(1)的结论可得：$∠BAD+∠ADC=180°+∠N$，
在$△ NBC$中，根据三角形内角和定理：$∠N+∠B+∠C=180°$，
∴四边形ABCD的内角和为：
$∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=180°+∠N+∠B+∠C=180°+180°=360°$，
即四边形内角和为$360°$。
(3) 由递推规律可知：
三角形内角和为$180°=(3-2)×180°$，
四边形内角和为$360°=(4-2)×180°$，
每增加1条边，多边形相当于在原多边形基础上新增一个三角形，内角和增加$180°$，
因此五边形内角和为$(5-2)×180°$，六边形内角和为$(6-2)×180°$，以此类推，
可得n边形的内角和为$\boldsymbol{(n-2)·180°}$。
【答案】
(1) $∠1+∠2=180°+∠A$，证明见解析；
(2) 四边形内角和为$360°$，证明见解析；
(3) n边形内角和为$(n-2)·180°$，推导见解析。
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，多边形内角和
【点评】
本题从三角形外角的基础性质出发，由特殊到一般逐步推导多边形内角和公式，侧重考查逻辑推理能力和归纳总结能力，掌握这类递推归纳的方法，有助于解决几何规律探索类问题。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠1+∠2与∠A的关系时，先利用三角形外角的性质，将∠1、∠2分别表示为三角形不相邻内角的和，再结合三角形内角和为180°化简即可得到结论；
(2) 证明四边形内角和为360°时，可参照图2将BA、CD延长交于点N构造三角形，直接套用(1)的结论得到四边形两个内角的和与∠N的关系，再结合△NBC的内角和为180°，代入计算即可得到四边形四个内角的总和；
(3) 推导n边形内角和时，采用递推归纳的思路：每增加1条边，多边形内角和就增加1个三角形的内角和180°，从三角形、四边形、五边形逐步推广，即可归纳得到n边形的内角和公式。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠1+∠2=180°+∠A}$，证明如下：
根据三角形外角的性质，可得$∠1=∠A+∠ACB$，$∠2=∠A+∠ABC$，
两式相加得：$∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC$，
∵在$△ ABC$中，$∠A+∠ABC+∠ACB=180°$，
∴$∠1+∠2=180°+∠A$。
(2) 证明：如图2，延长BA、CD交于点N，
由(1)的结论可得：$∠BAD+∠ADC=180°+∠N$，
在$△ NBC$中，根据三角形内角和定理：$∠N+∠B+∠C=180°$，
∴四边形ABCD的内角和为：
$∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=180°+∠N+∠B+∠C=180°+180°=360°$，
即四边形内角和为$360°$。
(3) 由递推规律可知：
三角形内角和为$180°=(3-2)×180°$，
四边形内角和为$360°=(4-2)×180°$，
每增加1条边，多边形相当于在原多边形基础上新增一个三角形，内角和增加$180°$，
因此五边形内角和为$(5-2)×180°$，六边形内角和为$(6-2)×180°$，以此类推，
可得n边形的内角和为$\boldsymbol{(n-2)·180°}$。
【答案】
(1) $∠1+∠2=180°+∠A$，证明见解析；
(2) 四边形内角和为$360°$，证明见解析；
(3) n边形内角和为$(n-2)·180°$，推导见解析。
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，多边形内角和
【点评】
本题从三角形外角的基础性质出发，由特殊到一般逐步推导多边形内角和公式，侧重考查逻辑推理能力和归纳总结能力，掌握这类递推归纳的方法，有助于解决几何规律探索类问题。
【难度系数】
0.7
