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7. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平纸条，就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，则∠BAC的度数是（
A.$36°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$40°$
A
）A.$36°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$40°$
答案
7.A
解析
【分析】
要计算∠BAC的度数，可按以下思路推导：首先利用多边形内角和公式求出正五边形每个内角的度数；再结合正五边形各边相等的性质，可知△ABC为等腰三角形，已知顶角∠ABC的度数后，根据等腰三角形底角相等及三角形内角和定理，即可求出底角∠BAC的度数。
【解析】
第一步：计算正五边形的内角度数
根据n边形内角和公式：$\mathrm{内角和}=(n-2)×180°$，正五边形的边数$n=5$，因此内角和为：
$(5-2)×180°=540°$
正五边形的每个内角都相等，因此单个内角的度数为：
$540°÷5=108°$，即$∠ ABC=108°$。
第二步：利用等腰三角形性质计算∠BAC
正五边形的各边长度相等，因此$AB=BC$，$△ ABC$是等腰三角形，底角$∠ BAC=∠ BCA$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°$
【答案】
A
【知识点】
多边形内角和公式；正多边形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何基础性质的应用，解题的关键是先推导正五边形的内角度数，再结合等腰三角形的性质计算所求角度，属于基础类的几何应用题。
【难度系数】
0.7
要计算∠BAC的度数，可按以下思路推导：首先利用多边形内角和公式求出正五边形每个内角的度数；再结合正五边形各边相等的性质，可知△ABC为等腰三角形，已知顶角∠ABC的度数后，根据等腰三角形底角相等及三角形内角和定理，即可求出底角∠BAC的度数。
【解析】
第一步：计算正五边形的内角度数
根据n边形内角和公式：$\mathrm{内角和}=(n-2)×180°$，正五边形的边数$n=5$，因此内角和为：
$(5-2)×180°=540°$
正五边形的每个内角都相等，因此单个内角的度数为：
$540°÷5=108°$，即$∠ ABC=108°$。
第二步：利用等腰三角形性质计算∠BAC
正五边形的各边长度相等，因此$AB=BC$，$△ ABC$是等腰三角形，底角$∠ BAC=∠ BCA$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°$
【答案】
A
【知识点】
多边形内角和公式；正多边形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何基础性质的应用，解题的关键是先推导正五边形的内角度数，再结合等腰三角形的性质计算所求角度，属于基础类的几何应用题。
【难度系数】
0.7
8.如图,有机化合物苯的结构式可以抽象为一个正六边形.过该图形的一个顶点最多可以引
3
条对角线.答案
8.3
解析
【分析】
解题首先明确该图形是正六边形，属于边数n=6的多边形。我们先回忆多边形对角线的定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。从一个顶点出发引对角线时，首先不能和自身连线，也不能和左右相邻的2个顶点连线（这两条连线是多边形的边，不属于对角线），因此可引对角线的条数等于总顶点数减去3（自身+2个相邻顶点），代入n=6即可算出结果。
【解析】
该图形为正六边形，边数n=6。
根据n边形从一个顶点引出对角线条数的规律：条数 = n - 3（减去的3分别是顶点自身、和该顶点相邻的2个顶点）。
将n=6代入得：6 - 3 = 3（条）。
【答案】
3
【知识点】
多边形的对角线、正六边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查多边形对角线的基础计算规律，熟悉相关定义和计算规律就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题首先明确该图形是正六边形，属于边数n=6的多边形。我们先回忆多边形对角线的定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。从一个顶点出发引对角线时，首先不能和自身连线，也不能和左右相邻的2个顶点连线（这两条连线是多边形的边，不属于对角线），因此可引对角线的条数等于总顶点数减去3（自身+2个相邻顶点），代入n=6即可算出结果。
【解析】
该图形为正六边形，边数n=6。
根据n边形从一个顶点引出对角线条数的规律：条数 = n - 3（减去的3分别是顶点自身、和该顶点相邻的2个顶点）。
将n=6代入得：6 - 3 = 3（条）。
【答案】
3
【知识点】
多边形的对角线、正六边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查多边形对角线的基础计算规律，熟悉相关定义和计算规律就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
9.如图,一束太阳光线平行照射在放置于地面的六边形上.若六边形的每个内角都相等,且∠1=19°,则∠2=
41°
.答案
9.$41°$
解析
【分析】
解题首先需要求出等角六边形的每个内角度数，再推导六边形侧边与水平地面的夹角度数，最后利用平行光线的角度性质建立∠1和∠2的和差关系，即可求出∠2的数值。第一步先调用多边形内角和公式计算单个内角，第二步结合平角性质求侧边与地面的夹角，第三步利用平行线同位角相等的性质关联∠1、∠2求解。
【解析】
1. 计算正六边形单个内角度数：
根据多边形内角和公式：$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，六边形$n=6$，因此内角和为$(6-2)×180°=720°$。
已知六边形每个内角相等，因此单个内角为$720°÷6=120°$。
2. 推导侧边与地面的夹角：
六边形放置在水平地面上，底边与地面重合，底边和相邻左侧边的内角为$120°$，结合平角为$180°$，可得左侧边与水平地面的夹角为$180°-120°=60°$。
3. 结合平行线性质求∠2：
太阳光线互相平行，根据平行线同位角相等的性质，光线与地面的夹角等于∠2；同时光线与左侧边的夹角为∠1=$19°$，因此：
$∠2=60°-∠1=60°-19°=41°$
【答案】
$41°$
【知识点】
多边形内角和计算，平行线的性质
【点评】
本题属于角度计算的综合题，将多边形内角和公式与平行线的角度性质结合考查，解题的核心是观察图形中角的位置关系，通过已知角的性质建立和未知角的关联，整体解题逻辑清晰，属于常规几何基础题型。
【难度系数】
0.65
解题首先需要求出等角六边形的每个内角度数，再推导六边形侧边与水平地面的夹角度数，最后利用平行光线的角度性质建立∠1和∠2的和差关系，即可求出∠2的数值。第一步先调用多边形内角和公式计算单个内角，第二步结合平角性质求侧边与地面的夹角，第三步利用平行线同位角相等的性质关联∠1、∠2求解。
【解析】
1. 计算正六边形单个内角度数：
根据多边形内角和公式：$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，六边形$n=6$，因此内角和为$(6-2)×180°=720°$。
已知六边形每个内角相等，因此单个内角为$720°÷6=120°$。
2. 推导侧边与地面的夹角：
六边形放置在水平地面上，底边与地面重合，底边和相邻左侧边的内角为$120°$，结合平角为$180°$，可得左侧边与水平地面的夹角为$180°-120°=60°$。
3. 结合平行线性质求∠2：
太阳光线互相平行，根据平行线同位角相等的性质，光线与地面的夹角等于∠2；同时光线与左侧边的夹角为∠1=$19°$，因此：
$∠2=60°-∠1=60°-19°=41°$
【答案】
$41°$
【知识点】
多边形内角和计算，平行线的性质
【点评】
本题属于角度计算的综合题，将多边形内角和公式与平行线的角度性质结合考查，解题的核心是观察图形中角的位置关系，通过已知角的性质建立和未知角的关联，整体解题逻辑清晰，属于常规几何基础题型。
【难度系数】
0.65
10. 一个多边形的内角和是$1080°$.
(1)求该多边形的边数.
(2)若该多边形每个内角都相等,求每一个外角的度数.
(1)求该多边形的边数.
(2)若该多边形每个内角都相等,求每一个外角的度数.
答案
10.解:(1)设这个多边形为n边形
由题意,得 $(n-2)×180°=1080°$,解得 $n=8$,
即该多边形的边数为 8.
(2)由于该多边形每个内角都相等,
所以该多边形每个外角都相等,
由于多边形的外角和是 $360°$,
所以这个多边形的每一个外角的
度数为$\frac{360°}{8}=45°$.
由题意,得 $(n-2)×180°=1080°$,解得 $n=8$,
即该多边形的边数为 8.
(2)由于该多边形每个内角都相等,
所以该多边形每个外角都相等,
由于多边形的外角和是 $360°$,
所以这个多边形的每一个外角的
度数为$\frac{360°}{8}=45°$.
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先回忆多边形内角和公式：n边形内角和为$(n-2)×180°$（n为不小于3的整数），已知内角和数值，我们可以通过设边数为n，列一元一次方程即可求出边数。解决第(2)问时，首先明确任意多边形的外角和恒为$360°$，若多边形每个内角都相等，则对应的每个外角也相等（内角与相邻外角互为邻补角），因此用外角和除以边数就能得到单个外角的度数。
【解析】
(1) 设这个多边形的边数为n，根据题意列方程得：
$\begin{aligned}(n-2)×180°&=1080°\\n-2&=6\\n&=8\end{aligned}$
即该多边形的边数为8。
(2) 因为该多边形每个内角都相等，所以该多边形每个外角也都相等，结合多边形外角和为$360°$可得：
每个外角的度数为$\frac{360°}{8}=45°$。
【答案】
(1) 8；(2) $45°$
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理
【点评】
本题是多边形相关的基础题型，解题核心是熟记多边形内角和公式与外角和为固定值$360°$的性质，第一问用到的方程思想是解决多边形边数求解问题的常用方法，掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，首先回忆多边形内角和公式：n边形内角和为$(n-2)×180°$（n为不小于3的整数），已知内角和数值，我们可以通过设边数为n，列一元一次方程即可求出边数。解决第(2)问时，首先明确任意多边形的外角和恒为$360°$，若多边形每个内角都相等，则对应的每个外角也相等（内角与相邻外角互为邻补角），因此用外角和除以边数就能得到单个外角的度数。
【解析】
(1) 设这个多边形的边数为n，根据题意列方程得：
$\begin{aligned}(n-2)×180°&=1080°\\n-2&=6\\n&=8\end{aligned}$
即该多边形的边数为8。
(2) 因为该多边形每个内角都相等，所以该多边形每个外角也都相等，结合多边形外角和为$360°$可得：
每个外角的度数为$\frac{360°}{8}=45°$。
【答案】
(1) 8；(2) $45°$
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理
【点评】
本题是多边形相关的基础题型，解题核心是熟记多边形内角和公式与外角和为固定值$360°$的性质，第一问用到的方程思想是解决多边形边数求解问题的常用方法，掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
