例 1
判断下列变形是否正确。如果错误，请写出正确的答案。
(1) 由 $5 + x = 12$，得 $x = 12 + 5$；
(2) 由 $-5 = x$，得 $x = 5$。

(1) 错误，正确的答案应是 $x = 12 - 5$ 或 $x = 7$。
(2) 错误，正确的答案应是 $x = -5$。

【分析】要判断等式变形是否正确，需依据等式的基本性质和等式的对称性。第(1)题中，解方程$5 + x = 12$时，需利用等式性质两边同时减5，移项要变号，因此右边应为$12 - 5$，题目错误保留了+5，变形错误；第(2)题中，根据等式对称性，若$-5 = x$则$x = -5$，题目错误改变了数的符号，变形错误。
【解析】(1) 根据等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。对等式$5 + x = 12$，两边同时减去5，得$x = 12 - 5 = 7$，题目错误处理移项符号，变形错误，正确结果为$x = 7$。(2) 根据等式的对称性：若$a = b$，则$b = a$。对等式$-5 = x$，互换左右得$x = -5$，题目错误改变符号，变形错误，正确结果为$x = -5$。
【答案】(1) 错误，正确的答案应是 $x = 12 - 5$ 或 $x = 7$；(2) 错误，正确的答案应是 $x = -5$。
【知识点】等式的基本性质、等式的对称性
【点评】本题考查解方程的基础知识点，核心是等式的基本性质与对称性，解题需注意移项变号、等式互换符号不变，属于基础题，易因粗心出错。
【难度系数】0.6

【变式训练 1】下列移项正确的是()

A.由 $3 + x = 12$，得 $x = 12 + 3$
B.由 $5x - 3 = 4x - 3$，得 $5x - 4x = 3 - 3$
C.由 $x - 2 = 4 - 3x$，得 $-x + 3x = 4 + 2$
D.由 $2x = 3x + 5$，得 $3x - 2x = 5$

变式训练1 B

【分析】
移项的核心规则是：把方程中的某一项从一边移到另一边时，必须改变该项的符号，不移的项符号保持不变。我们依据这个规则逐一判断选项：
A选项中，3+x=12，左边的+3移到右边应变号为-3，正确应为x=12-3，A错误；
B选项中，5x-3=4x-3，右边的4x移到左边变-4x，左边的-3移到右边变+3，得到5x-4x=3-3，符合规则，B正确；
C选项中，x-2=4-3x，右边的-3x移到左边应变+3x，左边的-2移到右边应变+2，正确应为x+3x=4+2，选项符号错误，C错误；
D选项中，2x=3x+5，右边的3x移到左边应变-3x，正确应为2x-3x=5，选项符号错误，D错误。
【解析】
根据移项规则（移项要变号，不移项符号不变），对各选项分析如下：
1. 选项A：方程3+x=12，将左边的+3移到右边，需改变符号为-3，正确移项结果为x=12-3，与选项A的x=12+3不符，故A错误；
2. 选项B：方程5x-3=4x-3，将右边的4x移到左边（变号为-4x），将左边的-3移到右边（变号为+3），得到5x-4x=3-3，与选项B一致，故B正确；
3. 选项C：方程x-2=4-3x，将右边的-3x移到左边（变号为+3x），将左边的-2移到右边（变号为+2），正确移项结果为x+3x=4+2，与选项C的-x+3x=4+2不符，故C错误；
4. 选项D：方程2x=3x+5，将右边的3x移到左边（变号为-3x），正确移项结果为2x-3x=5，与选项D的3x-2x=5不符，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
移项、一元一次方程
【点评】
本题考查一元一次方程移项的基本规则，核心是牢记移项时必须改变所移项的符号，属于解一元一次方程的基础题型，难度较低，是学生需掌握的核心知识点之一。
【难度系数】
0.7

例 2
解下列方程：
(1) $2x + 6 = 1$；
(2) $3x + 3 = 2x + 7$；
(3) $\frac{1}{4}x = -\frac{1}{2}x + 3$。

(1) 移项，得 $2x = 1 - 6$。
合并同类项，得 $2x = -5$。
方程两边都除以 2，得 $x = -\frac{5}{2}$。
(2) 移项，得 $3x - 2x = 7 - 3$。
合并同类项，得 $x = 4$。
(3) 移项，得 $\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}x = 3$。
合并同类项，得 $\frac{3}{4}x = 3$。
方程两边都乘 $\frac{4}{3}$，得 $x = 4$。

【分析】解一元一次方程的核心是通过移项（移项需变号）、合并同类项将方程化简为$ax=b$的形式，再将系数化为1（方程两边同除以系数或乘系数的倒数），最终求出未知数$x$的值。本题的三个小题均为基础一元一次方程，按照上述步骤依次求解即可。
【解析】(1) 移项，得 $2x = 1 - 6$。
合并同类项，得 $2x = -5$。
方程两边都除以2，得 $x = -\frac{5}{2}$。
(2) 移项，得 $3x - 2x = 7 - 3$。
合并同类项，得 $x = 4$。
(3) 移项，得 $\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}x = 3$。
合并同类项，得 $\frac{3}{4}x = 3$。
方程两边都乘 $\frac{4}{3}$，得 $x = 4$。
【答案】(1) $x = -\frac{5}{2}$；(2) $x = 4$；(3) $x = 4$
【知识点】一元一次方程的解法，移项，合并同类项
【点评】本题是基础的一元一次方程求解题型，主要考察学生对解一元一次方程基本步骤的掌握，属于代数方程的入门基础题，是后续复杂方程学习的铺垫。
【难度系数】0.8

【变式训练 2】解下列方程：
(1) $7x - 3 = 6x$；
(2) $2x + 5 = 25 - 8x$。

变式训练2 (1) $ x = 3 $。 (2) $ x = 2 $。

(1) $7x - 3 = 6x$
$7x - 6x = 3$
$x = 3$
(2) $2x + 5 = 25 - 8x$
$2x + 8x = 25 - 5$
$10x = 20$
$x = 2$

1. 在解方程 $4x + 1 = 3x - 2$ 时，下列移项正确的是()

A.$4x + 3x = 1 - 2$
B.$4x - 3x = -2 - 1$
C.$4x - 3x = 2 - 1$
D.$4x + 3x = -2 - 1$

1. B

解：方程$4x + 1 = 3x - 2$，移项得$4x - 3x = -2 - 1$，故选B。

2. 方程 $6x = 3 + 5x$ 的解为 $x =$()

A.$2$
B.$3$
C.$-2$
D.$-3$

2. B

解：$6x = 3 + 5x$
$6x - 5x = 3$
$x = 3$
B

3. 方程 $-\frac{1}{3} + x = 2x$ 的解是 $x =$()

A.$\frac{1}{3}$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$1$
D.$-1$

3. B

解：$-\frac{1}{3} + x = 2x$
$x - 2x = \frac{1}{3}$
$-x = \frac{1}{3}$
$x = -\frac{1}{3}$
B

4. 由 $1 - 2x = \frac{7}{2}$，得 $2x =$。

4. $ 1 - \frac{7}{2} $ 或 $ -\frac{5}{2} $

【分析】要得到2x的值，需利用等式的性质对原方程变形，核心是移项时注意符号变化，将常数项移到等式另一侧，从而求出2x的表达式。
【解析】对等式$1 - 2x = \frac{7}{2}$移项，将左边的常数项1移到等式右侧，移项要变号，可得$-2x = \frac{7}{2} - 1$；两边同时乘以$-1$，则$2x = 1 - \frac{7}{2}$，计算得$1 - \frac{7}{2} = -\frac{5}{2}$，因此$2x = 1 - \frac{7}{2}$或$-\frac{5}{2}$。
【答案】$1 - \frac{7}{2}$或$-\frac{5}{2}$
【知识点】一元一次方程的解法、移项法则
【点评】本题是一元一次方程的基础变形题，主要考查移项的符号规则，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.9

5. 如果 $3x = 2x + 6$，那么 $3x$$= 6$。

5. $ -2x $

【分析】本题考查等式的基本性质，解题时需利用等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立。要从$3x = 2x + 6$变形为“$3x$____$= 6$”，需将等式右边的$+2x$移到左边，即对等式两边同时减去$2x$，即可得到结果。
【解析】根据等式的性质1，对等式$3x = 2x + 6$两边同时减去$2x$，左边变为$3x - 2x$，右边变为$6$，因此$3x - 2x = 6$，故横线处应填$-2x$。
【答案】$-2x$
【知识点】等式的基本性质
【点评】本题是初中数学中基础的等式变形题目，主要考查对等式性质的理解与应用，难度较低，是学生必须掌握的基础知识点。
【难度系数】0.9

6. 关于 $x$ 的方程 $x^2 + mx + 3 = 0$ 的一个解为 $x = 1$，则 $m$ 的值为。

6. $ -4 $

将$x = 1$代入方程$x^2 + mx + 3 = 0$，得$1^2 + m×1 + 3 = 0$，即$1 + m + 3 = 0$，解得$m = -4$。
$-4$